2 勾股定理：數與形的結合

人類歷史上第一次把“數”與“形”相結合。

勾三股四弦五

已知一個直角三角形，兩條直角邊長分別為3和4（圖2-1），那么斜邊的長是多少？

相信你很快就可以得出5這個答案，但最早得出這個答案的人，是我們的祖先商高。在公元前11世紀，商高搶答了這個問題——“勾三股四弦五”。

商高作為周朝的貴公子，不愛占卜觀天，不愛斗蛐遛馬，整天在屋里研究數學。周公作為長輩，十分擔憂他悶出病。有一天，周公特意把他叫來，問商高到底在研究什么，商高答曰：“故折矩以為勾廣三，股修四，徑隅五。”也就是說，直角三角形的兩條直角邊勾和股分別為3和4個長度單位時，徑隅（弦）為5個長度單位。

商高在發現了直角三角形的奧妙之后，就沒有再研究下去，錯失了“注冊商標”的千古良機。直到三國時趙爽創制了一幅“勾股圓方圖”，又稱弦圖。他采用數形結合的方法對弦圖進行了詳細注釋，能夠對所有直角三角形都符合勾股定理做出解釋，被視為具有東方特色的勾股定理無字證明法。此時，勾股定理才算真正誕生。

再后來，中國另一位數學大家劉徽出世。他是魏晉時自學成才的數學家，《九章算術》最優秀的注釋員，他析理以辭，解體用圖，把各種復雜之物都能夠解釋得透徹清晰。他最突出的成就，是給出了古希臘方法之外第一份對勾股定理有記載的證明。

他從三個正方形開始研究，以直角三角形短直角邊（勾）a為邊的正方形為朱方，以長直角邊（股）b為邊的正方形為青方。以盈補虛，將朱方與青方并為弦方。由此，依照面積關系可得a2+b2 =c2 ，朱方和青方已在弦方中的一部分可不加處理。此法融匯古人陰陽調和之精髓，稱為出入相補法，又稱割補法，如圖2-2所示。

該證明富有中國特色，且簡單易懂，之后多次為我國數學家所用，但由于各種因素的限制，較之西方證明的出現，終究是晚了一些。

數學之祖：畢達哥拉斯

第一個成功證明勾股定理者，不是趙爽，也不是劉徽，而是與泰勒斯 1齊名的數學始祖級人物——畢達哥拉斯。

畢達哥拉斯是古希臘著名哲學家、數學家、天文學家，他是歷史上第一個將數學系統化的人，其一生篤信“萬物皆數”。

他早年曾游走四方，在埃及、巴比倫等地游學，見識廣博，最終定居在意大利南部的克羅托內城，還在此創建了一個神秘組織，歷史上稱為畢達哥拉斯學派。

這是一個研究哲學、數學和自然科學的學派，但同時又是一個有著神秘儀式和嚴格戒律的宗教性教派。該教派主張一夫一妻，允許女子接受教育，參與聽講。一時間，該教派門庭若市，各路求學問道者紛至沓來。因此教派迅速壯大，引領了克羅托內城的文化與城市生活。

某日風雨如晦，教派舉辦晚宴，畢達哥拉斯是晚宴的主角。但畢達哥拉斯吃飯時卻魂不守舍，趁著大家觥籌交錯之時，偷偷跑到了宴廳墻角，盯著地板上一塊塊排列規則的方形瓷磚，若有所思。

早年在巴比倫學習時，他一直對怎樣證明直角三角形a2+b2 =c2的問題難以忘懷，或許是因為喝了點酒，他此時靈感迸發，對，就是用演繹法證明！他瞬間眉目舒展，選了一塊瓷磚，以它的對角線為邊，畫了一個正方形，這個正方形的面積恰好等于兩塊瓷磚的面積之和。他再以兩塊瓷磚拼成的矩形的對角線作另一個正方形。最后，他發現這個正方形的面積等于五塊瓷磚的面積和，即分別以1倍、2倍瓷磚邊長為邊的兩個正方形的面積之和，如圖2-3所示。

至此，畢達哥拉斯心里已有了一個大膽的假設：對于一切直角三角形來說， a2+b2 =c2 。證明了這一定理，他欣喜若狂，飯也不吃了，直接畫出了一個漂亮的畢達哥拉斯樹，如圖2-4所示。

根據基本原理論證某一定理，屬于數學底層思維。在這之后，古希臘人延續著畢達哥拉斯的腳步，發展出了一套史無前例的豐富的公理化推導體系，即西方的文化精髓——形式邏輯。這種思維的登峰造極之作，就是歐幾里得2于約公元前300年撰寫的《幾何原本》。在此后長達兩千多年的時間里，此書一直被世界各國奉為數學界的金科玉律。

