1.2.2 場的方法

場的方法就是從麥克斯韋方程入手，對LIM氣隙磁場方程進行分析求解。它是分析LIM數學模型的有力手段，主要包括解析法、有限元法和邊界元法，具體介紹如下。

1.2.2.1 解析法

解析法主要有兩種：集中參數的電流理論分析法和分布參數的電磁場理論分析法。解析法先基于一維或二維場分析，選取電機的一對極為求解區域，把初級繞組等效成正弦電流層，暫時不考慮鐵心入端、出端、補償繞組、端部半填充槽和三相繞組不平衡等因素，直接沿用旋轉電機分析方法，計算出理想化的電機模型[16]。進一步考慮橫向邊緣效應、縱向邊端效應、初級半填充槽、磁路飽和、初級相間不平衡、次級導板的趨膚效應等影響，用相應系數對電機參數進行校正。解析法主要采用磁路法、等效電路法、磁荷法、直接求解拉氏法、空間諧波法、次級板分層法、耦合電路模型（包括極對極法、繞組函數法等）[17]。下面對其主要模型及思路進行介紹。

1.并聯或串聯電路法

Sakae Yamamura[18]從三維麥克斯韋方程出發，經過簡化推導出LIM一維氣隙磁場方程的解，并將氣隙磁場分為三部分：第一部分是基本的正向行波，對應于RIM氣隙磁場；第二部分是入端磁通密度波，沿正方向（+x軸）運行，并逐漸衰減；第三部分是出端磁通密度波，沿負方向（-x軸）運行并迅速衰減。經過嚴密的數學推導，作者得到了三種磁通密度行波對應的等效阻抗，并等效出串聯或并聯電路。串聯等效電路如圖1-3所示，其中Z_s為初級阻抗，Z_f為氣隙基波阻抗，K₁Z_f為入端波阻抗，K₂Z_f為出端波阻抗，它們對電機推力產生不同影響：氣隙基波產生理想的推力，入端和出端行波大多數情況下產生負的推力（特定區域可能為正），最終使LIM的有效推力下降。整體而言，該模型能清楚描述出邊端效應對LIM特性的影響，并可得到兩點結論：①LIM氣隙中的出端磁通密度行波衰減很快，對電機推力影響很小，一般可以不考慮；②因縱向邊端效應隨電機速度的增加而迅速增大，LIM有效推力將迅速衰減，不宜應用于150km/h以上的高速交通中。

Poloujadoff[19]從LIM一維方程入手，提出了三種修正方法，推導出氣隙行波的二階、三階和四階方程。其中三階方程包含了次級導板中x方向電流的近似效應，四階方程中考慮了初級鐵心的飽和效應。

Wilkinson[20]根據LIM邊端效應建立了氣隙磁通密度方程。根據初級鐵心端部磁通密度的急劇變化，作者研究了LIM電磁推力的瞬態變化過程。

J.F.Gieras[21-22]系統總結了前人的研究成果，得到如圖1-4所示的LIM并聯等效電路：Z_m為勵磁支路阻抗，Z_r為次級支路等效阻抗，Z_end為邊端效應阻抗。作者認為，其中k_e為邊緣效應系數。比較圖1-4和圖1-3，兩個LIM等效模型在本質是相同的，可以根據不同需要進行轉化。

2.次級結構分層法

由于氣隙較大，LIM氣隙磁場強度H沿氣隙長度方向的分布不再均勻，同時次級表面的導體（銅或鋁）對H將產生進一步影響。因此，為準確計算次級電阻，必須采用次級結構分層法，深入研究次級導板中的電流分布情況。該方法是一種二維磁場分布求解法，由Gullen和Barton提出，后經Grieg和Freeman，J.F.Eastham和Roger等學者進一步發展完善。它假設場量在z方向上是不變的，次級電流只有z方向分量。實際導板中，電流卻具有x方向分量，使得次級電阻率增加，常采用Russel-Norsworthy系數來校正。分層法難以考慮初級鐵心的有限寬度和長度，大多應用于幾臺LIM串聯的情況，如圖1-5所示。此時，若LIM初級足夠長，則初級電流密度的分布可用正弦行波傅里葉級數來表示。在各個分層的交界面處，磁通密度B_y是連續的，若交界面處無電流存在，H_x也是連續的。

