1.2 數字濾波器舉例

圖1.2表示一個簡單的數字低通濾波器，它包含3個延遲單元T1～T3、4個乘法器a0～a3和3個加法器A1～A3。乘法器和加法器都很好理解；而延遲單元其實就是計算機中的存儲單元，它的功能是對每個數字量樣點（比如，8位定點數或32位浮點數）記憶一個采樣周期T。在圖1.2a中，輸入信號在當前采樣周期內的樣點為x（nT）（假設當前的采樣周期為第n采樣周期），如果把它送入延遲單元T1，到下一個采樣周期內就變成x（nT-T）出現在它的輸出端上（下一個采樣周期就是第n+1個采樣周期）。這就是一個延遲單元需要完成的全部任務。

上面提到，把x（nT）延遲一個采樣周期后就變成x（nT-T）。對此，我們可以這樣來理解。首先，在數字信號系統中，時間總是以采樣周期T為長度順序劃分的，如圖1.2c所示。這里的要點是，我們總是把注意力集中到當前采樣周期，所以總是把當前采樣周期叫作第n采樣周期。舉例來說，如果當前采樣周期為第2采樣周期，也如圖1.2c所示，那么第2采樣周期就是第n采樣周期，即n=2；而第2采樣周期后面的第3采樣周期就叫第n+1采樣周期。

當時間經過T之后，到了第3采樣周期。此時，第3采樣周期就變成當前采樣周期而被叫作第n采樣周期，即n=3。前面的第2采樣周期就被叫作第n-1采樣周期。知道了這一點，就不難理解輸入樣點x（nT）延遲時間T之后就變成x（nT-T）。這里的要點是，n是在不斷變化的。現在n=3，所以x（nT-T）=x（3T-T）=x（2T）。而x（2T）就是第2采樣周期內的輸入信號樣點。

在圖1.2a中，由于4個乘法器的乘數都是0.25，所以當前采樣周期內的輸出樣點就可以用當前采樣周期和以前三個采樣周期內的輸入樣點表示為

式中，y（nT）為當前采樣周期內的輸出樣點；x（nT）為當前采樣周期內的輸入樣點；x（nT-T）為前一個采樣周期內的輸入樣點；x（nT-2T）為前兩個采樣周期內的輸入樣點，依此類推。所以式（1.1）的功能是對最近的4個輸入樣點計算平均值，并把平均值作為濾波器在當前采樣周期內的輸出樣點y（nT）。

在圖1.2a中，濾波器的輸入信號是一個2V的直流電位和一個振幅為0.5V的交流電壓的疊加。其中的交流電壓可以是一種噪聲，比如是疊加在直流電位上的紋波。我們的目的是，用圖1.2a中的數字低通濾波器來濾除這個交流成分。

需要知道，在圖1.2中還使用了數字信號系統中的一般性做法，這就是，數字信號的每一個樣點都被表示為一個小圓點和一條垂線的組合。這些樣點都位于t=nT的時間點上（n=…，-2，-1，0，1，2，…），且任意兩個相鄰樣點之間的時間間隔都等于采樣周期T。

現在有了式（1.1），就可以計算濾波器的輸出y（nT）。但在開始計算（也就是濾波）之前，還需把圖1.2a中T1～T3的3個延遲單元中保存的3個記憶樣點清零。這叫系統初始化，然后才可進入真正的濾波計算。

現在假設系統初始化已完成，就可以開始濾波計算了。此時的時間被定義為零，即t=0。這就是說，濾波器的操作總是從t=0開始。此時的采樣周期為第0采樣周期，即n=0。它的時間范圍是從t=0～T（第1采樣周期的時間范圍從t=T～2T等）。

在第0采樣周期內，濾波器先從3個延遲單元的輸出端取得3個零樣點，把它們分別送入x（nT-T）～x（nT-3T）的三個樣點，如圖1.2a所示。再從輸入信號取出第0采樣周期內的輸入樣點x（0）=2，把它送入x（nT），也如圖1.2a所示。這就可以用式（1.1）來計算濾波器的當前輸出樣點，計算的結果為y（nT）=y（0）=0.5，如圖1.2b所示。最后，還需將x（nT）、x（nT-T）和x（nT-2T）分別存入T1～T3的3個延遲單元內。這就完成了第0采樣周期內的全部操作；得到的結果是y（nT）=y（0）=0.5，以及3個延遲單元內分別保存了2、0和0三個樣點。

當t=T時，濾波器進入第1采樣周期。操作過程與第0采樣周期內完全一樣。先從3個延遲單元取出3個樣點，把它們分別送入x（nT-T）、x（nT-2T）和x（nT-3T）樣點，其中x（nT-2T）和x（nT-3T）仍都為零，而x（nT-T）=2。再從輸入信號取出第1采樣周期內的輸入樣點x（T）=2.5，把它送入x（nT）。然后用式（1.1）計算濾波器當前采樣周期內的輸出樣點y（nT）=y（T）=1.125，如圖1.2b所示。最后，把x（nT）、x（nT-T）和x（nT-2T）分別存入T1～T3。至此，第1采樣周期內的操作全部完成；得到的結果是y（nT）=y（T）=1.125，以及3個延遲單元內分別保存了2.5、2和0樣點。接下來，進入第2采樣周期、第3采樣周期，并一直繼續下去。

這樣算出的輸出信號y（nT）如圖1.2b下面所示。其中，前三個樣點表示濾波器處于暫態階段（任何有記憶的系統，都會在開始時經歷一個暫態階段）。從t=3T（即n=3）開始，濾波器進入穩態階段。從此時的y（nT）看，交流噪聲已被濾除，只剩下想要的直流成分。這就是圖1.2a中的數字低通濾波器要完成的任務。

歸納起來說，任何數字信號系統的操作都是以采樣周期T為單位順序進行的。當一個采樣周期內的操作完成后，就進入休閑期，等下一采樣周期到來時，再重復同樣的操作，如圖1.2c所示。這種操作會一直延續下去。