帕斯卡與費(fèi)曼

大多數(shù)人會(huì)將17世紀(jì)中葉法國(guó)賭場(chǎng)中的故事作為概率論史的開端，但實(shí)際上早在16世紀(jì)的時(shí)候，意大利博學(xué)家吉羅拉莫·卡爾達(dá)諾就開始研究色子賭博中的概率問題了。比如他想知道，連擲4次色子，出現(xiàn)數(shù)字6的可能性有多大？將一對(duì)色子連擲24次，出現(xiàn)雙6的可能性有多大？

他是這樣計(jì)算的：首先，擲一次色子出現(xiàn)數(shù)字6的概率為1/6，約等于17%。一般我們?cè)谘芯扛怕实臅r(shí)候并不直接寫出百分比，而是將它表示為一個(gè)介于0和1的數(shù)值，并稱之為P。所以這里我們將擲一次色子出現(xiàn)數(shù)字6的概率寫作p=0.17（實(shí)際上是0.166666…，但我四舍五入了）。

之后他做出了一個(gè)自認(rèn)為合理的推測(cè)：連擲4次色子，出現(xiàn)數(shù)字6的概率就會(huì)變成前者的4倍，即4/6，約等于0.67。其實(shí)只要稍加思索，你就會(huì)意識(shí)到這肯定不對(duì)，因?yàn)槿绱艘粊磉B擲6次色子出現(xiàn)數(shù)字6的概率就變成6/6，換句話說這變成一個(gè)必然事件。但顯然連擲6次色子是有可能每次都不出現(xiàn)數(shù)字6的。

令他感到困惑的是，雖然出現(xiàn)數(shù)字6的次數(shù)與總次數(shù)的比的確是0.67，但有時(shí)一次實(shí)驗(yàn)中你能看到3次6，有時(shí)一次實(shí)驗(yàn)中你1次6也看不到。這是因?yàn)樗麤]有搞清楚“只出現(xiàn)1次數(shù)字6”和“至少出現(xiàn)1次數(shù)字6”是兩回事。

事實(shí)上“連擲4次色子，至少出現(xiàn)1次數(shù)字6”的概率并不是0.67，而是0.52。盡管如此，在賠率為1 ∶ 1的情況下，你一直把錢押在“連擲4次色子會(huì)出現(xiàn)數(shù)字6”上面，仍舊是個(gè)正確決策。可是如果你在第二個(gè)問題上繼續(xù)相信吉羅拉莫·卡爾達(dá)諾的結(jié)論，那你可就要虧大了。他的計(jì)算結(jié)果表明，既然一對(duì)色子一共有36種結(jié)果，雙6在其中只出現(xiàn)一次（p=1/36≈0.03），那么將1對(duì)色子連擲24次，出現(xiàn)雙6的概率就是前者的24倍，即24/36=2/3（就像第一個(gè)問題一樣，他又得出了p≈0.67的結(jié)論）。

如果賠率仍舊為1 ∶ 1，那你就不該相信他的結(jié)論，而是應(yīng)該把錢押在“連擲24次雙色子不會(huì)出現(xiàn)雙6”上面，因?yàn)椤斑B擲24次雙色子至少出現(xiàn)1次雙6”的概率約為0.49，一直押這個(gè)選項(xiàng)會(huì)讓你賠個(gè)精光。

一個(gè)多世紀(jì)后的1654年，安托萬·貢博也對(duì)這個(gè)問題產(chǎn)生了興趣。貢博喜歡將自己稱為“梅雷騎士”，他除了熱愛哲學(xué)，還癡迷賭博。和我們一樣，他也意識(shí)到了卡爾達(dá)諾的結(jié)論有問題：一直把錢押在“連擲4次色子至少出現(xiàn)1次數(shù)字6”上面能讓你賺錢，但一直把錢押在“連擲24次雙色子至少出現(xiàn)1次雙6”上面會(huì)讓你賠錢。

