印度的零

印度的零代表虛空或不存在，但也代表空間、天空、天穹、空氣和以太，以及無、不考慮的量、無意義的元素。23

——伊弗拉6（Georges Ifrah）

6 伊弗拉，法國數學教師，自學成才的數學史家。

巴比倫和瑪雅文明的毀滅阻礙了他們獨立發明的零符號未來的表示式樣。這個榮譽授予了零的第三位發明者，他書寫一切數的方式至今仍在通用。

早在公元前 3000 年，居住在印度河河谷地區的印度人已具有相當發達的文化。大批具有供水系統以及各種裝飾物的城鎮建立起來了。印章、書寫體系和計算的形跡體現了一個高度發展的社會。書寫和計算在整個印度次大陸延續了一千年。豐富多彩的手書體和數字系統在中印度各處和使用婆羅門數字的東南亞鄰近地區都可找到。這種記號首次出現在公元前 350 年前后，盡管只有數字 1、2、4 和 6 的樣本仍保留在石碑上。公元前一二世紀的抄本顯示了它們看上去像什么樣子24。請看圖 1-23。

圖 1-23　表示數 1 到 9 的印度早期符號

婆羅門數字的形態在某種程度上仍是個謎。表示從 4 到 9 的數的符號與它們所表示的數量并無任何明顯的聯系，然而它們可能是從已消失的字母表派生而來的，也可能是從不復存在的附有清晰說明的較早數字系統進化而來。

婆羅門計數系統在公元 6 世紀轉化為一個以 10 為基數的位置記數法，即十進制。它利用了原有的表示數 1 到 9 的不同數字以及表示大數和 10 的較高次冪的數字的簡明符號。使用它的最早的書寫事例可追溯到公元 595 年，它出現在桑赫達的一張銅板契約上。25

這個卓越的計數系統很可能從使用以石子或種子展示數的計數板中得到了啟發。如果誰想要用石子展示一個數，如 102，那么要放置 1 粒石子在百位列中，接著在十位列中留一間隔且在個位列中放置 2 粒石子。現已知道，創造一個邏輯清晰的記數法用以處理很大的數的進一步動力，來自于受到了巴比倫早期天文記錄和符號影響的印度天文學家的研究工作。由婆羅門數字產生的最通用的位置記數法便是使用如圖 1-24 所示的納加里手寫體的那種。

圖 1-24　納加里數字的演變。注意其中許多數字同我們現今使用的數字是多么相像！

印度人發展的位置計數系統有一個獨特之處，它使用了很久以前便存在的相同數字。在其他文化里，一個位置記數法的創造需要改變表示這些數本身的符號。已知印度人的位置計數系統最早使用時間是在公元 594 年。

正如我們從巴比倫人和瑪雅人那里所了解到的，一旦引進一個位置計數系統，那么一個零符號跟著出現便只是時間問題了。印度的零的最早應用是在公元 458 年，當時它出現在一本幸存的耆那教論宇宙學著作中，但間接的證據表明，早在公元前 200 年它諒必已被使用了。最初，它似乎用一個點而不是一個小圓來表示。6 世紀的一首詩歌《瓦薩瓦達泰》（Vasavadatta）談及了使用點的原因26：

星星向外發光……就像零點……散布在天空中。

后來，熟悉的圓形符號 0 取代了點，而且向東傳播到了中國。它被用于表示一個十進制數的任何位置（百位、十位、個位）上沒有輸入，而且由于印度的十進制計數系統是規則的，即它的每一數位是前一個數位的 10 倍，因此零還充當了一個算子。這樣，把零加到一位數字串的末端就起著乘上 10 的作用，正如現在它為我們所做的一樣。這個原則的一個奇妙的應用可在比哈里拉爾（Bihar?lal）所寫的一首梵文詩27里找到，在這首詩里，詩人以一種數學方式談及一位美麗女人的前額上的點728來表示對她的贊美：

7 稱為 tilaka，是印度人用化妝油點在前額上的圓點。

在她的前額上的點
使她的美麗增加 10 倍，
猶如一個零點（sunya-bindu）
使一個數增加 10 倍。

雖然印度人的零最初是以與巴比倫人和瑪雅人同樣的方式被引進的，用來表示一個空缺的數字，但是它迅速擔當了另一個數字的身份。而且，和其他零的發明者大不相同，印度的計算者很容易地把它定義為任意數減去其自身所得的結果。在公元 628 年，印度天文學家婆羅門笈多（Brahmagupta）就是以這種方式定義零的，他還闡明了用它作加、減、乘，以及最驚人的除的代數運算規則。例如，當零（sunya）加到一個數或者從一個數上減去時，該數保持不變；而一個數乘上零時，則變成零。值得注意的是，他還定義無窮大作為任意一個非零數被零除后所得的數，并且建立了一套乘除正負數的一般規則體系。

