1.2.2　取對(duì)數(shù)求導(dǎo)法與隱函數(shù)求導(dǎo)法*

有了復(fù)合函數(shù)的運(yùn)算法則后，可以引出兩種常用的特殊求導(dǎo)方法.這兩種方法一般來(lái)說(shuō)會(huì)在高等數(shù)學(xué)中介紹，但是高中生完全可以理解，并且有時(shí)候非常好用.

首先是取對(duì)數(shù)求導(dǎo)法.考慮到有時(shí)候函數(shù)的乘法運(yùn)算較多，或者指數(shù)較為復(fù)雜，可以考慮通過(guò)取對(duì)數(shù)的方式，將乘法轉(zhuǎn)化為加法，將指數(shù)項(xiàng)轉(zhuǎn)化為乘法.所謂的取對(duì)數(shù)求導(dǎo)法是指，在函數(shù) 的等式兩邊取對(duì)數(shù)，得

.

若此時(shí)等式右邊的導(dǎo)數(shù)容易求出，記 ，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則可得

，

從而計(jì)算得到 .需要注意，取對(duì)數(shù)運(yùn)算是非常常用的，它可以將指數(shù)項(xiàng)轉(zhuǎn)化為乘法，進(jìn)一步將乘法轉(zhuǎn)化為加法.高考中的一些代數(shù)變形問(wèn)題，都與對(duì)數(shù)有關(guān).

例1.4　設(shè)函數(shù) ，求 .

解答　對(duì) 取對(duì)數(shù)，可得 ，等式兩邊對(duì) 求導(dǎo)，可得

，

因此 .　　■

有了復(fù)合函數(shù)的運(yùn)算法則后，還可以推出隱函數(shù)求導(dǎo)法.所謂的隱函數(shù)，指的是函數(shù)并沒(méi)有顯式的表達(dá)，而是通過(guò)方程或者其他形式確定了函數(shù)關(guān)系.

例如設(shè)橢圓的方程為 ，對(duì)于其上面的一點(diǎn) ，假設(shè) ，則在該點(diǎn)附近可以通過(guò)橢圓方程確定隱含的函數(shù)關(guān)系 ，并且是唯一的[4].更準(zhǔn)確地說(shuō)，有 或 ；至于是前者還是后者，需要結(jié)合 的位置來(lái)判斷.

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[4]　這是通過(guò)分析學(xué)中的隱函數(shù)定理保證的，敘述起來(lái)較為復(fù)雜.

例1.5　求橢圓 在 處的切線方程.

解答　要求出 處的切線方程，可在等式兩邊同時(shí)對(duì) 求導(dǎo)，得

，

代入 ，解得 ，從而切線方程（有時(shí)候在圓雉曲線中也被稱為極線方程) 為 .　　■

這是一個(gè)解析幾何中非常常用的結(jié)論，形式上也非常像橢圓方程，只是將 換成 ，將 換成 而已.類似地，對(duì)于雙曲線 ，可以求出其在（ ）處的切線方程為 .對(duì)于拋物線 的情形，讀者可自行推導(dǎo).