五　“追趕上前”的話

“講第三節課的時候，我曾經說過，倘若你有了一張圖，坐在屋里，看看表，又看看圖，隨時就可知道你出了門的弟弟離開你有多遠。這次我就來講關于走路這一類的問題。”馬先生今天這樣開場。

例一：趙阿毛上午8點由家中動身到城里去，每小時走3里。上午11點，他的兒子趙小毛發現他忘了帶應當帶到城里去的東西，便拿著東西從后面追去。趙小毛若每小時走5里，什么時候可以追上趙阿毛？

這題只需用第二節課的最后一個作基礎便可解答出來。用橫線表示路程，每一小段1里；用縱線表示時間，每兩小段1小時。——縱橫線用作單位1的長度，無妨各異，只要表示得明白，如圖5-1所示。

因為趙阿毛是上午8點由家中動身的，所以時間就用上午8點作起點。趙阿毛每小時走3里，他走的行程和時間是“定倍數”的關系，畫出來就是AB線。

趙小毛是上午11點動身的，他走的行程和時間對于交在C點的縱橫線來說，也是“定倍數”的關系，畫出來就是CD線。

AB和CD交于E，趙阿毛和趙小毛父子倆在這兒碰上了。

從E點橫看，是下午三點半，這就是答案。

“你們仔細看這個，比上次的有趣味。”趣味？今天馬先生從走進課堂直到現在，都是板著面孔的，我還以為他有什么不高興的事，或是身體不適呢！聽到這兩個字，知道他將要說什么趣話了，精神不禁為之一振。但是仔細看一看圖，依然和上次的各個例題一樣，只有兩條直線和一個交點，真不知道馬先生說的趣味在哪里。別人大概也和我一樣，沒有看出什么特別的趣味，所以整個課堂上，只有靜默。打破這靜默的，自然只有馬先生：

“看不出嗎？不是真正的趣味‘橫’生嗎？”

馬先生的這個“橫”字說得特別響，同時右手拿著粉筆朝著黑板上的圖橫著一畫。我們還是猜不透這個謎。

“大家橫著看！看兩條直線間的距離！”馬先生這么一提示，大家都去看那兩條線間的距離。

“看出了什么？”馬先生靜了一下問。

“越來越短，最后變成了零。”周學敏回答。

“不錯！但這表示什么意思？”

“兩人越走越近，到后來便碰在一起了。”王有道回答。

“對的。那么，趙小毛動身的時候，兩人相隔幾里？”

“9里。”

“走了1小時呢？”

“7里。”

“再走1小時呢？”

“5里。”

“每走1小時，趙小毛趕上趙阿毛幾里？”

“2里。”這幾次差不多都是齊聲回答，課堂顯得格外熱鬧。

“這2里從哪里來？”

“趙小毛每小時走5里，趙阿毛每小時只走3里，5里減去3里，便是2里。”我搶著回答。

“好！兩人先相隔9里，趙小毛每小時能夠追上2里，那么幾小時可以追上？用什么算法計算？”馬先生這次向著我問。

“用2去除9得4.5。”我答。

馬先生又問：“最初相隔的9里怎樣來的呢？”

“趙阿毛每小時走3里，上午8點動身，走到上午11點，一共走了3小時，三三得九。”另一個同學這么回答。

在這以后，馬先生就寫出了下面的算式：

3里／小時×3小時÷（5里／小時-3里／小時）=9里÷2里／小時=4.5小時——趙小毛走的時間

11時 + 4.5時 - 12時=3.5時——即下午3點半

“從這次起，公式不寫了，讓你們去如法炮制吧。從圖上還可以看出來，趙阿毛和趙小毛相遇的地方，距家22.5里。若是將AE、CE延長，兩線間的距離又越來越長，但AE翻到了CE的上面。這就表示，若他們父子碰到以后，各自仍繼續前進，趙小毛便走在了趙阿毛前面，并且二人越離越遠。”

試將這個題改成“甲每時行3里，乙每時行5里，甲動身后3小時，乙去追他，幾時能追上？”這就更一般了，畫出圖來，當然和前面的一樣。不過表示時間的數字需換成0, 1, 2, 3…

例二：甲每小時行3里，動身后3小時，乙去追他，4.5小時追上，乙每小時行幾里？

如圖5-2所示，對于這個題，表示甲走的行程和時間的線AB，自然誰都會畫了。而表示乙走的行程和時間的線，經過馬先生的指導，大家都知道：因為乙是在甲動身后3小時才動身，故而得C點。又因為乙追了4.5小時趕上甲，這時甲正走到E，而得E點，連結CE，就是所求的線。再看每過1小時，橫線對應增加5，所以知道乙每小時行5里。這真是馬先生說的趣味橫生了。

