1.4　食用油加工的線性規劃模型案例

加工一種食用油需要精煉若干種原料油并把它們混合起來。原料油的來源有兩大類共五種：植物油VEG1、植物油VEG2、非植物油OIL1、非植物油OIL2、非植物油OIL3。購買每種原料油的價格（英鎊/噸）如表1-2所示，最終產品以150英鎊/噸售出。

植物油和非植物油需要在不同的生產線上進行精煉。每月能夠精煉的植物油不超過200噸，非植物油不超過250噸；在精煉過程中，重量沒有損失，精煉費用可忽略不計。注意，最終產品必須符合硬度指標的技術條件。按照硬度計量單位，它必須為3.0～6.0。假定硬度的混合過程是線性的，且原料油的硬度數據如表1-3所示。

為使利潤最大，建立數學模型制訂月采購計劃和加工計劃。

問題分析

這個優化問題的目標是使得利潤最大，而要做的決策是每月采購的各類原料油噸數。決策受到3個條件的限制：原料油的精煉能力、成品油的硬度要求以及決策變量屬性。通過對原題進行分析后，可以得到如圖1-5所示框架結構。按照題目所給條件將決策變量、目標函數和約束條件用數學符號及公式表示出來，就可以得到相應的數學模型。

模型假設

1.每種原料油的進價與進貨量無關，最終成品油的售價與產量無關，且生產的成品油均可售出。

2.最終產品的硬度值是各種原料油硬度值的線性組合，且在精煉過程中沒有重量損失。

3.每種原料油的采購噸數可以是任意非負實數。

模型設計

按照優化模型的三要素（決策變量、目標函數、約束條件）建立數學模型。設每月采購五種原料油(VEG1、VEG2、OIL1、OIL2、OIL3)的噸數分別為xm(m=1,2,3,4,5)，那么，購買各類原料油的成本可表示為c=110x1+120x2+130x3+110x4+115x5。由于精煉過程中重量沒有損失，成品油重量可表達為。假設精煉的成品油均可售出，利潤可表達為。因此，利潤最大化的目標函數可以表示如下：

確立目標函數后，決策變量取值受到原料油精煉能力、成品油硬度要求、決策變量屬性的限制。

? 原料油精煉能力的限制：每月能夠精煉的植物油不超過200噸，每月能夠精煉的非植物油不超過250噸。

? 成品油硬度要求的限制：最終產品硬度必須為3.0～6.0；而最終產品的硬度值是各種原料油硬度值的線性組合。因此，此約束條件可以表達如下：

? 決策變量屬性的限制：xm均不能為負值，即xm≥0,m=1,2,…,5。

綜上所述，所建立的食用油加工優化模型如下：

模型求解

在LINGO軟件中輸入如下代碼求解上述線性規劃模型：

運行如上程序，顯示求解狀態如圖1-6所示。

圖1-6顯示：模型類型屬于LP（線性規劃模型），目標函數值的狀態為Global Opt（全局最優解），目標函數最優值為17592.6，迭代次數為3次。模型運算的具體結果將顯示在Solution Report如下：

模型運算的結果顯示：當x1=159.2593,x2=40.74074,x4=250時，目標函數取得最大值17592.59，即采購植物油VEG1 159.2593噸、植物油VEG2 40.74074噸、非植物油OIL2 250噸，能夠獲得最大收益17592.59元。

為便于調用MATLAB軟件求解上述線性規劃模型，需將食用油加工問題的線性規劃模型寫成矩陣形式如下：

其中，A=[40 30 20 40 35]T,X=[x1x2x3x4x5]T，

然后，調用函數linprog求解線性規劃模型。注意，函數linprog可用于求解目標函數最小化的線性規劃模型。因此，當求目標函數最大化時，可采用取相反數的方式將最大化問題轉化為最小化問題。代碼如下所示：

運行上述程序，可以得到具體結果顯示如下：

模型運算的結果顯示：當x1=159.2593,x2=40.7407,x4=250時，目標函數取得最小值-17592.59，即原目標函數取得最大值17592.59。所得優化模型的決策變量與目標函數值和LINGO軟件得到的結果相同。

采用MATLAB軟件Optimizationtool工具箱求解上述線性規劃模型時，模型結果顯示如圖1-7。

如果采用Python求解上述線性規劃模型，程序如下所示：

運行上述程序，可得到具體結果顯示如下：

模型運算結果顯示：當x1=159.25926,x2=40.74074,x4=250時，目標函數取得最小值-17592.59，即原目標函數取得最大值17592.59，所得優化模型的決策變量與目標函數值與LINGO軟件、MATLAB軟件得到的結果相同。