J.F.Gieras[22]將LIM整體結構按不同材料分層，如圖1-6所示。具體分層結構從次級導電板開始到初級線圈電流層為止，分別為1，2，…，k層，各層內部的磁導率μ_i和電導率δ_i均相同，且具有線性電磁分布及各向同性。若各層的電流密度已知，就可以計算出相關的磁場分量，然后根據麥克斯韋應力法和拉普拉斯方程等，計算出每層阻抗。LIM次級的每層阻抗通過級聯方式，最后可等效為串聯電路的形式。該方法還可考慮空間諧波的影響，如圖1-7所示，v代表空間諧波次數。

分層理論多數未考慮初級鐵心的飽和。Dawson和Eastham[23]首次提出了同時考慮初級和次級鐵心飽和的分層法：在某些大推力工作區域，因初級電流密度較大，大功率LIM初級鐵心存在一定飽和現象，其鐵磁材料的磁導率不再為無窮大。大量研究結果表明：考慮初次級鐵心飽和后，電機的推力和垂直力更接近實際測量值。

3.耦合電路模型

因為物理結構非對稱，所以LIM等效模型建立方法不能完全照搬RIM分析思路。傳統RIM中，只需要分析一個極下的場量和參數變化，然后根據對稱結構擴展到整個電機范圍。而LIM的入端和出端磁路突然變化，場量迅速改變，對稱拓展法不再有效，需要進行更為細致的研究[24-25]。

D.G.Elliott[26]把LIM次級分為大量相似的網格，建立相應的矩陣方程，并根據邊界條件求解出每個點的狀態。該方法可考慮互感變化，對LIM穩態和暫態特性進行分析。但是，為獲得合理結果，需求解大量差分方程，如4極電機至少要解150個差分方程，計算量較大。

B.T.Ooi[27]和G.G.North[28]嘗試建立LIM穩態和暫態特性分析的統一方程。他們從麥克斯韋靜態場推導出電機參數的解析表達式，并用傅里葉級數方法對參數進行三維場分析。該方法同樣需求解大量差分方程，邊界條件的給定較繁瑣。

T.A.Lipo和T.A.Nondahl[29]提出極對極方法，較大地推動了LIM穩態和暫態特性分析。該方法認為，LIM次級電路的每個極是獨立的，對應極下的繞組呈正弦分布；通過求解每個極的場量，最終能求解出電機氣隙磁鏈和次級實際電流。另外，在電機兩端人為增加極數，對LIM邊緣效應進行校正，如圖1-8所示。極對極方法首次從理論上對LIM動態和暫態特性進行了較好的描述，但其難點在于如何合理確定兩端增加極的數量。然而，極的數目增加會加大方程求解難度，同時影響電機特性分析的準確度。另外，LIM次級等效電流大小與電機運行速度密切相關，必須設法建立它們之間的關系。

Changan Lu和G.E.Dawson[30-31]在極對極方法的基礎上引入了繞組函數分析方法。他們從LIM氣隙磁鏈方程入手，在忽略磁路飽和、半填充槽、繞組不對稱等情況下，推導出電機繞組函數表達式，進一步求解出電機互感、次級電阻等重要參數，建立電機等效模型。該模型可對LIM穩態和暫態特性進行較為合理的分析。

整體而言，解析法物理概念明確，容易被人理解。但在實際中，解析法很難充分考慮磁路復雜性、非線性等因素。在建立LIM相應數學方程式時，解析法通常要用對應等效參數去近似或折中。當電機極數較多時，該方法的計算結果較準確；但隨著極數減少，其計算誤差逐漸增大。

1.2.2.2 有限元法

電磁場有限元法（Finite Element Method，FEM）能綜合考慮各方面因素，近年來逐漸成為LIM參數計算和特性分析的有力工具。FEM對場量邊值問題的微分形式進行離散化處理，適合于封閉邊界面區域中的電磁場計算，可以分析LIM電磁推力、次級板電流、氣隙磁通密度等。該方法求解步驟包括前處理、求解和后處理三步，主要分為二維法和三維法兩種。