多次試驗(yàn)之后，貢博得出了一個(gè)比卡爾達(dá)諾更靠譜的結(jié)論。可是他也困惑起來了：兩個(gè)事件的概率為什么會(huì)不一樣呢？4 ∶ 6和24 ∶ 36難道不是一回事嗎？于是他邀請(qǐng)自己的朋友、數(shù)學(xué)家皮埃爾·德·卡爾卡維一起研究這個(gè)問題，但兩人仍舊毫無頭緒。無奈之下，兩人又請(qǐng)來共同的朋友——天才數(shù)學(xué)家布萊茲·帕斯卡。[22]

這個(gè)問題的答案其實(shí)并不復(fù)雜——卡爾達(dá)諾完全搞反了：重要的并不是它發(fā)生的概率，而是它沒有發(fā)生的概率。

在連擲4次色子這個(gè)問題中，每次不出現(xiàn)數(shù)字6的概率都是5/6，即p≈0.83。如果連擲2次，那么2次都沒有看到數(shù)字6的概率是0.83乘以0.83，約等于0.7。每多擲1次色子，你看不到數(shù)字6的概率都會(huì)下降17%。

如果連擲4次色子，那么數(shù)字6完全不出現(xiàn)的概率就是0.83×0.83×0.83×0.83≈0.48（可以簡(jiǎn)寫為0.834）。反過來，至少看到1次數(shù)字6的概率就是1-0.48=0.52，即52%。如果你在賠率為1 ∶ 1的情況下下注100次，那么你預(yù)計(jì)可以贏52次，小賺一筆。

假如我們現(xiàn)在每次擲2顆色子來賭雙6，那么正如前面的分析，每次擲出雙6的概率是1/36，即p≈0.03；沒有擲出雙6的概率就是1-1/36=35/36，約等于0.97。

連擲24次，1次雙6都看不到的概率就是0.9724，約等于0.51。因此，至少出現(xiàn)一次雙6的概率就是1-0.51=0.49。如果賠率為1 ∶ 1，那么你下注100次預(yù)計(jì)只能贏49次，最終會(huì)賠錢。

（我們應(yīng)當(dāng)為安托萬·貢博點(diǎn)個(gè)贊，他肯定花了很多錢才弄明白第一個(gè)賭局贏錢的概率是52%，第二個(gè)賭局贏錢的概率是49%。他甚至還正確地推測(cè)出，在第二個(gè)賭局中，投擲次數(shù)至少要提高到25，出現(xiàn)雙6的概率才會(huì)大于50%。看得出來，他是真喜歡玩色子啊。）

賭場(chǎng)老手安托萬·貢博感到有些意猶未盡，于是又問了帕斯卡一個(gè)問題：假定兩個(gè)人正在玩一個(gè)賭錢游戲，比如撲克或色子，玩到一半就被迫終止，此時(shí)其中一人擁有明顯的優(yōu)勢(shì)。這種情況下，怎樣分配賭資才是最公平的？平分顯然不合理，因?yàn)橛腥祟I(lǐng)先；把錢全給領(lǐng)先的那個(gè)人也不太合理，畢竟他還沒有真的贏下賭局。

帕斯卡覺得這個(gè)問題很有意思，于是趕忙和皮埃爾·德·費(fèi)馬（以“費(fèi)馬大定理”而聞名天下）互通書信進(jìn)行討論。[23]

這個(gè)問題可以追溯至幾百年前的1494年。當(dāng)時(shí)意大利數(shù)學(xué)家、方濟(jì)各會(huì)修士盧卡·帕喬利也在研究類似的問題，并將結(jié)論寫進(jìn)了《算術(shù)、幾何、比及比例概要》。[24]

他構(gòu)想了這樣一個(gè)場(chǎng)景：兩個(gè)人正在進(jìn)行踢球比賽，每進(jìn)一個(gè)球得10分，最先得到60分的人獲勝。[25]在比賽被迫中斷的時(shí)候，其中一人已經(jīng)得了50分，另一人得了20分。此時(shí)比賽的獎(jiǎng)金該如何分配？

