1.1.2　數(shù)盡其用——數(shù)系的擴(kuò)充

中國(guó)的計(jì)數(shù)符號(hào)不斷演變與發(fā)展，從結(jié)繩計(jì)數(shù)、刻痕計(jì)數(shù)到殷墟甲骨文中13個(gè)計(jì)數(shù)符號(hào)、算籌計(jì)數(shù)、十進(jìn)位值制的發(fā)明使用，所研究的數(shù)都是自然數(shù)。由于社會(huì)生產(chǎn)力的發(fā)展和數(shù)學(xué)內(nèi)部發(fā)展的需要，數(shù)系也在不斷地?cái)U(kuò)充中。

負(fù)數(shù)概念最早起源于經(jīng)濟(jì)生活中的不足和虧損，李悝在《法經(jīng)》中就有“不足四百五十”的說法，居延漢簡(jiǎn)中則有許多“負(fù)算”實(shí)例，這些都是負(fù)數(shù)概念的現(xiàn)實(shí)原型。隨著人類對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)的深入，必然認(rèn)識(shí)到存在著具有相反意義的量。據(jù)記載，中國(guó)是最早認(rèn)識(shí)和使用負(fù)數(shù)的國(guó)家，《九章算術(shù)》方程章解線性方程組過程中遇到了減數(shù)大于被減數(shù)的情況，提出了正負(fù)術(shù)。魏晉著名數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》首次明確提出了正數(shù)和負(fù)數(shù)的概念，并用紅色、黑色兩種顏色的算籌分別表示正數(shù)和負(fù)數(shù)，或者以正、斜排列的算籌表示正數(shù)與負(fù)數(shù)。負(fù)數(shù)的產(chǎn)生解決了在自然數(shù)集范圍內(nèi)解x+2=0這類方程無解的情況，至此，自然數(shù)集擴(kuò)充為整數(shù)集。

整數(shù)集的產(chǎn)生帶來了很大幫助，但進(jìn)行計(jì)算和測(cè)量時(shí)又遇到了麻煩。幾個(gè)人一起分一個(gè)餅，這時(shí)每個(gè)人分到的量既不是“1”（整個(gè)餅），也不是“0”（完全沒有分到）。為了解決物品分配的問題便產(chǎn)生了分?jǐn)?shù)，需將餅平均分成若干份，用一份或幾份來表示每個(gè)人所得量（圖1.4）。我國(guó)很早就開始使用分?jǐn)?shù)，《九章算術(shù)》中“方田”章里就記錄了分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算法。和負(fù)數(shù)的產(chǎn)生一樣，分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生也可解決在整數(shù)范圍內(nèi)解3x-2=0這類方程無解的情況。分?jǐn)?shù)和整數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)，于是整數(shù)集擴(kuò)充到有理數(shù)集。

圖1.4　分餅

生活中我們接觸和使用最多的就是有理數(shù)，但在公元前500年前后，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的門徒希帕索斯發(fā)現(xiàn)并證明了邊長(zhǎng)為“1”的正方形對(duì)角線長(zhǎng)“不可公度”（不能表示成兩個(gè)整數(shù)之比），由此引發(fā)數(shù)學(xué)史上第一次數(shù)學(xué)危機(jī)。在中國(guó)，《九章算術(shù)》“少廣”章中記錄了開平方術(shù)與開立方術(shù)，開方術(shù)在敘述了開平方的程序之后說：“若開之不盡者為不可開，當(dāng)以面命之。”術(shù)文中的“面”就是開方不盡之?dāng)?shù)的方根，“某數(shù)之面”就是以某數(shù)為面積的正方形的邊長(zhǎng)。若一個(gè)正方形的面積為3，則可知其邊長(zhǎng)是“”。類似這樣“開之不盡”的數(shù)就是無理數(shù)，無理數(shù)的出現(xiàn)也可使x²-3=0這類方程找到相應(yīng)的解。有理數(shù)和無理數(shù)構(gòu)成了數(shù)學(xué)中的重要數(shù)集——實(shí)數(shù)集。

隨著人們對(duì)新知的探索，新的矛盾又產(chǎn)生了，某些代數(shù)方程的解已超出了實(shí)數(shù)范圍，實(shí)數(shù)集需要進(jìn)一步擴(kuò)充。虛數(shù)單位i的產(chǎn)生使得x²+1=0這類方程可以求解，于是實(shí)數(shù)系又進(jìn)一步擴(kuò)充到復(fù)數(shù)系……（圖1.5）“數(shù)”還在不斷發(fā)展壯大來滿足社會(huì)需求與數(shù)學(xué)發(fā)展需要，“數(shù)”也將會(huì)在人們不斷探索和實(shí)踐中逐漸完善和豐富。

圖1.5　數(shù)系的擴(kuò)充