1.3 離散傅里葉變換（DFT）舉例

圖1.3a表示任意一個數字信號xa（nT）。雖然信號xa（nT）是從n=-∞變化到+∞的（任何時域信號，包括模擬信號和數字信號，在時間上都是從t=-∞變化到t=+∞的），但實際上只能取它的一小部分，比如圖1.3a中從xa（0）至xa（3T）的4個樣點（這里的4個樣點只是舉例，DFT的實際樣點數可以很大，比如32768個樣點）。

有了這4個樣點，就可以分析數字信號xa（nT）在t=0～3T區間內的頻率組成。具體方法是，把這4個樣點向兩側周期性地無限延伸，以得到一個時間上從-∞變化到+∞的數字信號x（nT），如圖1.3b所示。現在的任務也就變成了對圖1.3b中的周期信號x（nT）計算頻率組成。

由于x（nT）是周期信號，就可以展開為傅里葉級數[此時的x（nT）可看作是連續時域信號，并假設在t=nT以外所有時間點上的幅度處處為零]。而傅里葉級數中每一項的系數X（k）表示信號x（nT）中包含的頻率分量。根據傅里葉級數展開的計算規則，系數X（k）可計算為

對于式（1.2），暫時不必關心計算細節（后面的第12章將具體說明）。只需知道，從式（1.2）可以算出從X（0）～X（3）的4個傅里葉級數的系數。在具體計算時，先令k=0，由于e-jnkπ/2=e0=1，所以X（0）=x（0）+x（T）+x（2T）+x（3T）。這實際上是在計算x（nT）的直流分量（還應除以4，這在后面第12章說明）。然后令k=1，就可算得X（1）=x（0）×e0+x（T）×e-jπ/2+x（2T）×e-jπ+x（3T）×e-j3π/2。再令k=2，3，就可分別算得X（2）和X（3）。這就得到了數字信號x（nT）的4個頻率分量X（0）、X（1）、X（2）和X（3）。這4個頻率分量就是圖1.3a中從x（0）～x（3T）的4個樣點序列的離散傅里葉變換，可以用來估算信號xa（nT）在t=0～3T時間區間內的頻率組成。

根據式（1.2）的計算方法，可以畫出相應的DFT計算圖，如圖1.4a所示。圖中，當k=0時，只需把x（0）～x（3T）加起來，就得到X（0）。當k=1時，需將x（0）～x（3T）分別與1、e-jπ/2、e-jπ、e-j3π/2相乘，然后把它們加起來，就得到X（1）。當k=2（或3）時，需將x（0）～x（3T）分別與1、e-jπ/2、e-jπ、e-j3π/2的平方（或立方）相乘，再把乘積項加起來就得到X（2）[或X（3）]。對于圖1.4a中DFT計算圖的正確性，可以用圖1.4b和c中的兩個信號序列來測試。下面來說明。

圖1.4b左邊的x1（n）是一個直流信號。用圖1.4a中的結構算出的結果為X1（0）=4和X1（1）=X1（2）=X1（3）=0，如圖1.4b右邊所示。這表示輸入信號中只有直流分量，其他頻率分量都為零。這當然是對的。

圖1.4c左邊的x2（n）是一個頻率等于fS/4的零相位余弦信號。由于信號頻率為采樣率fS的1/4，所以每個信號周期內被采得4個樣點，如圖1.4c左邊所示。用圖1.4a中的結構算出的結果為X2（1）=X2（3）=2.0和X2（0）=X2（2）=0，如圖1.4c右邊所示。這表示輸入信號中只有頻率為fS/4的分量，其他頻率分量都為零。這當然也是對的。這就完成了用信號序列x1（n）和x2（n）對圖1.4a中DFT計算圖的驗證[在圖1.4c的右邊，fS為采樣率，X2（1）和X2（3）都表示頻率等于fS/4的分量，而且兩者是同一個頻率分量，X（0）表示直流分量，X（2）表示位于fS/2的頻率分量。后面第3章將詳細說明這些概念]。

圖1.4a中計算圖的要點是，圖中的大多數乘法計算都是重復的（樣點數越多越明顯）。利用這一特點，可以使計算量大為節省，這就是所謂的快速傅里葉變換（Fast Fourier Transform，FFT）。此外，圖1.4b和圖1.4c中右側的頻率譜應該看成是以采樣率fS為周期向兩側無限重復的，這是數字信號處理中最基本的概念。或者說，任何一個數字信號的頻率譜都是以采樣率fS為周期而向兩側無限重復的。