不但如此，圖5-2明明白白地指示出來：甲7.5小時走的路程是22.5里，乙4小時半走的也正是這么多，所以很容易就能想出這題的算法。

3里／小時×（3小時+4.5小時）÷4.5小時=22.5里÷4.5小時=5里／小時——乙每小時走的里數

但是馬先生的主要目的不在討論這題的算法上，當我們得到了答案和算法后，他又寫出下面的例題。

例三：甲每小時行3里，動身后3小時，乙去追他，追到22.5里的地方追上，求乙的速度。

跟著例二來解這個問題，真是十分輕松，不必費心思索，就知道應當這樣算：

22.5里÷（22.5里÷3里／小時-3小時）=22.5里÷4.5小時=5里／小時——乙每小時走的里數

圖大家都會畫了，而且這一連3個例題的圖簡直就是一樣的，只是畫的方法或說明不同。甲走了7.5小時，比乙多走3小時，則乙走了4.5小時，路程是22.5里。上面的計算法，由圖上看來，真是“了如指掌”啊！我今天才深深地感到對算學有這么濃厚的興趣！

馬先生在大家算完這題以后總結道：

“由這3個例子來看，一個圖可以表示幾個不同的題，只是著眼點和說明不同。這不是很有趣味嗎？原來例二、例三都是從例一轉化來的，雖然面孔不同，本質卻沒有兩樣。這類問題的根本都是距離、時間、速度的關系。你們應該已經明白：

“速度×時間=距離。

“由此演化出來，便得：

“速度=距離÷時間，時間=距離÷速度。”

我們說：

“趙阿毛的兒子是趙小毛，老婆是趙大嫂子。

“趙大嫂子的老公是趙阿毛，兒子是趙小毛。

“趙小毛的媽媽是趙大嫂子，爸爸是趙阿毛。”

這3句話，表面上看起來自然不一樣，立足點也不同，從文學上帶給我們的意味、語感也不同，但表示的根本關系卻只有一個，如圖5-3所示。

照這種情形，將例一先分析一下，我們可以獲得下面各元素以及元素間的關系：

1．甲每小時行3里。

2．甲先走3小時。

3．甲共走7.5小時。

4．甲、乙都走了22.5里。

5．乙每小時行5里。

6．乙共走4.5小時。

7．甲每小時所走的里數（速度）乘以所走的時間，得甲走的距離。

8．乙每小時所走的里數（速度）乘以所走的時間，得乙走的距離。

9．甲、乙所走的距離相等。

10．甲、乙每小時所行的里數相差2。

11．甲、乙所走的小時數相差3。

1到6是這題所含的6個元素。一般地說，只要知道其中3個，便可將其余的3個求出來。如例一，知道的是1、5、2，而求得的是6，但由2、6便可得3，由5、6就可得4。例二，知道的是1、2、6，而求得5，由2、6當然可得3，由6、5便得4。例三，知道的是1、2、4，而求得5，由1、4可得3，由5、4可得6。

不過也有例外，如1、3、4，因為4可以由1、3得出來，所以不能成為一個題。2、3、6只有時間，而且由2、3就可得6，也不能成題。再看4、5、6，由4、5可得6，一樣不能成題。

從6個元素中取出3個來做題目，照理可成20個。除了上面所說的不能成題的3個，以及前面已舉例的3個，還有14個。這14個的算法，當然很容易推知，畫出圖來和前3個例子完全一樣。為了便于比較、研究，逐一寫在后面。

