理論篇

1 1+1=2：數(shù)學的溯源

數(shù)學獨立于時空之外，在哪個宇宙都是亙古不變的。

從遠古說起

在遠古時期，兩個古埃及人若是在尼羅河捕到了3條魚，那會是他們一天中最幸福的時刻。因為在物資極其匱乏的原始部落里，3是他們能想到的最大的數(shù)字。如果一個數(shù)字大于3，他們的腦袋就會變成一團亂麻，只能回答“許多個”或者“數(shù)不清”。

但很快，這兩個古埃及人開始苦惱起來，香氣撲鼻的烤肉味使他們在心中打起了小算盤。兩人偷偷地擺弄起自己的手指計數(shù)：每人一條魚，那就是丨和丨，擺在一起顯然是丨丨，那剩下的魚怎么辦呢？將它帶回去贈給年逾古稀的酋長，還是獻祭給護佑部落的法老，或者直接丟回尼羅河，讓它回歸自己的故鄉(xiāng)？

第3條魚宿命如何，我們不知道，但是在分配食物的過程中，祖先在有了“數(shù)量”的概念之后，逐漸意識到了1+1=2，這看似小兒科，卻是人類文明史上極其偉大的時刻。因為在祖先認識到兩數(shù)相加得到另一個確定的數(shù)時，已經(jīng)具備了超越其他種族的數(shù)學思維，并且發(fā)現(xiàn)了“數(shù)學”的一個重要的性質(zhì)——可加性。

1+1=2，關于這個公式，它直接涉及的就是加法和自然數(shù) 1。它看似簡單，卻是數(shù)學最原始的種子，有了這顆種子，數(shù)學這棵樹才開始生根發(fā)芽、茁壯成長，直至今天成為人類文明的基石之一。

加法和自然數(shù)

我們已經(jīng)無從考證，加法究竟產(chǎn)生于何時，但從文字記載中發(fā)現(xiàn)，加法和減法運算是人類最早掌握的兩種數(shù)學運算。古埃及的阿默斯紙草書中就用向右走的兩條腿“”表示加號，向左走的兩條腿“”表示減號。

目前通用的“+”“-”出現(xiàn)于歐洲的中世紀時期，當時酒商在售出酒后，曾用橫線標出酒桶里的存酒，而當桶里的酒增加時，便用豎線把原來畫的橫線劃掉，于是就出現(xiàn)“-”和“+”兩個符號。1630年以后，“+”作為運算符號得到公認。

自然數(shù)比“+”“-”出現(xiàn)得更早。大約在1萬年以前，冰河退卻的石器時代，馬背上的游牧狩獵者開始了一種全新的生活，他們從馬背上跳了下來選擇農(nóng)耕，雖然吟游詩人一直在歌頌自由的游獵生活，但那只是表面的風光。實際上，尋找到一塊肥沃的土地定居下來，刀耕火種才能讓一個家吃飽穿暖，繁衍后代。

這是一種巨大的改變，與簡單粗暴的掠奪方式不同，他們需要掌握更多的數(shù)學知識，記錄季節(jié)和日期，計算收成和種子。這讓這群四肢發(fā)達的壯漢很是頭疼。

在尼羅河谷、底格里斯河與幼發(fā)拉底河流域，很快就發(fā)展起了更復雜的農(nóng)業(yè)社會，這群剛進入新時代的農(nóng)民還遇到了交納租稅的問題。顯然，過去石器部落文化里總結(jié)的“1、2、3”已遠遠不夠用了，人們迫切需要“數(shù)”有名稱，而且計數(shù)必須更準確。

然而，沒有人見過自然數(shù)，也沒有人知道它是怎么排列分布的。

自然數(shù)是用以計量事物的件數(shù)或表示事物次序的數(shù)。它的分布或許是兜兜轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一個圈，或許是螺旋交錯纏繞式，或許是放射爆炸發(fā)散式……不同的選擇就會有不同的結(jié)果。數(shù)學最后選擇的是不可逆的直線式的有序體系，如圖1-1所示，自然數(shù)也有了統(tǒng)一的表現(xiàn)方式。

自然數(shù)和加法的出現(xiàn)，標志著人類有了自己的數(shù)學“橋頭堡”。從此，人類開啟了智力之路的漫漫長征。

皮亞諾的五條公理

我們都知道1+1=2，但你是否想過1+1為什么等于2 ？

一旦思考這個問題，就會陷入無窮無盡的煩惱之中——只要涉及本質(zhì)的追問，人類總是手足無措，就像我們追問宇宙大爆炸中誰是“第一推動力”一樣。

很多人會說，這個公式是無須證明、無須解釋的。但那些真理的信徒并不認為這是一個好答案，他們熱衷于“鉆牛角尖”：憑什么1+1=2就不需要證明了？

有幾位數(shù)學家孜孜不倦地在探索中為我們解答了這一問題。其中，意大利數(shù)學家皮亞諾用公理 2把自然數(shù)安放在了數(shù)學世界中，用五條公理建立了一階算術系統(tǒng)，可以用來推導出1+1=2這一最簡單的等式。

