2.2.1　李群基礎

1．群

群是抽象代數學中的一個基本概念，通常表示為由有限或無限個元素構成的集合加上一種運算（群運算）的代數結構。對于群G，若*為群操作，集合為S，則該群可以表示為G=(S,*)。群的定義需要其滿足下述條件[3]。

（1）封閉性：若，則有。

（2）結合律：若，則有。

（3）幺元：必定存在一個單位元素，對于任意的均有。

（4）逆：若，則必定存在其逆元素，使得。

有了上述群的定義，我們再回頭看旋轉矩陣和齊次矩陣，可以看出它們均符合群的定義。具體地說，三維旋轉矩陣實際上構成了特殊正交群SO(3)，三維齊次變換矩陣的集合則為特殊歐氏群SE(3)，具體可表述為

（2-45）

（2-46）

同時，和均只對乘法操作封閉，而對加法操作不封閉，故其群操作為二元乘法。對于任意兩個旋轉矩陣和以及齊次變換矩陣和，即有

，　　（2-47）

，　?。?-48）

2．流形

一個D-維流形是局部具有D維歐氏空間性質的拓撲空間，它是局部同胚與歐氏空間的[4]。其中，同胚是拓撲學中的基本概念。簡單地說，對于兩個流形A和B，如果可以通過彎曲、延展、剪切等操作實現A到B的轉換，則認為兩者是同胚的。我們可以看出，流形是線性子空間的一種非線性推廣，我們日常接觸到的圓周、球面分別是一維和二維流形。結合流形的定義，可知一個D-維流形M在每個點處都有一個對應的切空間，該切空間的維度為D。圖2-10展示了嵌入三維坐標系的一個二維流形在點a處的切空間為二維平面，其切空間的向量基為[5]。

圖2-10　一個二維流形及其切平面

3．李群

在介紹了群和流形的概念后，我們便可以引出李群的概念。學者們為紀念挪威數學家Sophus Lie在連續變換群領域做出的突出貢獻，將具有群結構的光滑微分流形命名為李群[6]。具體地說，若G為一個群，同時它又是D維空間的一個流形，并且其群乘積和取逆操作都是平滑函數，則G為一個李群。進一步講，本書所關注的旋轉矩陣構成的SO(3)群、四元數群以及齊次變換矩陣構成的SE(3)群實際上均是李群。