關于為什么印度的零符號呈圓形，曾有過一些有趣的推測。29畢竟，我們在瑪雅人和巴比倫人的手稿里看到它表現為某種非常不同的形式?？耍⊿ubhash Kak）曾提出，它由表示 10 的婆羅門符號發展而來。它像一個簡單的魚形或比例符號 ∝。此后，在一二世紀，它好像一個圓附加一個 1，如圖 1-25 所示。因此，它暗示著表示 10 的符號可能分解為表示 1 的符號——單獨一條豎線——和剩下的圓，它的數值為零。

圖 1-25　表示 10 的魚形符號可能分離成一個圓和表示 1 的一條線，留下圓作為零的符號

印度的零符號的一個迷人特點在于它表示的概念很豐富。巴比倫人習慣于一維地看待零符號，僅僅把它看作會計記錄中表示一個空隙的符號，然而印度人卻把它看作一個具有虛無和虛空含義的較廣泛的哲學范疇的一部分。在此列出一些表示零的印度文字。30它們的數目本身就表明在印度的哲學里“無”這個概念的豐富程度，并且從中可看出，“不存在”的各個方面的含義需要清楚地標明。31

8 印度教三大神之一，保護神。

“賓杜”（Bindu）用來描繪最無意義的幾何體——單獨一點，即一個圓縮小到其中心而不再具有有限空間。照字義，它僅表示一個點，但它象征著宇宙在物化成我們所感受的外在實體世界之前的本質。它代表一個尚未被創造的宇宙，從中可創生一切事物。這種創造性的潛力可利用一個簡單類比揭示出來。因為，通過運動，單獨一點能形成線條，通過線條的運動能形成平面，通過平面的運動又能形成我們周圍的整個三維空間?！百e杜”便是“無”，由此一切事物都能涌現。

這種從“無”中生有的概念導致了在一套玄想圖里使用“賓杜”。在密教哲學（Tantra）的傳統中，坐禪者必須從默想整個空間開始，此后再逐步從一種形狀到另一種形狀，最終讓許多線條在一焦點處作中心收斂。也可遵循相反的默想路線，即從一點開始而向外運動，直到包含一切事物，如圖 1-26 所示，這樣，稱為斯里揚特拉（Sriyantra）的復雜幾何結構圖被創作出來，用于把坐禪默想者的心和眼集中于連接其中心點到未知世界的收斂和發散的路徑之上。

從印度關于零的概念化中，我們了解到它所透露出來的信息便是，“空”（sunya）包含如此豐富的概念。其字面上的意義是“空的”或“虛空”，但它也包含了“空間”“真空”“無意義”和“不存在”，以及“無價值”和“沒有”等概念。它具有一個復雜性的網絡，不可預言的聯想會從中浮現，而不必經受嚴密的邏輯分析以肯定它們在形式邏輯結構之內的一致性。在這個意義上，印度人在不拘泥于字義的自由聯想方面所取得的進展看來幾乎接近現代人。其核心是一個特定的數字和符號功能，它在執行這個功能時并不企圖抑制該概念在其他各個方面被使用和擴充。這也正是我們期望在現代文學藝術里找到的。一個形象或一個思想在某一特定學科里可能以一種明確定義的形式和意義存在，然而以不同的目的和想象力工作著的藝術家們仍在不斷地對它進行推敲或再創作。

圖 1-26　斯里揚特拉，即在密教傳統的各部分里用作默想指南的一種幾何結構圖。已知最早的這種圖例在公元 7 世紀出現，但較簡單的圖案則可追溯到公元前 12 世紀。它由三角形、多邊形、圓和線條互相嵌套的復雜圖案組成，它們收斂于一個中心點（即賓杜）之上，它或者是默想的終點，或者是默想的起點，由它向內還是向外依這些花紋的運動而定。在 9 個中心三角形里，4 個向上的頂點表示“陽性的”宇宙能，而 5 個向下的頂點表示“陰性的”宇宙能。建構這些和其他一些吠陀的敬神指南圖，要求具有相當多的幾何知識 32