理論篇

1 1+1=2：數學的溯源

數學獨立于時空之外，在哪個宇宙都是亙古不變的。

從遠古說起

在遠古時期，兩個古埃及人若是在尼羅河捕到了3條魚，那會是他們一天中最幸福的時刻。因為在物資極其匱乏的原始部落里，3是他們能想到的最大的數字。如果一個數字大于3，他們的腦袋就會變成一團亂麻，只能回答“許多個”或者“數不清”。

但很快，這兩個古埃及人開始苦惱起來，香氣撲鼻的烤肉味使他們在心中打起了小算盤。兩人偷偷地擺弄起自己的手指計數：每人一條魚，那就是丨和丨，擺在一起顯然是丨丨，那剩下的魚怎么辦呢？將它帶回去贈給年逾古稀的酋長，還是獻祭給護佑部落的法老，或者直接丟回尼羅河，讓它回歸自己的故鄉？

第3條魚宿命如何，我們不知道，但是在分配食物的過程中，祖先在有了“數量”的概念之后，逐漸意識到了1+1=2，這看似小兒科，卻是人類文明史上極其偉大的時刻。因為在祖先認識到兩數相加得到另一個確定的數時，已經具備了超越其他種族的數學思維，并且發現了“數學”的一個重要的性質——可加性。

1+1=2，關于這個公式，它直接涉及的就是加法和自然數 1。它看似簡單，卻是數學最原始的種子，有了這顆種子，數學這棵樹才開始生根發芽、茁壯成長，直至今天成為人類文明的基石之一。

加法和自然數

我們已經無從考證，加法究竟產生于何時，但從文字記載中發現，加法和減法運算是人類最早掌握的兩種數學運算。古埃及的阿默斯紙草書中就用向右走的兩條腿“”表示加號，向左走的兩條腿“”表示減號。

目前通用的“+”“-”出現于歐洲的中世紀時期，當時酒商在售出酒后，曾用橫線標出酒桶里的存酒，而當桶里的酒增加時，便用豎線把原來畫的橫線劃掉，于是就出現“-”和“+”兩個符號。1630年以后，“+”作為運算符號得到公認。

自然數比“+”“-”出現得更早。大約在1萬年以前，冰河退卻的石器時代，馬背上的游牧狩獵者開始了一種全新的生活，他們從馬背上跳了下來選擇農耕，雖然吟游詩人一直在歌頌自由的游獵生活，但那只是表面的風光。實際上，尋找到一塊肥沃的土地定居下來，刀耕火種才能讓一個家吃飽穿暖，繁衍后代。

這是一種巨大的改變，與簡單粗暴的掠奪方式不同，他們需要掌握更多的數學知識，記錄季節和日期，計算收成和種子。這讓這群四肢發達的壯漢很是頭疼。

在尼羅河谷、底格里斯河與幼發拉底河流域，很快就發展起了更復雜的農業社會，這群剛進入新時代的農民還遇到了交納租稅的問題。顯然，過去石器部落文化里總結的“1、2、3”已遠遠不夠用了，人們迫切需要“數”有名稱，而且計數必須更準確。

然而，沒有人見過自然數，也沒有人知道它是怎么排列分布的。

自然數是用以計量事物的件數或表示事物次序的數。它的分布或許是兜兜轉轉一個圈，或許是螺旋交錯纏繞式，或許是放射爆炸發散式……不同的選擇就會有不同的結果。數學最后選擇的是不可逆的直線式的有序體系，如圖1-1所示，自然數也有了統一的表現方式。

自然數和加法的出現，標志著人類有了自己的數學“橋頭堡”。從此，人類開啟了智力之路的漫漫長征。

皮亞諾的五條公理

我們都知道1+1=2，但你是否想過1+1為什么等于2 ？

一旦思考這個問題，就會陷入無窮無盡的煩惱之中——只要涉及本質的追問，人類總是手足無措，就像我們追問宇宙大爆炸中誰是“第一推動力”一樣。

很多人會說，這個公式是無須證明、無須解釋的。但那些真理的信徒并不認為這是一個好答案，他們熱衷于“鉆牛角尖”：憑什么1+1=2就不需要證明了？

有幾位數學家孜孜不倦地在探索中為我們解答了這一問題。其中，意大利數學家皮亞諾用公理 2把自然數安放在了數學世界中，用五條公理建立了一階算術系統，可以用來推導出1+1=2這一最簡單的等式。

