據(jù)《隋書·律歷志》記載，祖沖之確定了圓周率的不足近似值是3.1415926，過剩近似值是3.1415927，真值在這兩個近似值之間。通過現(xiàn)代計算驗證，如果按照割圓術(shù)計算，要得到3.1415926到3.1415927，必須求出圓內(nèi)接12288邊形的邊長和24576邊形的面積。這樣求出的圓周率才能準確到小數(shù)點后7位。我國古代是用算籌計算的，因此，對9位數(shù)做上百次加、減、乘、除和開方運算，還要適當選擇有效數(shù)字，保證準確的誤差范圍，這是一項非常艱巨復(fù)雜的計算工作，顯然只有掌握純熟的理論和技巧，具備踏踏實實、一絲不荀的研究精神，才能取得這樣杰出的成就。祖沖之圓周率的不足近似值和過剩近似值，準確到小數(shù)點后7位，成為世界歷史上第一次把圓周率的準確數(shù)值算到小數(shù)點后7位數(shù)字的人。用這兩個近似值計算，可以滿足一定精度的要求，并且非常簡便，這在當時世界上非常先進，標志著我國古代高度發(fā)達的數(shù)學(xué)水平，在世界數(shù)學(xué)史上放射著異彩。直到1000年以后，1427年阿拉伯數(shù)學(xué)家阿爾·卡西在《算術(shù)之鑰》、法國數(shù)學(xué)家維葉特于1540年至1603年才求出更精確的數(shù)值。

按照當時計算都用分數(shù)的習(xí)慣，祖沖之還采用了兩個分數(shù)值的圓周率。一個是355/113，這一個數(shù)比較精密，所以祖沖之稱它為“密率”。另一個是22/7，這一個數(shù)比較粗疏，所以祖沖之稱它為“約率”。其中密率是分子分母在1000以內(nèi)的最佳值。在歐洲，直到1573年德國數(shù)學(xué)家鄂圖和荷蘭人安托尼茲才得出同樣結(jié)果。因此，日本數(shù)學(xué)家三上義夫曾建議把355/113這個圓周率數(shù)值稱為“祖率”，來紀念這位中國的大數(shù)學(xué)家。

祖沖之的這一研究成果享有世界聲譽：巴黎“發(fā)現(xiàn)宮”科學(xué)博物館的墻壁上著文介紹了祖沖之求得的圓周率，莫斯科大學(xué)禮堂的走廊上鑲嵌有祖沖之的大理石塑像，月球上有以祖沖之命名的環(huán)形山……

增乘開方法的創(chuàng)立

我國是世界數(shù)學(xué)史上最早提出開平方、開立方的法則的國家。早在中國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的《少廣》章里就講述了開平方與開立方的法則，這個法則對解方程起了重要作用。因此，在世界數(shù)學(xué)史上占有重要的地位。

公元5世紀，南北朝時期祖沖之進一步推廣了開平方、開立方的方法，能求出一般的二次方程式和三次方程式的正根。到隋唐時代，在數(shù)學(xué)著作中，則有開差冪（由長寬不等的長方形面積求其長寬）、開差立（由長寬高不等的立方體的體積求其長寬高）的問題。1050年左右，北宋數(shù)學(xué)家賈憲在他編著的《九章算法細算》中創(chuàng)造了開任意高次冪的“增乘開方法”。其做法與現(xiàn)代教科書中所用的步驟相同，用所擬定的根數(shù)，邊乘邊加，變換原方程式的系數(shù)。增乘開方法對以后求高次方程式正根，有很大影響。如1247年秦九韶的《數(shù)書九章》、1248年李冶的（測圓海鏡》等著作中都用了增乘開方法。

在歐洲許多數(shù)學(xué)家用了種種方法求三項與高次方程式的實根，都比較復(fù)雜和不切實際。直到1840年意大利人羅斐尼和1819年英國人霍納等才找到了與中國增乘開方法大致相同的算法，但是他們都比賈憲晚了800多年，而比祖沖之則晚了1300多年。