公理1 ：0是自然數(shù)。

茫茫的數(shù)學宇宙里，從此有了第一個身影——0，如圖1-2所示。

公理2 ：每一個確定的自然數(shù)a，都有一個確定的后繼數(shù) 3 a′， a′也是自然數(shù)。

那么，這個自然數(shù)起點0是怎么爆發(fā)的呢？后繼數(shù)會以什么樣的形式出現(xiàn)？是調(diào)皮地圍著0轉(zhuǎn)，還是偷偷地跑到0的后面，抑或是狠心地留0在那兒？

公理2做出了選擇，讓偌大的數(shù)學空間中出現(xiàn)的每個數(shù)都擁有一個確定的后繼數(shù)陪伴著自己，如圖1-3所示。

公理3 ：0不是任何自然數(shù)的后繼數(shù)。

為了避免后繼數(shù)不守規(guī)矩跑到0的前面，公理3確定了0必須也只能是自然數(shù)的第一個數(shù)。但是防不勝防，這群后繼數(shù)也沒那么安分，有可能2的后繼數(shù)2=3′，也可能3的后繼數(shù)3=3′，如圖1-4所示。

公理4：不同的自然數(shù)有不同的后繼數(shù)。

為避免上述情況，公理4定義：如果n與m均為自然數(shù)且n≠m ，那么n′≠m′；如果b、c均為自然數(shù)，且b′=c ′ ，那么b=c。同一個自然數(shù)的后繼數(shù)相等，不同自然數(shù)的后繼數(shù)不相等。這樣，3就不可能既是2的后繼數(shù)，也是3的后繼數(shù)了。但如果出現(xiàn)圖1-5中2.5這樣的數(shù)呢？

為了杜絕2.5這樣的非自然數(shù)出現(xiàn)，公理5出現(xiàn)了。

公理5 ：假定P(n ) 是自然數(shù)的一個性質(zhì)，如果P(0) 是真的，且假定P(n ) 是真的，則P(n′)也是真的，那么命題對所有自然數(shù)都為真。

它還有另外一種表述形式。

設S是自然數(shù)集的一個子集，且滿足：（1）0屬于S ；（2）如果n屬于S，那么n′也屬于S，則S是包含全體自然數(shù)的集合，即S=N。

這里的說法可能會有點拗口，但皮亞諾是一個頗有潛力的“饒舌歌手”。其實這是數(shù)學中的歸納公理，也就是說，如果定義了一個自然數(shù)的性質(zhì)，那么所有自然數(shù)都將滿足這個性質(zhì)，不滿足的就不是自然數(shù)。這樣，我們可以定義自然數(shù)系：存在一個自然數(shù)系N，當且僅當這些元素滿足公理1~5時，稱其元素為自然數(shù)。

然后，定義加法是滿足以下兩種規(guī)則的運算：

（1）對于任意自然數(shù)m， 0+m=m ；

（2）對于任意自然數(shù)m和n， n′+m=(n+m)′。

這樣，我們就可以證明1+1=2 ：

或者

因為1+1 的后繼數(shù)是1的后繼數(shù)的后繼數(shù)，即3；又因為2的后繼數(shù)也是3，根據(jù)皮亞諾公理4，不同自然數(shù)的后繼數(shù)不同，反之，如果兩個自然數(shù)的后繼數(shù)相同，那么這兩個自然數(shù)就相等，所以1+1=2。

這樣，根據(jù)皮亞諾五條公理建立起來的皮亞諾一階算術系統(tǒng)，我們就推導出了1+1=2。

哥德巴赫猜想另一個“1+1”

如何推導出1+1=2，數(shù)學家在自己的世界里尋找到了一個相對滿意的答案，雖然有點“自欺欺人”，但總算放下了心里的一塊石頭。然而，比這個更麻煩的，是解決世間另一個“1+1”，這才是歷代數(shù)學家的心頭之痛。

哥德巴赫猜想是數(shù)學皇冠上一顆可望而不可即的“明珠”，堪稱世界近代三大數(shù)學難題之一。

在18世紀前后，德國一個富家子弟哥德巴赫厭倦了錦衣玉食的生活，于是在某個失眠的夜晚過后，不顧家人阻攔，跑去做了一名中學教師，還從此一發(fā)不可收地愛上了數(shù)學，就連晚上回家休息也在搗鼓阿拉伯數(shù)字。他生平最喜歡玩的游戲竟是加法運算，而且還在玩加法游戲的過程中發(fā)現(xiàn)了一個規(guī)律：任何大于5的奇數(shù)都是三個素數(shù) 4之和。但令他無奈的是，他雖然發(fā)現(xiàn)了這個神秘的數(shù)學規(guī)律，卻怎樣也無法證明自己的發(fā)現(xiàn)。后來，他只能求助于當時數(shù)學界的權威人士歐拉。