如何證明a2+b2=c2 ？

中西方都有人發現了a2+b2 =c2 ，按照默認規則，一般以第一個提出定理并證明的人的名字命名，因此國際上更認同將該定理命名為畢達哥拉斯定理。

遺憾的是，關于畢達哥拉斯具體用什么演繹法證明其實已無法考證，很多時候只是一種傳說。多數人猜測是用正方形剖分式證明法，《幾何原本》中詳細記載了這一證明方法。

選擇兩個相同的正方形，如圖2-5所示，令其邊長為兩個正方形面積一定相等，左邊正方形的面積為 ，而右邊正方形的面積可以表示為 。左右兩正方形面積相等，因此可得 ，合并化簡后得證a2+b2 =c2 。

再看中國古代趙爽的證明，雖然其出現時間較晚，但趙爽創制的勾股圓方圖（圖2-6）卻獨具匠心。

勾股圓方圖中，以弦（c）為邊長，得到了一個正方形ABDE，其由4個相等的直角三角形再加上中間的小正方形組成。每個直角三角形的面積為 ；中間的小正方形邊長為 ，則面積為。于是便可得如下公式：

化簡后可得：

即

趙爽極富創新意識地用幾何圖形的截、割、拼、補來證明代數式之間的恒等關系，既具嚴密性，又具直觀性，為中國古代以形證數、形數統一、代數和幾何緊密結合的獨特風格樹立了一個典范。此后，中國數學家大多繼承這一風格并有所發展。例如，魏晉時期的劉徽在證明勾股定理時也用了以形證數的方法，只是具體圖形的分、合、移、補略有不同。

有關a2+b2 =c2的嚴格證明方法還有很多，這里就不再舉例。

無理數3的秘密

畢達哥拉斯信奉“萬物皆數”，但這里的數是指有理數。他認為宇宙萬物都應該由有理數來統治，這是教派深信不疑的準則。然而，由畢達哥拉斯建立的畢達哥拉斯定理，最終卻讓他成為教派信仰的“掘墓人”。

在這里，大家可以一起玩個游戲。我們在一張白紙上畫一個最簡單的直角三角形，使該直角三角形的兩直角邊都為1，如圖2-7所示。

希帕索斯4按照畢達哥拉斯定理，計算出如圖2-7所示的三角形，其斜邊長度應為。但現實中，無論如何也無法用整數或分數來表示這一數值，它的長度是1.41421356…誰都無法清晰地畫出這條有限長的斜邊的精確模樣，它是一個“無理數”。

一夜之間大廈將傾，風雨欲來。畢氏學派“萬物皆數”的信仰遭到質疑，“一切數均成整數或整數之比”的理論不再成立。畢達哥拉斯為此惱羞成怒，整個教派十分恐慌。最終，教派中名為希帕索斯的弟子因為發現了“無理數”的存在，觸犯了“有理數統治世界”的教規，眾目睽睽之下，被扔到了深海里活活淹死。

但不管怎樣，希帕索斯是世界上第一個發現無理數的人，引發了人類歷史上的第一次數學危機。所有人都在思考，為什 客觀存在，卻又沒有辦法準確描述？這個現象完全與“任何量，在任何精確度的范圍內都可以表示成有理數”的常識不符。更糟糕的是，面對這一荒謬現象，當時的人都無計可施。

直到公元前370年左右，柏拉圖、歐多克索斯及畢達哥拉斯學派成員阿契塔提出了解決方案，他們給出的定義與所涉及的量是否可公度無關，從而消除了這次危機。在有理數的尊崇地位受到無理數的挑戰之后，人們開始明白了幾何學的某些真理與算術無關，幾何量不能完全由整數及其比來表示；反之，數卻可以由幾何量表示出來。

直覺和經驗不一定靠得住，嚴謹的推理證明才更具說服力。由此，古希臘數學研究方法由計算轉向推理，從不證自明的公理出發，在歐幾里得的帶領下，經過演繹推理建立起了幾何學體系。歐氏幾何 5成為數學大廈極其重要的基石之一。

