平面問題及其解

如果問題可以通過一般的幾何學知識，即僅通過使用平面上的直線和圓的軌跡[15]來求解，那么要使最后一個方程完全解出，至多存在一個未知量的平方，其等于該未知量乘以某一已知量再加上或減去另一已知量[16]。因此，這個根或者說該未知線段可以很容易地求出。例如，若已知z2=az+b2，要求未知量z[17]，便可在圖1-3中作一Rt△NLM，其一邊LM=b，即已知量b2的平方根；另一邊，即另一已知量（與未知線段z相乘的量）的一半；那么，延長該直角三角形的斜邊[18]MN至O，使NO=NL，則線段OM即為所求線段z，可以表示為：。

（圖1-3）

但是，若已知y2=-ay+b2，其中y為所求未知量，那么，同樣作Rt△NLM，在斜邊MN上取點P，使NP=NL，則PM為所求的根y，可以表示為：。

同樣地，若已知x4=-ax2+b2，PM=x2，那么。

其他情況同理可得。

最后，若已知z2=az-b2，同樣地，在圖1-4中，令，LM=b；接下來不再連接點M和點N，而是作MQR平行于LN，再以N為圓心，經過L作圓，交MQR于點Q和點R，則所求線段z為MQ或MR。在這種情況下，z有以下兩種表達方式

（圖1-4）

若以N為圓心過L所作的圓，與線段MQR既不相交也不相切，則該方程無根，那就是說，我們無法通過作圖來求解。

當然，這些根也可以通過許多其他方法求得。我給出這些非常簡單的方法，是為了表明，只需運用我所闡釋的這四種作圖法[19]，就可以通過作圖求出所有普通幾何問題的解。我想，古代數學家并沒有發現這一點，否則他們也不會花費精力撰寫這么多書；而他們作品中的一系列命題表明，他們并沒有找到確切的求解方法，而僅僅是將偶然間發現的命題集合在了一起。

75歲的古希臘數學家阿基米德正在家中畫幾何圖形，不幸被突然闖入的羅馬士兵殺害。