1.2 期權的定價基礎

1.2.1 B-S期權定價模型的背景

如前所述，期權的權利金由標的資產價格、標的資產波動率、合約到期期限、行權價、無風險利率、股息等因素綜合決定。但是這些因素對期權價格的影響過程需要更明晰的量化呈現，即定價的具體邏輯。Black-Scholes期權定價模型（簡稱B-S期權定價模型）是全球金融市場最被廣泛認可的一種定價邏輯。

B-S期權定價模型最早是由費舍爾·布萊克（Fisher Black）和邁倫·斯科爾斯（Myron Scholes）兩位經濟學家在1973年發表的一篇論文中提出的。為紀念他們的功績，該定價模型以他們的名字命名。B-S期權定價模型的誕生，奠定了現代期權定價的理論基礎。該模型是基于無風險套利機會的假設，同時回避關于個人風險偏好和由市場均衡價格結構的限定性假設所發展的期權定價均衡模型。雖然B-S期權定價模型存在一些瑕疵，但其在全球期權、互換等衍生品市場40余年的發展過程中，已然得到了最廣泛的檢驗和認同。

1.2.2 B-S期權定價模型的理論假設條件

B-S期權定價模型的理論假設條件列舉如下。

? 期權標的資產價格的運動過程符合對數正態分布模式。

? 在期權有效期內，無風險利率和期權標的資產的波動率恒定。

? 市場不存在稅收和交易成本，所有標的資產都是高度可分的，即市場無摩擦。

? 期權標的資產在期權有效期內無紅利及其他所得（該假設在后來的模型優化中被放棄）。

? 市場允許使用全部所得進行賣空標的資產衍生品的操作。

? 期權在到期前不可提前實施行權結算，即屬于歐式期權。

? 市場中不存在無風險套利機會。

? 期權標的資產的交易是連續的。

? 投資者能夠以無風險利率進行資金拆入/拆出。

1.2.3 B-S期權定價模型的理論推導

在上述理論假設條件的前提下，對B-S期權定價模型的理論推導做簡單描述。

? 衍生品與標的資產價格不確定性的來源相同。

? 通過構造期權標的資產與其衍生品的組合來消除這種不確定性。

在B-S期權定價模型假設下，期權標的資產的隨機過程如下：

dS=μSdt+σSdz

其中，S表示標的資產價格，μ表示標的資產的漂移率，σ表示標的資產的波動率，z表示均值為0，t是標準布朗運動下的方差。

假設f是基于S的某個衍生資產的價格，根據著名的伊藤公式（Ito Formula）有

如果構造一個投資組合，賣空一份衍生證券，同時買入份股票，那么整個組合的價值（用Π表示）公式如下：

于是投資組合的價值公式變為

由于投資組合Π的價值變動僅與時間dt有關，因此該組合成功消除了dz帶來的不確定性。根據無套利定價原理，該投資組合的收益率應等于無風險利率r，公式如下：

最終得到以下微分方程：

從公式可知，任意依賴于標的資產S的衍生品價格f都滿足以上微分方程。歐式認購期權的邊界條件為

C(0,T)=0

C(S,T)=Max(S-K,0)

其中，C表示歐式認購期權價格，K為行權價，T為期權到期剩余時間。在以上邊界條件下解這個微分方程，就得到了B-S歐式認購期權的定價模型公式：

C=SN(d1)-Ke-rTN(d2)

其中，

σ為標的資產價格的年化波動率，即年化收益率的標準差；N（x）為標準正態分布變量的累積概率分布函數，且根據標準正態分布函數特性，有N（-x）=1-N（x）。

根據歐式認購期權和認沽期權之間C-P=S-Ke-rT的平價關系，在上述公式基礎上，可以很容易得到歐式認沽期權的定價公式：

P=C+Ke-rT-S=Ke-rTN(-d2)-SN(-d1)

其中，P表示歐式認沽期權的價格。

1.2.4 B-S期權定價模型的延伸

1.標的資產支付股息的情況

B-S期權定價模型只解決了不分紅股票的期權定價問題，另一位金融數學巨匠莫頓（Merton）拓展了B-S模型，使其可以運用于支付紅利的期權。

存在已知的不連續紅利：假設某標的資產在期權有效期內某時間t（除息日）支付已知紅利D（t），只需要先將該紅利現值從股票現價S中除去，再將調整后的股票價值S代入B-S期權定價模型中即可：S＇=（S-D（t））e-rt。如果在有效期內存在其他紅利所得，可按照該方法一一減去。從而將B-S期權定價模型變形得到新公式：

C=[S-D(t)]e-rtN(d1)-Ke-rTN(d2)

P=Ke-rTN(-d2)-[S-D(t)]e-rtN(-d1)

存在已知的連續紅利：當標的資產收益率為按連續復利計算的固定收益率q時，只要將Se-qT代替上述公式中的[S-D（t）]e-rt，就可以求出支付連續復利收益率資產的歐式認購和認沽期權的價格，公式如下：

C=Se-qTN(d1)-Ke-rTN(d2)

P=Ke-rTN(-d2)-Se-qTN(-d1)

2.B-S期權定價模型的弊端

盡管B-S期權定價模型的影響力巨大，但也應當知曉該模型存在的一些弊端。

B-S期權定價模型的弊端源于其基礎的假設與實際金融市場的狀態不符，具體有如下幾點：

? B-S期權定價模型假設期權標的資產價格運動過程符合對數正態分布模式，但實踐中的金融資產價格運動過程往往是尖峰后尾的類正態分布模式。

? B-S期權定價模型假設在期權有效期內無風險利率和期權標的資產的波動率變量恒定，但實踐中兩者皆不恒定，特別是標的資產波動率的時變性更強。

? B-S期權定價模型假設市場不存在稅收和交易成本，所有標的資產都是高度可分的，即市場無摩擦，但實踐中不可能存在市場無摩擦的情況，交易費用、流動性沖擊皆是現實問題。

? B-S期權定價模型假設市場允許使用全部所得進行賣空標的資產衍生品的操作，但在實踐中存在較多問題，特別是國內金融市場做空機制相對做多機制依然缺失較多。

在筆者的實踐中，上述弊端造成了B-S期權定價模型在虛值期權定價、高波動時期期權定價、遠期期權定價方面有一定誤差。在本書進階篇會結合實踐針對這部分內容展開討論，這里僅簡單概述。

3.美式期權的定價

在標的資產無分紅的情況下，美式認購期權價格與歐式認購期權價格相等，因此前文認購期權定價公式同樣適用于美式認購期權的價格定價。由于美式認沽期權與認購期權之間不存在嚴密的平價關系，因此目前還未找到一個精確的解析公式來對美式認沽期權進行定價，主流的方法是用二叉樹模型、BAW模型、蒙特卡洛模擬等得出美式期權的數值解。