1.1.2　函數(shù)的基本性質(zhì)

為了更清楚地看出函數(shù)的形式，我們常常會(huì)繪制函數(shù)的圖像.繪出圖像后會(huì)發(fā)現(xiàn)，有些函數(shù)是對稱的，其中包括軸對稱和中心對稱.特別地，將函數(shù)圖像的對稱軸選為 軸，或者將對稱中心選為坐標(biāo)原點(diǎn)，就可以得到奇函數(shù)與偶函數(shù)的概念.

● 若函數(shù) 的圖像關(guān)于 軸對稱，即

，

則稱函數(shù) 為偶函數(shù)，例如函數(shù) .在這里可以思考，偶函數(shù) 的導(dǎo)數(shù) 是偶函數(shù)嗎？為什么？

● 若函數(shù) 的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，即

，

則稱函數(shù) 為奇函數(shù)，例如函數(shù) .在這里可以思考，奇函數(shù) 的導(dǎo)數(shù) 是奇函數(shù)嗎? 為什么?

有時(shí)候，函數(shù)的圖像不一定是恰好關(guān)于 軸對稱，或者恰好關(guān)于原點(diǎn)對稱的.例如，若函數(shù)滿足

，

則 是該函數(shù)圖像的對稱軸；若函數(shù)滿足

，

則 是該函數(shù)圖像的對稱中心.

真題1.1 (取自 2021 年新高考 I 卷[2])　已知函數(shù) 是偶函數(shù)，則 .

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[2]　編者注：為了提升閱讀體驗(yàn)并簡化表達(dá)，本書中的高考試題名稱采用了簡稱形式，例如將“2023 年高考全國乙卷理科數(shù)學(xué)”簡稱為“2023 年乙卷理數(shù)”，將“2020 年高考 II 卷文科數(shù)學(xué)”簡稱為“2020 年 II 卷文數(shù)”，以此類推.這樣既保持了信息的真實(shí)性，又提高了文本的可讀性.

解答　根據(jù)偶函數(shù)的定義，令

，

對比系數(shù)，解得 .

真題1.2(取自 2021 年新高考 II 卷)　寫出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì) （1）（2）（3）的函數(shù) : .

（1）；

（2）當(dāng) 時(shí)，；

（3）是奇函數(shù).

解答　考慮函數(shù) ，可以驗(yàn)證它滿足 .

真題1.3(取自2023年乙卷理數(shù))　已知函數(shù) .是否存在 ，使得曲線 關(guān)于直線 對稱，若存在，求 的值，若不存在，說明理由.

解答　令 ，由 ，解得.考慮到函數(shù)的定義域關(guān)于直線 對稱，取 .接下來，令，即

.

經(jīng)檢驗(yàn) 滿足題意.　　■

另外，有些函數(shù)有可能會(huì)有些函數(shù)值“重復(fù)出現(xiàn)”，或者用更數(shù)學(xué)一點(diǎn)的語言來說，會(huì)出現(xiàn)“周期性”.

● 若存在 ，使得函數(shù) 滿足

則稱函數(shù) 為周期函數(shù)，并稱 為函數(shù) 的周期.例如函數(shù) 或其他的三角函數(shù).事實(shí)上，我們知道 是周期函數(shù)，而一個(gè)非周期函數(shù)的例子是 .

高考中，對于一些定義復(fù)雜的函數(shù)，有時(shí)候需要通過對稱性和周期性巧妙地解題.

真題1.4（取自 2021 年新高考 II 卷）　已知函數(shù) 的定義域?yàn)?為偶函數(shù)， 為奇函數(shù)，則 .

A．

B．

C．

D．

滿足 為偶函數(shù)，為奇函數(shù)的函數(shù) 的簡圖

解答　根據(jù) 為偶函數(shù)，知 關(guān)于直線 對稱；再根據(jù) 為奇函數(shù)，知 為奇函數(shù)，從而 ，并且 關(guān)于點(diǎn) 對稱.據(jù)此，可以畫出 的大致圖像，如上圖所示.

根據(jù)圖像，可以看出其是周期 的函數(shù)，并且 ，因此 B 選項(xiàng)正確.　　■