帕喬利認(rèn)為，既然兩人目前的得分一共是70，那么得50分的人就應(yīng)當(dāng)?shù)玫姜?jiǎng)金的5/7。

45年后，前面提到的卡爾達(dá)諾竟公然嘲笑帕喬利，認(rèn)為他的答案“荒謬至極”——考慮到卡爾達(dá)諾也沒弄明白色子問題，我覺得他還是謙遜一點(diǎn)比較好。卡爾達(dá)諾設(shè)想了一個(gè)稍有不同的場(chǎng)景：兩個(gè)人玩游戲，先得10分的人獲勝，當(dāng)游戲被迫終止時(shí)，一個(gè)人得7分，另一人得9分。按照帕喬利的觀點(diǎn)，此時(shí)得7分的玩家應(yīng)該分到7/16的獎(jiǎng)金，都快占總獎(jiǎng)金的一半了。得9分的玩家的獎(jiǎng)金只比前者多一點(diǎn)，這顯然很不公平，畢竟他只差1分就獲勝了，而前者還差3分呢。

卡爾達(dá)諾的確給出了一個(gè)更好的方案。“他把關(guān)注點(diǎn)放在了‘雙方還差多少分贏得比賽’上面，而不是‘雙方已經(jīng)得了多少分’上面。”普拉卡什·戈羅徹恩如此評(píng)價(jià)道。[26]

可惜卡爾達(dá)諾離正確答案還是差了一點(diǎn)。他自己創(chuàng)造了一個(gè)叫作“勝利距離”的概念，來表示某選手距離勝利還有多遠(yuǎn)。選手差X分贏得比賽，他的勝利距離就是X +（X-1）+（X-2）+…+1。假如該選手還差5分贏得比賽，那么他的勝利距離就是5+4+3+2+1=15。

在卡爾達(dá)諾的例子中，第一位選手得了7分，還差3分贏得比賽，所以他的勝利距離是3+2+1=6。第二位選手得了9分，還差1分贏得比賽，所以他的勝利距離就是1。如此一來，第二位選手應(yīng)該分到6/(1+6)的獎(jiǎng)金，看上去這的確公平了一些。

盡管這套方案的確比帕喬利的方案要好（至少更接近正確答案），但它仍是錯(cuò)的。

現(xiàn)在終于輪到帕斯卡和費(fèi)馬出場(chǎng)了。他們兩人很快就看出了問題的關(guān)鍵：重要的不是選手距離終點(diǎn)有多近，也不是選手距離起點(diǎn)有多遠(yuǎn)，而是在剩下的所有可能性中，雙方贏下比賽的可能性各占多少。

在寫給費(fèi)馬的信中，帕斯卡設(shè)想了一個(gè)比較簡(jiǎn)單的場(chǎng)景：兩個(gè)賭徒在玩一個(gè)游戲，先拿到3分的人獲勝。雙方各自下注32皮斯托爾（當(dāng)時(shí)的一種金幣），所以總賭資為64皮斯托爾。

假定在兩個(gè)人都拿到2分的時(shí)候，游戲突然被迫終止。帕斯卡認(rèn)為這種情況下錢很好分，每人拿32皮斯托爾就好了。

但如果此時(shí)兩個(gè)人的得分不是2 ∶ 2，而是2 ∶ 1呢？帕斯卡認(rèn)為，既然剛才在2 ∶ 2的情況下，獎(jiǎng)金是兩個(gè)人對(duì)半分，那此時(shí)就應(yīng)該先給得2分的那個(gè)人分一半獎(jiǎng)金，畢竟就算下一輪他輸了，比分也只是2 ∶ 2而已。剩下那一半獎(jiǎng)金怎么辦呢？得2分的那個(gè)人可能會(huì)說：“這一半獎(jiǎng)金有可能被你贏走，也有可能被我贏走，機(jī)會(huì)相等，既然如此，不如繼續(xù)平分了吧。”如此一來，得2分的選手一共分到了32+16=48，即總賭資的3/4。

還有一種思路是，假定游戲繼續(xù)進(jìn)行，那么可能的結(jié)果共有4種：得2分的那個(gè)人既贏了第一輪，又贏了第二輪；他贏了第一輪，輸了第二輪；他輸了第一輪，贏了第二輪；他既輸了第一輪，又輸了第二輪。