聯(lián)立方程式的提出

我國是世界上最早提出聯(lián)立方程式的國家。聯(lián)立方程式在初等代數(shù)中是比較重要的一種數(shù)學(xué)方法。它可表示多種事物之間的復(fù)雜關(guān)系，在生產(chǎn)、科研工作中，特別是在建筑、設(shè)計和電路分析中有廣泛的應(yīng)用。

在方程式中，如果含有一個以上的未知數(shù)時，必須有一個以上的方程式，有幾個未知數(shù)就要有幾個方程式，只有這樣，方程式中的各個未知數(shù)才有確定的數(shù)值解，這些方程式聯(lián)合起來組成一組，叫做聯(lián)立方程式。聯(lián)立方程式是我國最早提出來的。

早在公元2世紀，我國在《九章算術(shù)》這部代數(shù)書中，就專門介紹了聯(lián)立方程式。書中所列“方程”，未知數(shù)不用符號表示，只用算籌自上而下羅列各項系數(shù)，常數(shù)項列于最下，完成1行，二元者，列2行，三元者，列3行，算籌排列方式，形如方陣，故稱“方程”。書中介紹的“方程”解法，與現(xiàn)在初中教科書中的加減消元法相仿。這是世界上最早出現(xiàn)的，也是最原始的聯(lián)立方程式了。

13世紀時，我國數(shù)學(xué)家又發(fā)明了天元術(shù)（即中國代數(shù)），用“天”、“地”兩字表示不同的未知數(shù)，能解二元高次聯(lián)立方程式，1303年元朝數(shù)學(xué)家朱世杰撰寫的《四元玉鑒》，按天、地、人、物立成四元，進一步推廣到4個未知數(shù)的高次聯(lián)立方程式，他的逐步消元法，條理分明，有新的發(fā)展。

印度在5世紀以后才解出了一次聯(lián)立方程式，西方到16世紀才有了一次聯(lián)立方程式的數(shù)學(xué)書，都比我國晚幾個世紀。

二頂式系數(shù)法則的創(chuàng)立

現(xiàn)代初等數(shù)學(xué)中，二項式乘方展開是一種最基本的運算方法。二項式展開項系數(shù)，具有一定規(guī)律性，它是以組合數(shù)公式表示的，因此，在做二項式乘方展開時，只要記住這個規(guī)律，就可把各項直接求出來。

我國是二項式乘方展開項系數(shù)規(guī)律性的最先發(fā)現(xiàn)國，這在世界數(shù)學(xué)歷史上是一個重大的貢獻。早在11世紀，我國北宋時期的數(shù)學(xué)家賈憲，在他注解的《九章算術(shù)》中總結(jié)了先秦到東漢初的數(shù)學(xué)成就，除對其他數(shù)學(xué)問題做了專門研究外，還對乘方展開方法進行了專門的研究和探討，提出的“開方作法本源圖”是一個指數(shù)是正整數(shù)的二項式定理系數(shù)表，比歐洲人所稱的“巴斯卡三角”早600多年，該表被稱為“賈憲三角”。

多元高次方程解的提出

1303年，元朝著名的數(shù)學(xué)家朱世杰著《四元玉鑒》，他把“天元術(shù)”推廣為“四元術(shù)”（四元高次聯(lián)立方程），并提出消元的解法，是世界上第一個提出多元高次方程解法的人。400多年后，到公元1775年法國人畢朱才提出同樣的解法。1299年朱世杰還著有《算學(xué)自蒙》三卷，對于多元高次方程組的解法、高階等差級數(shù)、招差術(shù)（有限差分）都有獨到的研究，對“果深疊藏”中的三角臺垛、四角臺垛、芻童垛、芻甍垛等提出了算法。

大衍求一術(shù)