公理1 ：0是自然數。

茫茫的數學宇宙里，從此有了第一個身影——0，如圖1-2所示。

公理2 ：每一個確定的自然數a，都有一個確定的后繼數 3 a′， a′也是自然數。

那么，這個自然數起點0是怎么爆發的呢？后繼數會以什么樣的形式出現？是調皮地圍著0轉，還是偷偷地跑到0的后面，抑或是狠心地留0在那兒？

公理2做出了選擇，讓偌大的數學空間中出現的每個數都擁有一個確定的后繼數陪伴著自己，如圖1-3所示。

公理3 ：0不是任何自然數的后繼數。

為了避免后繼數不守規矩跑到0的前面，公理3確定了0必須也只能是自然數的第一個數。但是防不勝防，這群后繼數也沒那么安分，有可能2的后繼數2=3′，也可能3的后繼數3=3′，如圖1-4所示。

公理4：不同的自然數有不同的后繼數。

為避免上述情況，公理4定義：如果n與m均為自然數且n≠m ，那么n′≠m′；如果b、c均為自然數，且b′=c ′ ，那么b=c。同一個自然數的后繼數相等，不同自然數的后繼數不相等。這樣，3就不可能既是2的后繼數，也是3的后繼數了。但如果出現圖1-5中2.5這樣的數呢？

為了杜絕2.5這樣的非自然數出現，公理5出現了。

公理5 ：假定P(n ) 是自然數的一個性質，如果P(0) 是真的，且假定P(n ) 是真的，則P(n′)也是真的，那么命題對所有自然數都為真。

它還有另外一種表述形式。

設S是自然數集的一個子集，且滿足：（1）0屬于S ；（2）如果n屬于S，那么n′也屬于S，則S是包含全體自然數的集合，即S=N。

這里的說法可能會有點拗口，但皮亞諾是一個頗有潛力的“饒舌歌手”。其實這是數學中的歸納公理，也就是說，如果定義了一個自然數的性質，那么所有自然數都將滿足這個性質，不滿足的就不是自然數。這樣，我們可以定義自然數系：存在一個自然數系N，當且僅當這些元素滿足公理1~5時，稱其元素為自然數。

然后，定義加法是滿足以下兩種規則的運算：

（1）對于任意自然數m， 0+m=m ；

（2）對于任意自然數m和n， n′+m=(n+m)′。

這樣，我們就可以證明1+1=2 ：

或者

因為1+1 的后繼數是1的后繼數的后繼數，即3；又因為2的后繼數也是3，根據皮亞諾公理4，不同自然數的后繼數不同，反之，如果兩個自然數的后繼數相同，那么這兩個自然數就相等，所以1+1=2。

這樣，根據皮亞諾五條公理建立起來的皮亞諾一階算術系統，我們就推導出了1+1=2。

哥德巴赫猜想另一個“1+1”

如何推導出1+1=2，數學家在自己的世界里尋找到了一個相對滿意的答案，雖然有點“自欺欺人”，但總算放下了心里的一塊石頭。然而，比這個更麻煩的，是解決世間另一個“1+1”，這才是歷代數學家的心頭之痛。

哥德巴赫猜想是數學皇冠上一顆可望而不可即的“明珠”，堪稱世界近代三大數學難題之一。

在18世紀前后，德國一個富家子弟哥德巴赫厭倦了錦衣玉食的生活，于是在某個失眠的夜晚過后，不顧家人阻攔，跑去做了一名中學教師，還從此一發不可收地愛上了數學，就連晚上回家休息也在搗鼓阿拉伯數字。他生平最喜歡玩的游戲竟是加法運算，而且還在玩加法游戲的過程中發現了一個規律：任何大于5的奇數都是三個素數 4之和。但令他無奈的是，他雖然發現了這個神秘的數學規律，卻怎樣也無法證明自己的發現。后來，他只能求助于當時數學界的權威人士歐拉。