只有在最后一種情況下，他才會(huì)輸?shù)舯荣悺Ｈ绻A了第一輪，那么第二輪的結(jié)果就不用看了，因?yàn)樗呀?jīng)得了3分，所以第一輪他有一半的機(jī)會(huì)直接贏下比賽。即便他第一輪輸了，那第二輪中他仍有一半的機(jī)會(huì)贏下比賽。

由此可見，就像帕斯卡所分析的那樣，如果兩人不得不在2 ∶ 1的情況下終止賭局，那么總賭資最公平的分配方式的確是3 ∶ 1。

帕斯卡繼續(xù)分析了其他情況。假定賭局被迫終止時(shí)，甲得了2分，乙只得了0分。如果甲在下一輪贏了，那比賽就結(jié)束了。如果甲在下一輪輸了，那就又回到剛才2 ∶ 1的情況，我們已經(jīng)知道這種情況下甲最終贏得賭局的概率為75%。按照帕斯卡的邏輯，甲會(huì)這樣說：“如果下一輪我贏了，那我就會(huì)贏得全部賭資，即64皮斯托爾；如果下一輪我輸了，那我也應(yīng)當(dāng)分走48皮斯托爾。因此，這48皮斯托爾肯定是屬于我的。剩下的16皮斯托爾我們應(yīng)當(dāng)平分，因?yàn)樵蹅z拿到這筆錢的概率一樣大。”

換句話說，甲最終贏得賭局的概率為7/8，即87.5%，所以最公平的分配方式就是甲拿走56皮斯托爾。用圖來表示就是：

假如賭局被迫終止時(shí)，甲和乙的比分為1 ∶ 0呢？帕斯卡認(rèn)為，這種情況我們可以再多分析一輪。如果乙贏了第一輪，那比分就變成1 ∶ 1，兩個(gè)人重新站在了同一條起跑線；如果甲贏了第一輪，那比分就變成2 ∶ 0，我們已經(jīng)知道此時(shí)甲最終贏得賭局的概率為7/8。在所有可能出現(xiàn)的16種結(jié)果里，有11種是甲最終贏得賭局，所以這種情況下甲應(yīng)該分走總賭資的11/16，即44皮斯托爾。

現(xiàn)在大家應(yīng)當(dāng)已經(jīng)意識(shí)到了，概率論關(guān)心的是給定情況下可能會(huì)發(fā)生什么，而不是已經(jīng)發(fā)生了什么。不過前面的計(jì)算方法既費(fèi)時(shí)又費(fèi)力，所以帕斯卡和費(fèi)馬研究出了更便捷的方式。

我們的確可以耐心地做個(gè)匯總，但如果剩余回合數(shù)有很多，那計(jì)算量可就太大了。我們得把每一個(gè)可能出現(xiàn)的回合都分析一遍——需要分析的回合數(shù)等于甲最終贏下賭局所需的回合數(shù)，加上乙最終贏下賭局所需的回合數(shù)，再減去1。比如有一個(gè)三局兩勝的雙人比賽，甲以1 ∶ 0領(lǐng)先，那我們需要分析的回合數(shù)就是2+3-1=4（因?yàn)楸确肿罡邽? ∶ 2，所以最大回合數(shù)是5，剩下的回合數(shù)最多是4），而4回合意味著24（等于16）種可能性。之后你需要分析出其中有哪些可能性可以讓甲最終贏下賭局，這一過程涉及大量的數(shù)字和標(biāo)注，實(shí)在讓人吃不消。

好在帕斯卡想到了一個(gè)輕松的方法。其實(shí)帕斯卡并不是第一個(gè)使用“帕斯卡三角形”的人——它在2世紀(jì)的印度、古代中國(guó)都很有名，它還有一個(gè)中文名字“楊輝三角形”——但他卻是第一個(gè)將其用在概率問題中的人。這個(gè)三角形具體長(zhǎng)這樣：