勾股定理適用于球面嗎？

直至今日，我們仍將由歐氏幾何公理推導而出的大批定理奉為圭臬，生活中無處不閃爍著歐氏幾何公理的耀眼光彩。

作為最直觀也是應用最多的幾何體系，歐氏幾何非常符合我們的常識。但前面說過，直覺和經驗不一定靠得住，常識也是如此。

假設將一平面直角三角形貼在球面上，如圖2-8所示。

這時，你會發現勾股定理完全不成立。相比于平坦的歐氏空間，球面顯然有著自己不同的曲率，這種曲率使包括勾股定理在內的歐氏幾何定理驟然失效。

三角形內角和不一定等于180°，在球面上，三角形內角和大于180°。

兩點之間不一定直線最短，在球面上，兩點之間最短的是一條曲線。

在地圖上，北京與紐約之間的最短線是一條直線，遵循歐氏幾何；但若在地球儀上，再在北京與紐約之間畫一條線，會發現那是一條曲線，遵循非歐幾何。

歐氏幾何在平坦空間之外的不適用，使數學家創立了與其分庭抗衡的非歐幾何 6，并發現我們的宇宙不是只有長、寬、高三維，可能還有第四維時空。在這些空間里，如果想判斷宇宙是否平坦，數學上可以利用勾股定理，如果不滿足，那么宇宙就不平坦。愛因斯坦曾做過類似的實驗，并在廣義彎曲空間理論 7里提出這樣一個大開腦洞的假設：物理空間是在巨大質量的附近變彎曲的，且質量越大，曲率（curvature）8越大。

愛因斯坦為驗證自己的假設，根據光線總是走最短路線的原理，用經緯儀觀測了位于太陽兩側的恒星所發出的光線的夾角，并在太陽離開后再次觀測。如果兩次觀測的結果不同，就證明太陽的質量改變了它周圍空間的曲率，使光線偏離原路。愛因斯坦的理論計算值為1.75″。而1919年，英國愛丁頓領導的考察隊用三套設備實際觀測到兩顆恒星的角距離，在有太陽和沒有太陽的情況下相差1.61″±0.30″、1.98″±0.12″和1.55″±0.34″。

盡管1.5″這個角度并不算大，卻足以證明：太陽的質量確實迫使周圍的空間發生彎曲，這與廣義相對論的假設完全吻合，愛因斯坦因此名聲大噪。

結語無理即未知

公元前五百多年，勾股定理作為人類發現的第一個定理和第一個不定方程，第一次將數學中的“數”與“形”結合在一起，開始把數學由計算與測量的技術轉變為論證與推理的科學。勾股定理是人類文明史上光彩奪目、永不消逝的明珠。

從勾股定理中推導出來的，違反了“萬物皆數”的理論，卻造就了基礎數學中最重要的課程——幾何學體系。

非歐幾何徹底挑戰了歐氏幾何體系，實現了天文學的根本變革，揭開了彎曲空間的宇宙面紗。

在數學的世界里，無理即未知，未知即未來。

1 泰勒斯：約公元前624—公元前547或546年，古希臘哲學家、思想家、科學家，是古希臘最早的哲學學派——米利都學派（也稱愛奧尼亞學派）的創始人。

2 歐 幾 里 得：公元前330—公元前275年，古希臘著名數學家、歐氏幾何學開創者，被稱為“幾何之父”。

3 無理數：最早由畢達哥拉斯學派弟子希帕索斯發現，也稱為無限不循環小數，不能寫作兩整數之比。若將它寫成小數形式，小數點之后的數字有無限多個，并且不會循環。常見的無理數有非完全平方數的平方根、π和e（后兩者均為超越數）等。

4 希帕索斯：生卒年月不詳，畢達哥拉斯的得意門生，發現無理數的第一人。

5 歐氏幾何：又稱歐幾里得幾何。古希臘數學家歐幾里得把人們公認的一些幾何知識作為定義和公理(公設)，在此基礎上研究圖形的性質，推導出一系列定理，組成演繹體系，寫出《幾何原本》，形成了歐氏幾何。按所討論的圖形在平面上或空間中，又分別稱為平面幾何與立體幾何。

6 非歐幾何：又稱非歐幾里得幾何，指不同于歐幾里得幾何學的幾何體系，一般是指羅巴切夫斯基幾何（雙曲幾何）和黎曼幾何（橢圓幾何）。它們與歐氏幾何最主要的區別在于公理體系中采用了不同的平行公理。

7 廣義彎曲空間理論：時空彎曲效應，愛因斯坦的廣義相對論認為，由于有物質的存在，物質和時間（時空）會發生彎曲，時空彎曲的物理效應表現為萬有引力。

8 曲率：數學上表明曲線在某一點的彎曲程度的數值。針對曲線上某個點的切線方向角對弧長的轉動率，通過微分來定義，表明曲線偏離直線的程度。