FEM首先將電機的求解區域進行單元剖分，二維模型中剖分成一系列連續的三角形或四邊形單元，三維模型中剖分成一系列連續的六面體單元。單元節點上的矢量磁位A按照預先假設的變化方式（如線性變化或二次變化等）進行計算，然后從麥克斯韋基本方程出發，導出一組以磁場矢量磁位A為變量的偏微分方程。磁導率的大小跟隨A改變，從而考慮電機的磁路飽和效應。FEM的邊界條件由一系列初級繞組電流、磁通密度和次級感應電流組成，其中次級感應電流在求解區域中經過一定距離后會逐漸衰減為零。方程求解的精度與剖分單元的數量有關。FEM求解推力的方法包括麥克斯韋應力張量法和虛位移法兩種[32]。虛位移法的計算結果與網格剖分關系不大，而麥克斯韋應力張量法的計算精度和網格剖分精度緊密相關，即只有當網格剖分適當，計算準確性才有保證。實際中常常采用虛位移法。

1.二維有限元模型

Rodger[33]考慮LIM齒槽和次級板厚度的影響，用三角形和四邊形結合的方法，建立LIM二維分析模型。文章考慮趨膚效應作用，用等效電流層代替定子齒槽影響，結果表明：LIM在不同速度和頻率下的磁場分布和推力變化與實際情況吻合。Eastham[34]采用二維有限元模型對Queen大學的LIM進行分析，并和試驗測量結果進行對比，結果表明：兩者在高轉差區域比較接近；隨著轉差減小（初級速度增加），誤差逐漸增加。Chang Kim[35]采用二維模型對LIM運行過程進行動態分析。文章引入運動剖分法，當電機位移較小時，只將運動邊的剖分單元變形，當位移較大時重新剖分運動邊單元，盡量保持總單元和節點數不變。LIM推力和法向力采用變步長有限元法求取，其結果驗證了穩態工況下的性能指標。

2.三維有限元模型

Rodger和Eastham[36]采用標量和矢量磁位相結合的方法，把區域劃分為渦流區、源電流區、無電流區，然后對每個區域采用不同的網格劃分方法。通過求解迭代8000個方程，得到比二維模型更精確的磁通密度分布和推力值。

Cottingham[37]比較了空間暫態分析和三維建模分析兩種方法。文章從三維電磁場方程入手，分析了電機出端網格幾何形狀對電機性能的影響：次級渦流幅值與運行速度有關，只有當速度較高時，入端磁通密度才趨近于零。Cottingham把氣隙磁通分為兩個分量：一個分量是定子電流與轉子電流共同作用的結果；另一個分量幅值與第一個相反，大小與暫態轉子電流有關，將隨著次級的進入而消失。該方法計算的推力等特性變量和實際吻合較好。

Tadashi Yamaguchi[38]用三維有限元法對LIM渦流、端部磁通密度和推力等進行了詳細研究，并和解析法結果進行了比較，結果表明三維分析更接近試驗值。

綜上所述，FEM的優點是先知道每個剖分網格點的場量，進一步求取電機的參數和特性變量，不必像解析法那樣需進行近似和簡化，結果相對準確。FEM和電機建模分析、優化設計相結合，是電機分析設計的發展趨勢。相對二維FEM，三維FEM必須考慮三個軸向矢量磁位的變化，需要更大數據存儲空間和更多計算時間，且邊界條件給定更復雜。

1.2.2.3 邊界元法

FEM是求解整個區域內不同分布節點的場量值，而邊界元法（Boundary Element Method，BEM）是求解模型不同區域之間的邊界上未知節點的變量，然后由這些點的值求解需要的場量。

Nonaka和Ogawa[39]用邊界單元法計算了LIM性能，并與空間諧波法進行了比較，結果基本一致，但并未與實際試驗對比，計算精度未知。T.Onuki[40]提出了BEM，通過邊界條件和方程求解分界面之間的節點磁通密度等。該方法整體上簡單易行，但存在如下缺點：①磁場飽和時不容易得到準確解；②需要較多計算時間和較大存儲空間；③運算矩陣多數情況是滿秩的，階數增多時不好處理。相對BEM，FEM運算矩陣大部分為稀疏矩陣，計算時間短，占用空間小。

為揚長避短，近年來一些學者提出FEM-BEM聯合解法，從而有效解決LIM磁場分析中的一些問題。B.Laporte[41]比較了空間諧波法和FEM-BEM，在邊界處和低轉差時，FEM-BEM精度更高，且運算時間相對較短。Koji Fujiwara[42]將FEM-BEM應用于LIM次級板渦流分析中，結果表明：該方法計算獲得的推力與試驗測定值更加接近，且具有更好的收斂性。