它的“第0行”是1，其他各個(gè)位置上的數(shù)字都等于該數(shù)字左上角與右上角的和（如果左上角或右上角沒有數(shù)字則視為0）。

帕斯卡發(fā)現(xiàn)這個(gè)三角形剛好對(duì)應(yīng)著剩余回合數(shù)的各種可能性。仍然以甲乙比分為1 ∶ 0為例，剩余回合數(shù)最大為4，所以我們?nèi)〉?行的數(shù)字來分析（最上面那個(gè)單獨(dú)的1視作第0行）。第4行一共有1、4、6、4、1五個(gè)數(shù)，由于甲需要再贏兩局才能獲勝，所以我們?nèi)サ糇钭筮叺膬蓚€(gè)數(shù)，即1和4。把剩下的三個(gè)數(shù)6、4、1相加，再除以該行5個(gè)數(shù)的總和16，就是甲在1 ∶ 0的情況下最終贏下賭局的概率11/16，即p=0.6875。

再試試其他例子。在甲乙比分為2 ∶ 1的情況下，比賽最多還能進(jìn)行兩回合，甲只要贏下其中任一回合就可以獲得最終的勝利，因此我們可以用第2行的數(shù)字1、2、1來分析。首先我們?nèi)サ?，然后用剩下兩個(gè)數(shù)字的和除以該行的總和，就得到了甲獲得最終勝利的概率為3/4，即p=0.75。這種方法相當(dāng)便捷，能節(jié)省大量時(shí)間。

只要是雙方每回合獲勝概率相等的比賽，我們都可以采用該方法來分析，比如拋硬幣、勢(shì)均力敵的球賽。最大回合數(shù)為X，我們就用第X行的數(shù)字來分析（再次強(qiáng)調(diào)，最上面是第0行），該行所有數(shù)字的總和，就是所有可能出現(xiàn)的結(jié)果的總數(shù)。假如一共拋7次硬幣，那么你就應(yīng)該用第7行的數(shù)字來分析，即1、7、21那一行。該行所有數(shù)字的總和等于128，所以拋7次硬幣一共有128種可能性。

現(xiàn)在假定你想知道拋7次硬幣，某結(jié)果出現(xiàn)Y次的概率有多大，比如硬幣正面朝上出現(xiàn)Y次。

有可能拋了7次全是背面朝上，1次正面都沒看到。而在全部的128種結(jié)果當(dāng)中，只有1種結(jié)果符合這一情形。

出現(xiàn)1次正面、6次反面的結(jié)果有7個(gè)。這是因?yàn)?次結(jié)果當(dāng)中，只要正面恰好出現(xiàn)一次就行，具體哪次出現(xiàn)的并不重要。出現(xiàn)2次正面、5次反面的結(jié)果有21個(gè)（我就不一一列舉了，你可以自己驗(yàn)證一下）。出現(xiàn)3次正面、4次反面的結(jié)果有35個(gè)。

看出規(guī)律了嗎？1、7、21、35——這就是楊輝三角形的第7行。

因此，如果你想知道拋X次硬幣，正面出現(xiàn)Y次的概率，你就可以在三角形中找到第X行的數(shù)字，然后自左向右找到第Y個(gè)數(shù)字（需要強(qiáng)調(diào)的是，最左側(cè)的1視作第0個(gè)數(shù)字），用該數(shù)字除以該行所有數(shù)字的總和。比如你想知道拋7次硬幣，正面出現(xiàn)5次的概率，那你就應(yīng)該先找到第7行的數(shù)字，1、7、21、35、35、21、7、1，然后自左向右找到第5個(gè)數(shù)字，即21。所求概率為21/128≈0.164，接近1/6。

如果想求“正面至少出現(xiàn)5次”的概率，你只需把Y等于6和7的情況再加上去，即21+7+1=29，再用它除以該行總數(shù)128。帕斯卡在分析“賭資公平分配”問題時(shí)用的就是這一方法。

分析各種結(jié)果的概率有很多方法，楊輝三角形只是其中一種相對(duì)便捷的方式。如果每回合的可能性只有兩種，就像拋硬幣一樣，我們就將其稱為“二項(xiàng)分布”。

由此可見，當(dāng)你想知道某件事發(fā)生的概率有多大時(shí)，你就需要分析一共有多少種結(jié)果符合該情形，以及所有可能的結(jié)果的總數(shù)。我想，你現(xiàn)在應(yīng)該對(duì)“概率”有一個(gè)相對(duì)具象化的認(rèn)知了。