如何利用方程來解各種問題

在求解某個問題時，首先假設解已經求得[7]，并給所有有助于求解的已知和未知線段命名[8]。接下來，在未區分已知還是未知線段的情況下，利用這些線段之間最自然的關系來解決問題，直到發現可以用兩種方式來表示同一個量[9]。這將組成一個方程式，因為這兩個表達式之一的各項之和，等于另一個表達式的各項之和。

我們必須找到與假定存在的未知線段數量相同的方程組[10]。但是，如果根據已知條件，無法找到這么多方程，那么顯然該方程組的解無法確定。在這種情況下，對于沒有對應方程的未知線段，我們可以任意確定一個長度[11]。

如果找到若干個方程，我們必須依次運用每一個方程，或單獨考慮，或將其與其他方程做比較，以便得到每一條未知線段的值。我們必須將這些方程進行組合，直到只剩下一條未知線段[12]。這條未知線段等于某一已知線段；又或者，未知線段的平方、立方、四次方、五次方、六次方等之一，等于兩個或兩個以上量的和或差，其中一個量已知，而其他量是由單位線段與這些平方、立方、四次方等的比例中項乘以其他已知線段組成的。我可以用下列式子來表示

z=b

z2=-az+b2

z3=az2+b2z-c3

z4=az3-c3z+d4

…

即，取未知量z等于b；或，z2等于b2減去a乘以z；或，z3等于a乘以z2加b2乘以z再減c3；以此類推。

這樣一來，無論問題是能用圓、直線或圓錐曲線，甚或是其他不高于三維數或四維數的曲線[13]作圖的，所有的未知量均可用單一的量來表示。

但我在此并不打算作更為詳細的解釋，因為那樣的話，我就剝奪了您通過自己的努力去解決問題的樂趣；而這個過程對于訓練您的思維能力是大有助益的，在我看來，這正是這門科學之于人類的主要好處。再則，我發現這其中沒有什么不可逾越的困難，因為任何熟悉初等幾何和代數的人，只要仔細思考本論著中闡述的所有內容，一切都可以迎刃而解[14]。

因此，我非常贊同這樣一種說法：如果一名學生能夠充分利用除法來解這些方程，那他一定可以將問題化歸為最簡單的形式。