宋朝數(shù)學(xué)家秦九韶的求解一次同余式的“大衍求一術(shù)”，是數(shù)學(xué)史上的一項卓越成就。聯(lián)立一次同余式問題最早見于《孫子算經(jīng)》中的一個問題：“今有數(shù)不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何？”這就是著名的孫子問題。他的解法要用到求三個一次同余式的共同解。秦九韶在《數(shù)書九章》中首次對這一算法進行介紹，并把它推廣到解決各種數(shù)學(xué)問題中去。他系統(tǒng)地提出求解一次同余組的一般計算步驟，正確而又嚴密。過了500年后，歐洲的尤拉（1707~1789年）和高斯（1777~1855年）等人對聯(lián)立一次同余式問題才進行了深人的研究。

最早發(fā)明算盤

算盤是我國古代的一項偉大發(fā)明。我國的算盤是由古代的“算籌”演變而來的。“算籌”就是運用一種竹簽作籌碼來進行運算。唐代末年，開始見到算籌乘除法的改進，到宋代生產(chǎn)了算籌的除法歌訣。在元代中葉和元末的文學(xué)、戲劇作品中有提到算盤的。珠算術(shù)至遲在元末已經(jīng)產(chǎn)生，1366年陶宗義所著的《南村輟耕錄》中，已有關(guān)于珠算盤的明確記載。到16世紀明代中葉珠算術(shù)取代算籌術(shù)在全國得到普遍推廣，論述算術(shù)的著作也隨之產(chǎn)生，流行最廣的珠算是1593年明代程大位所輯的《算法統(tǒng)宗》。由于珠算術(shù)用算盤演算，比籌算術(shù)用算籌演算簡單方便，珠算口訣又便于記憶，因而在我國被普遍應(yīng)用，同時也陸續(xù)傳到了日本、朝鮮、印度、美國、東南亞等國家和地區(qū)，受到廣泛歡迎。近來，美國和日本一些專家把我國的算盤尊稱為新文化，并和指南針、造紙術(shù)、印刷術(shù)、火藥并列，被譽為我國的第五大發(fā)明。

地學(xué)

《山海經(jīng)》

《山海經(jīng)》是中國先秦古籍，主要記述古代地理、物產(chǎn)、神話、巫術(shù)、宗教等，也包括古史、醫(yī)藥、民俗、民族等方面的內(nèi)容，具有多方面的學(xué)術(shù)價值。《山海經(jīng)》是一部早期有價值的地理著作，其中尤以《五藏山經(jīng)》（簡稱《山經(jīng)》）地理價值最高，成書也最早，約成書于公元前300年，是我國最早的地質(zhì)、地理著作。

《山經(jīng)》記載的山川比早些時代的《禹貢》更豐富，其記載山岳共15000字，其篇幅之長，相當《禹貢》導(dǎo)山部分的14倍。《山經(jīng)》以山為綱，對黃河流域、長江中下游、珠江三角洲廣大地區(qū)復(fù)雜的地理現(xiàn)象進行了綜合描述。它以位于今河南省西部的中山經(jīng)為中心，自此以南為南山經(jīng)，以西為西山經(jīng)，以北為北山經(jīng)，以東為東山經(jīng)，從而分為5個地區(qū)。每個地區(qū)均以山為綱，排列先后次序，在敘述每列山岳時還記述山的位置、高度、走向、陡峭程度、形狀、谷穴及其面積大小，并注意兩山之間的相互關(guān)聯(lián)，有的還涉及植被覆蓋密度、雨雪情況等，顯然已具備了山脈的初步概念，堪稱我國最早的山岳地理書。在敘述河流時，必定敘述河流的發(fā)源與流向，還注意到河流的支流或流進支流的水系，包括某些水流的伏流和潛流的情況以及鹽池、湖泊、井泉的記載。