例四：甲每小時行3里，走了3小時乙才動身，他共走了7.5小時被乙趕上，求乙的速度。

3里／小時×7.5小時÷（7.5小時-3小時）=5里／小時——乙每小時所行的里數

例五：甲每小時行3里，先動身，乙每小時行5里，從后面追他，只知甲共走了7.5小時，被乙追上，求甲先動身幾小時？

7.5小時-3里／小時×7.5小時÷5里／小時=3小時——甲先動身3小時

例六：甲每小時行3里，先動身，乙從后面追他，4.5小時追上，而甲共走了7.5小時，求乙的速度。

3里／小時×7.5小時÷4.5小時=5里／小時——乙每小時所行的里數

例七：甲每小時行3里，先動身，乙每小時行5里，從后面追他，走了22.5里追上，求甲先走的時間。

22.5里÷3里／小時-22.5里÷5里／小時=7.5小時-4.5小時=3小時——甲先走3小時

例八：甲每小時行3里，先動身，乙追4.5小時，共走22.5里追上，求甲先走的時間。

22.5里÷3里／小時-4.5小時=7.5小時-4.5小時=3小時——甲先走3小時

例九：甲每小時行3里，先動身，乙從后面追他，每小時行5里，4.5小時追上，甲共走了幾小時？

5里／小時×4.5小時÷3里／小時=22.5里÷3里／小時=7.5小時——甲共走7.5小時

例十：甲先走3小時，乙從后面追他，在距出發地22.5里的地方追上，甲共走了7.5小時，求乙的速度。

22.5里÷（7.5小時-3小時）=22.5里÷4.5小時=5里／小時——乙每小時所行的里數

例十一：甲先走3小時，乙從后面追他，每小時行5里，到甲共走7.5小時的時候追上，求甲的速度。

5里／小時×（7.5小時-3小時）÷7.5小時=22.5里÷7.5小時=3里／小時——甲每小時所行的里數

例十二：乙每小時行5里，在甲走了3小時的時候動身追甲，乙共走22.5里追上，求甲的速度。

22.5里÷（22.5里÷5里／小時+3小時）=22.5里÷7.5小時=3里／小時——甲每小時所行的里數

例十三：甲先動身3小時，乙用4.5小時，走22.5里路追上甲，求甲的速度。

22.5里÷（3小時+4.5小時）=22.5里÷7.5小時=3里／小時——甲每小時所行的里數

例十四：甲先動身3小時，乙每小時行5里，從后面追他，走4.5小時追上，求甲的速度。

5里／小時×4.5小時÷（3小時+4.5小時）=22.5里÷7.5小時=3里／小時——甲每小時所行的里數

例十五：甲7.5小時走22.5里，乙每小時行5里，在甲動身若干小時后動身，正追上甲，求甲先走的時間。

7.5小時-22.5里÷5里／小時=7.5小時-4.5小時=3小時——甲先走3小時

例十六：甲動身后若干時，乙動身追甲，甲共走7.5小時，乙共走4.5小時，所走的距離為22.5里，求各人的速度。

22.5里÷7.5小時=3里／小時——甲每小時所行的里數

22.5里÷4.5小時=5里／小時——乙每小時所行的里數

例十七：乙每小時行5里，在甲動身若干時后追他，到追上時，甲共走了7.5小時，乙只走4.5小時，求甲的速度。

5里／小時×4.5小時÷7.5小時=22.5里÷7.5小時=3里／小時——甲每小時所行的里數

在這17個題中，第十六題只是應有的文章，嚴格地說，已不成一個題了。將這些題對照圖來看，比較它們的算法，可以知道：將一個題中的已知元素和所求元素對調而組成一個新題，這兩個題的計算法的更改有一定法則。大體說來，新題的算法對于被調的元素來說，正是原題算法的還原，加減互變，乘除也互變。

前面每一題都只求一個元素，若將各未知的三元素作一題，實際就成了48個。還有，甲每小時行3里，先走3小時，就是先走9里，這也可用來代替第二元素，而和其他兩個元素組成若干題。這樣推究下去，多么有趣！而且，這對于研究學問實在是一種很好的訓練。

本來無論什么題，都可以下這么一番功夫探究的，但前幾次的例子比較簡單，變化也就少一些，所以不曾說到。而舉一反三，正好是一個練習的機會，以后也不再這么不怕麻煩地講了。

這樣推究，學會了一個題的計算法，便可悟到許多關系相同、形式各樣的題的算法，不止“舉一反三”，簡直要“聞一以知十”了，這使我覺得無比快樂！我現在才感到算學不是枯燥的學科。

馬先生花費許多精力教給我們探索題目的方法，時間已過去不少，但他還要不辭辛苦地繼續講下去。

例十八：甲、乙兩人在東西相隔14里的兩地，同時相向動身，甲每小時行2里，乙每小時行1.5里，兩人幾時在途中相遇？

這差不多算是我們自己做出來的，馬先生只告訴我們應當注意兩點：第一，甲和乙走的方向相反，所以甲從C向D，乙就從A向B，AC相隔14里；第二，因為題上所給的數都不大，圖上的單位應取大一些——都用二小段當一——這樣圖才好看，做算學也需兼顧好看，如圖5-4所示。

