1.1.4　函數定義的推廣*

函數本質上是從數集 到數集 的映射，而所謂的“數集”，指的是實數集合 的子集，可以簡單地寫成 .是否可以將函數的定義進一步推廣？下面舉一些例子.

平面向量的模（向量的大小）是不是一個函數？如果 是二元數集，即 ，設向量 ，則向量的模實質上是從 到 的一個映射，可以寫成

，

這樣的函數叫作二元函數.類似地，可以定義 元函數.

在講復數的時候，老師一般會說復數 和平面向量 是一一對應的.如果 ，那么映射 也是函數，例如

，

這樣的函數叫作復變函數，復分析研究的就是復變函數的性質.

除了 以外， 是否可以是其他類型的集合？一個例子是，設函數的定義域是集合的集合，為了和集合區分，記作 ，并記里面的元素為 .用 表示二維幾何圖形， 表示二維幾何圖形的全體，例如單位圓可以表示為

.

考慮從 到 的映射 ，并令 表示 的面積，例如 .這樣的函數稱為測度，而為了嚴格化 和這樣的函數，需要做不少工作，這便是測度論關心的內容.

如果集合 里面的元素不是數，而是一些抽象的元素，或者說 是一個抽象的空間，記作 ，那么映射 也是函數，并稱為泛函.當然，這里的空間 是有一定要求的.泛函分析便是研究這樣的空間和函數.