皮亞諾公理和科學真實的結構

雖然從邏輯推出自然數以失敗告終，但自然數確實可以定義為具有某種特定結構的符號系統，它和來源于客觀事物及其性質的經驗無關。我在《消失的真實》第二、第三編指出，意大利數學家皮亞諾第一次給出自然數（非經驗）的嚴格定義。[23]自然數是這樣的集合：其中任何一個元素都可規定一個后繼元素，它和已經給出的元素不同；而且數學歸納法有效，即如果一命題對其中某一元素成立可以推至對其后繼元素亦成立，那么該命題對所有元素成立。下面用嚴格的論述來表達皮亞諾公理，[24]集合N只要滿足如下5個條件，其元素就是自然數（我們用a*表示a的后繼元素）。

1．1屬于N。

2．當a屬于N時，有唯一的a*屬于N。

3．當a*屬于N時，a*不是1。

4．對任何a、b屬于N，若a*和b*相同，a和b相同。

5．若M屬于N，且1屬于M，對于任意a屬于M，有a*屬于M，則M等于N。[25]

皮亞諾公理是什么意思？我們可以把該結構投射到經驗對象，看看它代表著什么。當這組公理不是描述符號系統，而是人做受控實驗（受控觀察）時，我們會發現皮亞諾公理的背后正是受控實驗（受控觀察）的普遍可重復性。當一個元素代表某一次受控實驗（受控觀察）時，所謂后繼關系，是做一次受控實驗（受控觀察）后，還可以做下一次同樣的受控實驗（受控觀察），或某人做某一受控實驗（受控觀察）后，另一個人可以做同樣的受控實驗（受控觀察）。

此外，皮亞諾第五公理保證了數學歸納法的成立，因此又被稱作歸納公理。[26]這一公理對應著如下原則：某人做某一次（個）受控實驗（受控觀察），能得到某個結果。只要下一次控制同樣條件，下一次（或另一個人做同樣的）受控實驗（受控觀察）亦能得到同一結果。這樣一來，只要控制某一組條件，在任何情況下（或任何人）必定能得到同一結果。我在《消失的真實》中將其稱為受控實驗（受控觀察）的普遍可重復，它是科學經驗真實性的最終標準。

我在導論中指出，量子力學在今天已經證明“客觀實在為真”并非永遠正確的。因為當對象依賴主體時，和主體可重復控制無關的客觀對象有時并不存在。[27]這時，只能用受控實驗（受控觀察）能不能普遍可重復來判別實驗對象和相應的性質是否為真。換言之，“普遍可重復的受控實驗（受控觀察）為真”，已經成為科學界判定科學真實的金科玉律。它是比“客觀實在為真”更為基本的真實性基礎，而表達自然數的符號結構居然和判定科學真實的受控實驗結構相同。這表明自然數的定義雖不能用邏輯推出，但正好描述了科學真實的結構。

我認為，自然數的皮亞諾公理具有重要的認識論意義，因為它第一次用符號表達了科學真實的結構。換言之，真實性本質上是一種結構，它可以是經驗的，亦可以是符號的。它在代表符號時，可以和經驗沒有關系。表面上看，皮亞諾公理5個條件中條件1有“1”，“1”是來自經驗的，是數“數”時定義的單位。其實這里“1”只是一個起始符號，可以和測量單位無關。我們亦可以用“0”作為起始符號，這時得到了包含“0”的自然數集，這是自然數的另一種等價的定義。[28]讀者或許會感到奇怪：如果沒有測量單位“1”，僅僅從符號的后繼關系以及它們互不等同，就能定義自然數嗎？當然不能！如我們給出序列a_a、a_a、a_a、a_a、a_a、a₆ ……，它們也滿足“對該集合任何一個元素都可規定一個后繼元素，使它和已經給出的元素不同”，這一序列和自然數也一一對應，但它并不是自然數集。為什么？因為皮亞諾第五公理不成立，故上述序列不是自然數，而只能是自然數的子集合，或和自然數集合一一對應的另一個集合。

這里至關重要的是，定義自然數需要數學歸納法即皮亞諾第五公理成立。條件5的妙處在于：它不僅用數學歸納法成立來代替數“數”單位，還指出所謂滿足一個命題P的所有集合只能由數學歸納法有效地給出。也就是說，數學歸納法成立可以轉化為兩個等價的法則。第一，如果一個命題P對其中某一元素成立，可以推至對其后繼元素亦成立，那么該命題對該集合所有元素成立。第二，只有數學歸納法才能有效地給出具有P的所有對象（元素），形成一個有關對象（元素）的全稱命題。

早在18世紀，休謨就感到數學歸納法與經驗世界似乎沒有必然的聯系。[29]事實上，皮亞諾公理及其包含的數學歸納法，討論的不是客觀存在的經驗世界，而是具備自由意志的主體如何給出符號系統，以及如何從控制（或相應的符號）來定義具有某種規定性的“所有”對象。讓我們分析皮亞諾前4條公理，在客觀世界，經驗上給出有限個不同對象（包括主體）后，并不一定存在和已知對象不同的下一個對象。然而，對主體實行控制而言，主體做過有限次的控制后，一定還可以做另一次控制。也就是說，皮亞諾前4條公理是在描述主體的自由，而第五公理歸納公理則給出了“所有”具有某種規定性的對象。什么是“所有”？具有某種規定性（性質）的所有對象涉及對象的全稱，其可能有無窮個。這是一個以前無法講清楚的概念，只有數學歸納法提供了給出無窮個對象的有效方法，它可以證明有關對象的全稱陳述為真，這一點對真實性哲學特別是定義科學真實至關重要。

如果把皮亞諾公理中的元素視為主體，某一元素的后繼元素為不同于某一主體的另一個主體，歸納公理正對應著如下原則：如果某一對象對某一主體成立，能得到對另一個主體也成立，則該對象對所有主體成立。如果皮亞諾公理中的元素是用某一種方法定義的一個對象，某一元素的后繼元素為不同于某一對象的另一個對象，歸納公理則指出：如果某一對象是真的，能得到對下一個對象也是真的，則用某種方法規定的所有對象都是真的，“有關對象為真”的全稱陳述成立。

這一切又有什么意義呢？我在《消失的真實》導論中指出，所謂真實性是對象和主體的一種關系，這種關系構成主體對對象之評價，以及其與評價對象互動的前提。[30]但我在《消失的真實》中并沒有論述這種關系是什么。在本書導論中我指出，真實性作為主體X和對象Y的關系，必須通過控制手段M來界定。也就是說，真實性是主體X、對象Y及M三者之間的關系，并指出X和Y的真實性取決于M的可重復性。而M的可重復性是指做過一次后還能再做一次，當可重復性滿足數學歸納法時，則得到真實性作為一種關系的普遍成立。由此可見，數學歸納法對判別真實性是否普遍成立具有關鍵性意義。

現在，我們得出一個令人吃驚的結論：自然數作為某種特定結構的符號系統，居然代表了所有懸置在對象之外的主體和對象的關系，定義了科學真實必須滿足的前提。當這種符號系統不存在時，上述關系就不存在，這時說“某一對象為真”將不再有意義。