1.5　貨物運送的線性規劃模型案例

一架貨機有3個貨艙：前艙、中艙和后艙。3個貨艙所能裝載的貨物最大重量和體積的限制如表1-4所示。

為在飛行過程中保持平衡，3個貨艙裝載的貨物必須與其最大的容量成比例。

現有4類貨物需要用該貨機進行裝運，貨物的規格以及裝運后所獲得的利潤如表1-5所示。

建立數學模型計算如何裝運才能使得貨機飛行利潤最大。

問題分析

這個優化問題的目標是使得貨機飛行獲利最大，而要做的決策為裝運方案，即在前艙、中艙、后艙分別裝運4類貨物的重量。決策變量取值需要受到4個條件的限制：貨艙重量、貨艙體積、飛行平衡、運送貨物總量。按照題目所給條件將決策變量、目標函數和約束條件用數學符號及公式表示出來，就可以得到相應的數學模型。

模型假設

1.每種貨物可以分布在一個或者多個貨艙內；

2.不同種類的貨物可以放在同一貨艙且不留間隙；

3.每種貨物可以無限細分，即貨物在各艙內的存儲量為非負連續實數。

模型設計

按照優化模型的三要素（決策變量、目標函數、約束條件）建立數學模型。設在前艙放置4類貨物的數量為x11,x12,x13,x14；在中艙放置4類貨物的數量為x21,x22,x23,x24；在后艙放置4類貨物的數量為x31,x32,x33,x34。因此，貨物1的重量可表示為，貨物2的重量可表示為，貨物3的重量可表示為，貨物4的重量可表示為。設飛行裝運獲利為z元，優化模型的目標函數如下：

在確立目標函數后，決策變量取值受到貨艙重量、貨艙體積、飛行平衡、運送貨物總量以及決策變量屬性的限制。

? 貨艙重量的限制：前艙、中艙、后艙裝載的貨物重量不得超過貨艙重量上限。

? 貨艙空間的限制：前艙、中艙、后艙裝載的貨物空間不得超過貨艙空間上限。

? 飛行平穩性的限制：為在飛行過程中保持平衡，3個貨艙裝載的貨物必須與其最大的容量成比例。

? 貨物總量的限制：裝載的貨物總重量不得超過運送貨物總重量。

? 決策變量屬性的限制：xmn均不能為負值，即xmn≥0,m=1,2,3;n=1,2,3,4。

綜上所述，所建立貨機運輸問題的優化模型如下：

模型求解

在LINGO軟件中輸入如下代碼求解上述線性規劃模型：

運行如上程序，將顯示求解狀態如圖1-8所示。

圖1-8顯示：模型類型屬于LP（線性規劃模型），目標函數值的狀態為Global Opt（全局最優解），目標函數最優值為121516，迭代次數為20次。模型運算的具體結果顯示在Solution Report如下：

模型運算的結果如表1-6所示。在前艙存儲10噸貨物2，在中艙存儲約12.95噸貨物3和約3.05噸貨物4，在后艙存儲5噸貨物2和3噸貨物3。采用上述運輸策略可以獲得最大利潤為121515.8元。

為便于調用MATLAB軟件求解上述線性規劃模型時，需將貨物運輸的線性規劃模型寫成矩陣形式如下：

由于本題涉及變量矩陣較大，為節省篇幅直接給出調用linprog命令解決問題的MATLAB代碼。

注意　與LINGO代碼不同，當采用MATLAB求解線性規劃模型時，軟件并不默認決策變量非負性。因此，在代碼中需要添加決策變量的非負要求，即增加決策變量的取值下限。

運行上述程序，具體結果顯示如下：

模型運算的結果如表1-7所示。在前艙存儲7噸貨物2和3噸貨物3，在中艙存儲約12.95噸貨物3和約3.05噸貨物4，在后艙存儲8噸貨物2。采用上述運輸策略可以獲得最大利潤為121515.8元。

采用MATLAB軟件Optimizationtool工具箱求解上述線性規劃模型時模型結果顯示如圖1-9。

最后，我們來了解Python求解上述線性規劃模型的方法，其程序如下：

具體結果顯示如下：

模型運算的結果如表1-8所示。在前艙存儲7噸貨物2和3噸貨物3，在中艙存儲約12.95噸貨物3和約3.05噸貨物4，在后艙存儲8噸貨物2。采用上述運輸策略可以獲得最大利潤為121515.8元。

對比MATLAB軟件、Python軟件與LINGO軟件得到的結果，細心的讀者可以發現雖然不同軟件得到的目標函數值相同，但是決策方案并不相同。這說明線性規劃模型中可能存在多種決策方案達到最優值，但最優目標值往往只有一個。讀者在自行驗證上述程序時可以發現，不同版本的MATLAB軟件、Python軟件由于精度不同、迭代初始值不同在最終結果輸出時可能會有細微差別。