由E點橫看得4，自然就是4小時兩人在途中相遇了。

“趣味橫生”，橫向看去，甲、乙兩人每走1小時將近3.5里，就是甲、乙速度的和，所以算法也就出來了：

14里÷（2里／小時+1.5里／小時）=14里÷3.5里／小時=4小時——所求的小時數

這算法，沒有一個人不對，算學真是人人能領受的啊！

馬先生高興地提出下面的問題，要我們回答算法。當然，這更不是什么難事！

1．兩人相遇的地方，距東西各幾里？

2里／小時×4小時=8里——距東的里數

1.5里／小時×4小時=6里——距西的里數

2．甲到了西地，乙還距東地幾里？

14里-1.5里／小時×（14里÷2里／小時）=14里-10.5里=3.5里——乙距東的里數

下面的推究，是我和王有道、周學敏依照馬先生的前例做的。

例十九：甲、乙兩人在東西相隔14里的兩地，同時相向動身，甲每小時行2里，走了4小時，兩人在途中相遇，求乙的速度。

（14里-2里／小時×4小時）÷4小時=6里÷4小時=1.5里／小時——乙每小時行的里數

例二十：甲、乙兩人在東西相隔14里的兩地，同時相向動身，乙每小時行1.5里，走了4小時，兩人在途中相遇，求甲的速度。

（14里-1.5里／小時×4小時）÷4小時=8里÷4小時=2里／小時——甲每小時行的里數

例二十一：甲、乙兩人在東西兩地，同時相向動身，甲每小時行2里，乙每小時行1.5里，走了4小時，兩人在途中相遇，兩地相隔幾里？

（2里／小時+1.5里／小時）×4小時=3.5里／小時×4小時=14里——兩地相隔的里數

這個例題所含的元素只有4個，所以只能組成4個形式不同的題，自然比馬先生所講的前一個例子簡單得多。不過，我們能夠這樣窮追不舍，心中確實感到無比愉快！

下面又是馬先生所提示的例子。

例二十二：從宋莊到毛鎮有20里，何畏4小時走到，蘇紹武5小時走到，兩人同時從宋莊動身，走了3.5小時，相隔幾里？走了多長時間，相隔3里？

馬先生說，這個題目的要點，在于正確地指明解法所在。他將表示甲和乙所走的行程、時間的關系的線畫出以后（如圖5-5所示），這樣問：

“走了3.5小時，相隔的里數，怎樣表示出來？”

“從3.5小時的那一點畫條橫線，與兩直線相交于FH，FH間的距離——3.5里，就是所求的。”

“那么，幾時相隔3里呢？”

由圖上，很清晰地可以看出來：走了3小時，就相隔3里。但怎樣通過畫圖求解，我們被難住了。

馬先生見沒人回答，便說：“你們難道沒有留意過斜方形嗎？”隨即在黑板上畫了一個ABCD四邊形（如圖5-6所示），接著說：

“你們看圖上AD、BC是平行的，AB、DC以及AD、BC間的橫線也都是平行的，而且還一樣長。應用這個道理，圖5-5過距O點3里的一點，畫一條線和OB平行，它與OA交于E。在E這點兩線間的距離正好指示為3里，而橫向看去，是3小時，這便是答案。”

至于這題的算法，不用說，很簡單，馬先生大概因此不曾提起，我補充在下面：

（20里÷4里／小時-20里÷5里／小時）×3.5小時=3.5里——走了3.5小時相隔的里數

3里÷（20里÷4里／小時-20里÷5里／小時）=3小時——相隔3里所需的時間

跟著，馬先生所提出的例題更復雜、有趣了。

例二十三：甲每10分鐘走1里，乙每10分鐘走1.5里。甲動身50分鐘時，乙從甲出發的地點動身去追甲。乙走到6里的地方想起忘帶東西了，馬上回到出發處尋找。他花費50分鐘找到了東西，加快速度，每10分鐘走2里去追甲。若甲在乙動身轉回時，休息過30分鐘，乙在什么地方追上甲？

“先來討論表示乙所走的行程和時間的線的畫法。”馬先生說，“這里有五點需注意：1．出發的時間比甲遲50分鐘；2．出發后每10分鐘行1.5里；3．走到6里便回頭，速度沒有變；4．在出發地停了50分鐘才第二次動身；5．第二次的速度為每10分鐘行2里。

“依第一點，就時間說，應從50分鐘的地方畫起，因而得A。從A起依照第二點，每一單位時間——10分鐘——1.5里的定倍數，畫直線到6里的地方，得AB。

“依第三點，從B折回，照同樣的定倍數畫線，正好到130分鐘的C，得BC。

“依第四點，雖然時間一分一秒地過去，乙卻沒有離開一步，即50分鐘都停著不動，所以得CD。

“依第五點，從D起，每單位時間以2里的定倍數行走，畫直線DF，如圖5-7所示。

“至于表示甲所走的行程和時間的線，卻比較簡單，始終是一定的速度前進，只有在乙達到6里（B）——正是90分鐘，甲達到9里時，他休息了（停著不動）30分鐘，然后繼續前進，因而這條線是GH、IJ。

