1.1　函數(shù)

1.1.1　函數(shù)的定義

在分析事物發(fā)展變化的規(guī)律之前，首先要建立事物的數(shù)學(xué)模型—函數(shù)，確定兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，或者系統(tǒng)輸入與輸出之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系等。

定義1-1　設(shè)D，B是兩個(gè)非空的數(shù)集，如果按照某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合D中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的一個(gè)數(shù)y與之對(duì)應(yīng)，則稱f是從集合D到集合B的一個(gè)函數(shù)，記為

其中，x稱為自變量，y稱為因變量，數(shù)集D稱為函數(shù)的定義域。

有些函數(shù)直接給出了定義域，如函數(shù)y=sin x，的定義域?yàn)?img alt="" class="pic-h-2" src="https://epubservercos.yuewen.com/A811B9/31397825703550206/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-P15_38795.jpg?sign=1754477962-fD2ersnDjhnv71IdCv72hYhqkJ0TS16Q-0-d9619b3fc636defffa276651ce177061">。如果沒有明確限定自變量x的范圍，那么函數(shù)的定義域?yàn)槭沟煤瘮?shù)有意義的全體x構(gòu)成的集合。如函數(shù)當(dāng)x∈[0，+∞)時(shí)有意義，所以函數(shù)的定義域?yàn)閇0，+∞)。

【例1-1】　求函數(shù)的定義域。

解：要使函數(shù)有意義，必須同時(shí)滿足

所以，函數(shù)的定義域?yàn)閇0, 1]。

當(dāng)x取集合D中的一個(gè)數(shù)值x₀時(shí)，與x₀對(duì)應(yīng)的y的值叫作函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x₀處的函數(shù)值，記作f(x₀)或。當(dāng)x取遍定義域D內(nèi)的所有值時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的集合稱為函數(shù)y=f(x)的值域。

函數(shù)y=f(x)中，符號(hào)“f”表示從集合D到集合B的對(duì)應(yīng)法則，不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系用不同的符號(hào)表示。例如，用f表示平方對(duì)應(yīng)關(guān)系，用g表示立方對(duì)應(yīng)關(guān)系。

定義域與對(duì)應(yīng)法則是構(gòu)成函數(shù)的兩個(gè)要素，如果兩個(gè)函數(shù)的定義域與對(duì)應(yīng)法則都相同，那么這兩個(gè)函數(shù)是完全相同的。而x和y只是表示自變量和因變量的兩個(gè)符號(hào)，也可以用其他符號(hào)表示。

【例1-2】　判斷下列各組函數(shù)是否同一個(gè)函數(shù)。

（1）y=lnx2與y=2lnx；

（2）與。

解：（1）因?yàn)?lnx=lnx2，所以這兩個(gè)函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則相同。

但是，對(duì)于函數(shù)y=lnx2，要求x2>0，即定義域?yàn)?-∞,0)∪(0,+∞)。而對(duì)于函數(shù)y=2ln x，要求x>0，即定義域?yàn)?0,+∞)。所以兩個(gè)函數(shù)的定義域不同。

兩個(gè)函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則相同，但是定義域不同，所以這兩個(gè)函數(shù)不是同一個(gè)函數(shù)。

（2）因?yàn)?img alt="" class="pic-h-1" src="https://epubservercos.yuewen.com/A811B9/31397825703550206/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-P15_38824.jpg?sign=1754477962-HBlVkRRgMAz7t41xbyCVupL17gG5Bv9q-0-8093e7f0f550962132049f16cfa475ce">，所以這兩個(gè)函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則相同。

函數(shù)和的定義域均為R。這兩個(gè)函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則和定義域都相同，所以是同一個(gè)函數(shù)。