1742年6月7日，哥德巴赫寫信給歐拉，提出任何大于5的奇數(shù)都是三個素數(shù)之和。隨便取一個奇數(shù)77，可寫成三個素數(shù)之和， 77=53+17+7。再任取一個奇數(shù)461，461=449+7+5，也是三個素數(shù)之和；461還可以寫成257+199+5，仍然是三個素數(shù)之和。

沒想到數(shù)學家歐拉居然也被這個問題給難住了。1742年6月30日，歐拉給哥德巴赫回信：這個命題看來是正確的，但我也給不出嚴格的證明。為了挽回自己的面子，“狡猾”的歐拉同時還提出了另一個等價命題：任何一個大于2的偶數(shù)都是兩個素數(shù)之和。

這樣一個“任一充分大的偶數(shù)，都可以表示為一個素因子個數(shù)不超過a個的數(shù)，與另一個素因子不超過b個的數(shù)之和”的命題，就被記作a+b，哥德巴赫猜想（也稱哥德巴赫-歐拉猜想）也因此被稱為另一個“1+1”。迄今為止，這個“1+1”只留下一份如圖1-6所示的稀世手稿，而有關它的證明依然在困擾著數(shù)學界。

二進制世界里的1+1

德國圖林根著名的郭塔王宮圖書館中有一份彌足珍貴的手稿，它的標題為：“1與0，一切數(shù)字的神奇淵源。這是造物秘密的美妙典范，因為，一切無非都來自上帝。”

這是德國天才大師萊布尼茨的手跡，他用異常精煉的描述，展示了一個神奇美妙的數(shù)字系統(tǒng)——二進制。他告訴我們：1+1≠2，在計算機代碼的世界里，1+1=10。

萊布尼茨在1697年還特意為“二進制”設計了一枚銀幣，如圖1-7所示，并把它作為新年禮物獻給他的保護人奧古斯特公爵。萊布尼茨設計此銀幣的目的是，以公爵的身份來引起人們對他創(chuàng)立的二進制的關注。

銀幣正面是威嚴的公爵圖像，幽暗的瞳孔似乎在沉思什么；反中間部分雕刻的是從1到17的二進制數(shù)學式。面則刻畫著一則創(chuàng)世故事——水面上籠罩著黑暗，頂部光芒四射……

二進制是計算機技術中廣泛采用的一種數(shù)制。二進制數(shù)據(jù)是用0和1兩個數(shù)碼來表示的。它的基數(shù)為2，進位規(guī)則是“逢二進一”，借位規(guī)則是“借一當二”。當前的計算機系統(tǒng)使用的基本上都是二進制系統(tǒng)，數(shù)據(jù)在計算機中主要是以補碼 5的形式存儲的。

可以說，從20世紀第三次科技革命爆發(fā)以來，人類就進入了計算機時代，我們在虛擬的網(wǎng)絡里游戲、社交、狂歡。到了21世紀，我們開始致力于人工智能的開發(fā)，而這些東西本質(zhì)上都是由計算機實現(xiàn)的。在未來，完全身處于數(shù)字時代的我們，必將被二進制代碼籠罩。這個世界，1+1就只可能等于2嗎？

結(jié)語人類文明的“根”

不管是現(xiàn)實生活中簡單易懂的1+1=2，還是互聯(lián)網(wǎng)世界里的1+1=10，都以其自身的客觀性和普適性在時間長河里自證“偉大”。

1+1=2種下了數(shù)學的種子，推動了理性世界的基本運轉(zhuǎn)。它簡潔美妙，無處不在，是人類文明重要的“根”。

1 自然數(shù)：用以計量事物的件數(shù)或表示事物次序的數(shù)，即用數(shù)碼0，1，2，3，4…所表示的數(shù)。自然數(shù)分為偶數(shù)和奇數(shù)、合數(shù)和質(zhì)數(shù)等。

2 公理：依據(jù)人類理性的不證自明的基本事實，經(jīng)過人類長期反復實踐的考驗，不需要再加證明的基本命題。一個公理不能被其他公理推導出來（除非有冗余的）。

3 后繼數(shù)：緊接某個自然數(shù)后面的一個數(shù)，如2的后繼數(shù)是3，4的后繼數(shù)是5。0不是任何自然數(shù)的后繼數(shù)，每一個確定的自然數(shù)都有一個確定的后繼數(shù)。

4 素數(shù)：又稱質(zhì)數(shù)，有無限個，素數(shù)定義為在大于1的自然數(shù)中，除了1和它本身以外不再有其他因數(shù)，即除了1和它本身，不能被其他自然數(shù)整除的數(shù)。

5 補碼：在計算機系統(tǒng)中，數(shù)值一律用補碼來表示和存儲。原因在于，使用補碼可以將符號位和數(shù)值域統(tǒng)一處理；同時，加法和減法也可以統(tǒng)一處理。此外，補碼與原碼相互轉(zhuǎn)換，其運算過程是相同的，不需要額外的硬件電路。