2.2.2　李代數基礎

李代數是由一個集合、一個數域和一個李括號運算組成的代數結構，可表述為（），用于表示被賦予李括號運算的線性空間。李代數的定義需要其滿足下述條件[7]。

（1）封閉性：若，則有。

（2）分配率：若且，則有。

（3）自反性：若，則有。

（4）反對稱性：若，則有。

（5）雅克比恒等式：若，則有。

事實上，李括號運算是任意線性空間中的一種廣義的向量乘法，其不僅適用于任意維度的實向量空間，也適用于復數空間和對偶空間。具體來說，在三維空間中，向量的叉乘運算即為該空間的李括號運算。

李代數的一個重要作用在于其能夠反映李群的局部特性，并且李群和李代數之間滿足下述雙射關系。

● 李群到李代數的對數映射：

（2-49）

● 李代數到李群的指數映射：

（2-50）

更具體地說，李代數實際上是李群在其幺元處的切空間，它能夠完全捕獲李群的局部結構，并可表示為

（2-51）

至此我們可以看出，有了李群和李代數之間的映射關系，我們就可以將流形空間中待求解的問題表示成對應的線性空間中的李代數結構，從而使得利用線性空間中的模型和算法成為可能。

1．李代數

我們再回頭分析旋轉矩陣構成的李群SO(3)，其對應的李代數則記為。結合李代數和李群之間的映射關系可知，的元素應為三維線性空間中的矩陣。若為對應的李代數，則結合的指數映射關系可知

（2-52）

另外，結合羅德里格斯旋轉公式［見式（2-22）］以及指數函數的泰勒級數展開式，對旋轉向量取指數映射，可得下述等式關系：

（2-53）

對于反對稱矩陣的乘積，我們可以推導出其具有下述特性：

（2-54）

因此，式（2-53）可進一步簡化為

（2-55）

至此我們可以看出，對于，對應的李代數，其中和分別為對應的旋轉向量表達中的旋轉角和單位轉軸向量。由于反對稱操作滿足數乘運算，令，對應的歐氏空間中的三維向量為，李代數可具體表示為

（2-56）

此外，空間可由下述三組基表示，其中每個基表示繞某個軸的微小旋轉。

,,　　（2-57）

由此，我們也可進一步將空間中的元素表示為上述三組基下的向量形式：

（2-58）

結合對數函數的泰勒級數展開式，我們也可得到由李群到李代數的對數映射關系，這里不再展開推導。如圖2-11所示，我們最終可以得到旋轉矩陣和李代數以及三維向量之間的關系如下：

（2-59）

（2-60）

圖2-11　向量、李代數和李群之間的關系示意圖

其中和分別為反對稱操作與其逆操作，并有

（2-61）

（2-62）

2．李代數

進一步地，對于由齊次變換矩陣構成的李群，我們將對應的李代數命名為。由式（2-63）中旋轉矩陣的結構可知：是由矩陣組成的空間。

，，　　（2-63）

該空間可由下述6組基表示，其中每個基表示繞某個軸的微小旋轉或者沿某個軸的微小移動。

，，

，，　

（2-64）

故可具體描述為

（2-65）

若為對應的李代數元素，則使用上述基可將其表示為下述矢量形式：

（2-66）

中的前三維表示位移，后三維表示旋轉。根據李代數到李群的指數映射關系，對取指數，于是有

（2-67）

其中：

（2-68）

在式（2-67）中，同樣有，和為齊次變換矩陣中旋轉矩陣對應的軸角表示，并可據此推導出李代數中位移分量與齊次變換矩陣中位移分量之間的關系如下：

（2-69）

3．“”“”操作的定義

下面進一步引入流形空間上的“”“”操作[8]，以便我們在后續章節中描述汽車的旋轉和平移變換。令為系統狀態變量所在的流形空間，為該流形空間的維度，和是局部同胚的，通過“”“”操作可在幺元的局部鄰域內與其正切空間之間建立下述雙映射關系：

，　　（2-70）

假設我們已知，為其正切空間上的一個擾動矢量，則的物理含義如圖2-12所示。

圖2-12　“”操作原理示意圖

進一步地，對于復合流形，則有

，　　（2-71）

其中，為旋轉矩陣，為旋轉向量，，和分別表示旋轉矩陣和旋轉向量之間的羅德里格斯變換。