《山經(jīng)》在物質(zhì)資源分布的篇幅中，對于礦產(chǎn)的記載尤其詳細，提及礦物產(chǎn)地400余處，所記礦物巖石達89種，并把它們分成金、玉、石、土4類，這是世界上最早的礦物分類法。希臘學(xué)者狄奧弗拉斯特（Theophrastus）在公元前371至公元前285年所著《石頭志》被認為是古希臘最早的地質(zhì)專著，但它記載的礦物僅16種，把這些礦物分成金、石、土3類，而與其同時代或稍晚的《山經(jīng)》所記的礦物種類是它的5倍，分類更細。《山經(jīng)》還注意到礦物的共生現(xiàn)象，記述了根據(jù)硬度、顏色、光澤、透明度、構(gòu)造、敲擊聲、醫(yī)藥性等來識別礦物的方法，并詳細記述了動植物的形態(tài)、性能和醫(yī)療功效，因此《山海經(jīng)》在礦物學(xué)分類上有突出貢獻。英國李約瑟說：“《山海經(jīng)》是一個名副其實的寶庫，我們可以從中得到許多古人是怎樣認識礦物和藥物之類物質(zhì)的知識。”

《山海經(jīng)》是我國最古老的一部地理書籍，也是世界上最古老的地理書籍。《山海經(jīng)》又是我國現(xiàn)存書籍中保存古代神話資料最多的一部作品。《山海經(jīng)》中所記神話不僅數(shù)量最多，而且大多比較原始，情節(jié)比較完整的也有不少，這在先秦古籍乃至后世典籍中都是少有的。它在神話學(xué)、宗教學(xué)上具有重要研究價值，同時，對于古代歷史、物產(chǎn)、醫(yī)藥等方面也有重要的科學(xué)價值。

最早的采礦技術(shù)最早的探礦理論

我國考古工作者在廣州市郊區(qū)的樵山，發(fā)現(xiàn)了一座距今5000多年的“礦洞”，礦坑的深度達37米以上，礦洞內(nèi)壁上有大面積火燒過的痕跡，地面上有大量的炭屑和爆裂的礦石塊。經(jīng)過考古學(xué)家研究，原來，這是新石器時代的一種采礦方法：他們先用火將石頭燒熱，然后再用水澆，利用“熱脹冷縮”的原理開采礦石。這種方法中國人從5000年前沿用到現(xiàn)代，被認為是一種省錢省時的好方法，在世界的礦業(yè)史上也是一個創(chuàng)舉。

江西瑞昌的商周古礦井是全世界最早使用先進的“木支護”進行深井開采的礦井。它同近代的礦井一樣，已經(jīng)使用了用“坑木”、“制造”、“頂梁”、“立柱”、“地獄”等組合而成的框式“頂棚”安全支護技術(shù)，并利用鑿井的高低解決了通風(fēng)問題。挖掘工具有青銅做的斧、鋮、鑿等，翻土工具有木锨、木鏟等，裝載工具有竹筐、畚箕等，提升工具有木轤轆、鉤、繩等，選礦工具有帶活動擋板的“分節(jié)水沖選礦木溜槽”等，這是世界上最早、最先進的深井采礦技術(shù)。

利用炸藥開礦是近代礦業(yè)的一大特點。中國是發(fā)明火藥的國家，中國的“火藥爆破”采礦技術(shù)在明朝時就已經(jīng)開始了。而在世界上一直到19世紀，才被美國的路易斯安那州與得克薩斯州的大型礦井所采用，比中國要晚了400多年。