1742年6月7日，哥德巴赫寫信給歐拉，提出任何大于5的奇數都是三個素數之和。隨便取一個奇數77，可寫成三個素數之和， 77=53+17+7。再任取一個奇數461，461=449+7+5，也是三個素數之和；461還可以寫成257+199+5，仍然是三個素數之和。

沒想到數學家歐拉居然也被這個問題給難住了。1742年6月30日，歐拉給哥德巴赫回信：這個命題看來是正確的，但我也給不出嚴格的證明。為了挽回自己的面子，“狡猾”的歐拉同時還提出了另一個等價命題：任何一個大于2的偶數都是兩個素數之和。

這樣一個“任一充分大的偶數，都可以表示為一個素因子個數不超過a個的數，與另一個素因子不超過b個的數之和”的命題，就被記作a+b，哥德巴赫猜想（也稱哥德巴赫-歐拉猜想）也因此被稱為另一個“1+1”。迄今為止，這個“1+1”只留下一份如圖1-6所示的稀世手稿，而有關它的證明依然在困擾著數學界。

二進制世界里的1+1

德國圖林根著名的郭塔王宮圖書館中有一份彌足珍貴的手稿，它的標題為：“1與0，一切數字的神奇淵源。這是造物秘密的美妙典范，因為，一切無非都來自上帝?！?/p>

這是德國天才大師萊布尼茨的手跡，他用異常精煉的描述，展示了一個神奇美妙的數字系統——二進制。他告訴我們：1+1≠2，在計算機代碼的世界里，1+1=10。

萊布尼茨在1697年還特意為“二進制”設計了一枚銀幣，如圖1-7所示，并把它作為新年禮物獻給他的保護人奧古斯特公爵。萊布尼茨設計此銀幣的目的是，以公爵的身份來引起人們對他創立的二進制的關注。

銀幣正面是威嚴的公爵圖像，幽暗的瞳孔似乎在沉思什么；反中間部分雕刻的是從1到17的二進制數學式。面則刻畫著一則創世故事——水面上籠罩著黑暗，頂部光芒四射……

二進制是計算機技術中廣泛采用的一種數制。二進制數據是用0和1兩個數碼來表示的。它的基數為2，進位規則是“逢二進一”，借位規則是“借一當二”。當前的計算機系統使用的基本上都是二進制系統，數據在計算機中主要是以補碼 5的形式存儲的。

可以說，從20世紀第三次科技革命爆發以來，人類就進入了計算機時代，我們在虛擬的網絡里游戲、社交、狂歡。到了21世紀，我們開始致力于人工智能的開發，而這些東西本質上都是由計算機實現的。在未來，完全身處于數字時代的我們，必將被二進制代碼籠罩。這個世界，1+1就只可能等于2嗎？

結語人類文明的“根”

不管是現實生活中簡單易懂的1+1=2，還是互聯網世界里的1+1=10，都以其自身的客觀性和普適性在時間長河里自證“偉大”。

1+1=2種下了數學的種子，推動了理性世界的基本運轉。它簡潔美妙，無處不在，是人類文明重要的“根”。

1 自然數：用以計量事物的件數或表示事物次序的數，即用數碼0，1，2，3，4…所表示的數。自然數分為偶數和奇數、合數和質數等。

2 公理：依據人類理性的不證自明的基本事實，經過人類長期反復實踐的考驗，不需要再加證明的基本命題。一個公理不能被其他公理推導出來（除非有冗余的）。

3 后繼數：緊接某個自然數后面的一個數，如2的后繼數是3，4的后繼數是5。0不是任何自然數的后繼數，每一個確定的自然數都有一個確定的后繼數。

4 素數：又稱質數，有無限個，素數定義為在大于1的自然數中，除了1和它本身以外不再有其他因數，即除了1和它本身，不能被其他自然數整除的數。

5 補碼：在計算機系統中，數值一律用補碼來表示和存儲。原因在于，使用補碼可以將符號位和數值域統一處理；同時，加法和減法也可以統一處理。此外，補碼與原碼相互轉換，其運算過程是相同的，不需要額外的硬件電路。