“兩線相交于E點，從E點往下看得30里，就是乙在距出發點30里的地點追上甲。”

“從圖5-7上能夠觀察出算法來嗎？”馬先生問。

“當然可以的。”沒有人回答，他自己說，接著就講了計算法。

老實說，這個題從圖上看去，就和乙在D所指的時間，用每10分鐘2里的速度從后面去追甲一樣。但甲這時已走到K，所以乙需追上的里數，就是DK所指示的。

倘若知道了GD所表示的時間，那么除掉甲在HI休息的30分鐘，便是甲從G到K所用的時間，用它去乘甲的速度，得出來的即是DK所表示的距離。

圖上GA是甲先走的時間，50分鐘。

AM、MC都是乙以每10分鐘行1.5里的速度，走了6里所花費的時間，所以都是（6÷1.5）個10分鐘。

CD是乙尋找東西花費的時間——50分鐘。

因此，GD所表示的時間，也就是乙第二次動身追甲時，甲已經在路上花費的時間，應當是：

GD = GA + AM × 2 + CD = 50分 + 10分×（6 ÷ 1.5）× 2 + 50分 = 180分

但甲在這段時間內，休息過30分鐘，所以，在路上走的時間只是：

180分 - 30分 = 150分

而甲的速度是每10分鐘1里，因而，DK所表示的距離是：

1里/10分鐘×（150÷10）=15里

乙追上甲從第二次動身所用的時間是：

15里÷（2里/10分鐘-1里/10分鐘）=15——15個10分鐘

乙所走的距離是：

2里/10分鐘×15個10分鐘=30里

這題真是曲折，要不是有圖對著看，這個算法，我是很難聽懂的。

馬先生說：“我再用一個例題來作這一課的收場。”

例二十四：甲、乙兩地相隔1萬公尺，每隔5分鐘同時對開一部電車，電車的速度為每分鐘500公尺。馮立人從甲地乘電車到乙地，在電車中和對面開來的車兩次相遇，中間隔幾分鐘？又從開車到乙地之間，和對面開來的車相遇幾次？

題目寫出后，馬先生和我們進行了下面的問答。

“兩地相隔1萬公尺，電車每分鐘行500公尺，幾分鐘可走一趟？”

“20分鐘。”

“倘若馮立人所乘的電車是對面剛開到的，那么這部車是幾時從乙地開過來的？”

“前20分鐘。”

“這部車從乙地開出，再回到乙地共需多長時間？”

“40分鐘。”

“乙地每5分鐘開來一部電車，40分鐘共開來幾部？”

“8部。”

經過這樣一番討論，馬先生將圖畫了出來，還有什么難懂的呢？

由圖5-8所示，一眼就可得出，馮立人在電車中，和對面開來的電車相遇兩次，中間相隔的是2.5分鐘。

而從開車到乙地，中間和對面開來的車相遇7次。

算法是這樣：

10000公尺 ÷ 500公尺／分鐘 = 20分鐘——走一趟的時間

20分鐘 × 2 = 40分鐘——來回一趟的時間

40分鐘 ÷ 5分鐘 = 8——一部車自己來回一趟，中間乙所開的車數

20分鐘 ÷ 8 = 2.5分鐘——和對面開來的車相遇兩次，中間相隔的時間

8次 - 1次 = 7次——和對面開來的車相遇的次數

“這課到此為止，但我還得拖個尾巴，留個題給你們自己去做。”說完，馬先生寫出下面的題，匆匆地退出課堂，他額上的汗珠已滾到頰上了。

今天足足在課堂上坐了兩個半小時，回到寢室里，我覺得很疲倦，但對于馬先生出的題，不知為什么，還想繼續探究一番，于是決心獨自試做。總算“有志者事竟成”，費了20分鐘，居然成功了。但愿經過這個暑假，我能夠找到得心應手的算學學習方法！

例二十五：甲、乙兩地相隔3英里，電車每時行18英里，從上午5時起，每15分鐘兩地各開車一部。阿土上午5:01從甲地電車站開始順著電車軌道步行，于6:05到乙地車站。阿土在路上碰到往來的電車共幾次？第一次是在什么時間和什么地點？

答案：如圖5-9所示。

阿土共碰到往來電車共8次。

第一次約在上午5時8分半多。

第一次離甲地0.36英里。