利用礦苗、礦物的共生關(guān)系及上下關(guān)系找礦。春秋戰(zhàn)國時期，青銅器、朱砂、水銀、鐵器的使用，是人們認識礦物種類增多的具體體現(xiàn)，同時也說明利用露頭找到的礦的種類在迅速增多。《山海經(jīng)》中所記礦物，多數(shù)是礦物的露頭，即礦苗，如《南山經(jīng)》中記載，招搖之山“多金玉”，堂庭之山“多水玉，多黃金”。戰(zhàn)國時期的《管子·地數(shù)篇》記載了利用礦物的共生關(guān)系及上下關(guān)系找礦，如：“山，上有赭者，其下有鐵；上有（是“鉛”的異體字）者，其下有銀；一日上有者，其下有鉒銀；上有丹砂者，其下有鉒金；上有慈石者，其下有銅金。此山之見榮者也。”又說：“上有丹砂者，下有黃金；上有慈石者，下有銅金；上有陵石者，下有、錫、赤銅；上有赭者，下有鐵。此山之見榮者也。”所謂“山之見榮”，就是礦苗的露頭。現(xiàn)代地質(zhì)學(xué)家夏湘蓉等把它們歸納成六條，稱作“管子六條”：第一，山上有赭，其下有鐵；第二，山上有磁石，其下有銅金；第三，山上有鉛，其下有銀；第四，山上有丹砂，其下有黃金；第五，山上有陵石，其下有鉛、錫、赤銅；第六，山上有銀，其下有丹。“管子六條”包括鐵、銅、錫、鉛、金、銀、汞7種金屬礦產(chǎn)，分組說明它們的上下關(guān)系，是西漢以前找礦采礦實踐中得出的經(jīng)驗總結(jié)。

利用指示植物找礦。在南北朝的梁代出現(xiàn)了著名植物找礦著作——《地鏡圖》。《地鏡圖》原書已佚，現(xiàn)在只能從后人的引文中看到它的部分內(nèi)容。它的主要觀點是把地下的礦床和地表的植物聯(lián)系起來，是現(xiàn)代指示植物找礦或生物地球化學(xué)找礦方法的肇端，是一個很有科學(xué)價值的新創(chuàng)見、新理論。當然，這個新理論也是逐步產(chǎn)生的，并不是突然出現(xiàn)的。往上追溯，我們發(fā)現(xiàn)，《荀子·勸學(xué)篇》就說過：“玉在山而草木潤”，首次提出了山上賦存的礦物和周圍植物生態(tài)有關(guān)的思想。晉張華《博物志》也說，“山……有谷者生玉”。到《地鏡圖》，內(nèi)容就大大充實了。書中說道：“二月中，草木先生下垂者，下有美玉。五月中，草木葉有青厚而無汁，技下垂者，其地有玉。八月中，草木獨有枝葉下垂者，（下）必有美玉。有云，八月后草木死者亦有玉。十二月中，草木獨有枝葉垂者，下有美玉。山有蔥，下有銀，光隱隱正白。草莖赤秀，下有鉛；草莖黃秀，下有銅器。”唐代段成式（？~863年）對它作了初步的整理，說：“山上有蔥，下有銀；山上有薤，下有金；山上有姜，下有銅錫；山有寶玉，木旁枝皆下垂。”（《酉陽雜俎》卷十六）這些記載，不一定完全和實際相符，但是他所指出的利用指示植物找礦的方向是對的。

對中國古代利用指示植物找礦理論的發(fā)明和發(fā)展，英國科學(xué)史家李約瑟曾經(jīng)作過恰當?shù)脑u價，他說：“中國人在古代所進行的觀察，確實可以說是仍在迅速發(fā)展中的、范圍十分廣闊的現(xiàn)代科學(xué)理論和科學(xué)實踐的先驅(qū)。”

《尚書·禹貢》

《禹貢》是《尚書·夏書》中的一篇，“禹別九州，隨山浚川，任土作貢”，是說大禹劃分九州疆界，順山勢疏通河道，依土地肥瘠制定貢獻田賦等級的辦法，所以稱作《禹貢》。《禹貢》全文約1200字，由“九州”、“導(dǎo)山”、“導(dǎo)水”和“五服”4部分組成，它是中國現(xiàn)存最早的一部全部性區(qū)域志。