博雷爾定律：概率足夠小的事件不會發生

埃米爾·博雷爾（Emile Borel）是法國著名數學家，生于1871年。他是概率論（所謂的測度理論）的先驅，一些數學研究對象和概念都以他的名字命名，如博雷爾測度、博雷爾集、博雷爾-坎泰利引理（Borel-Cantelli lemma）和海涅-博雷爾定理（Heine-Borel theorem）等。1943年，他撰寫了一本概率論科普書，書名為《概率與日常生活》（Les probabilites et la vie），后被譯為英文出版。他在這本書里介紹了概率的一些性質和應用，還介紹了單一機會定理，即現在所稱的博雷爾定律（Borel’ s Law）。該定律說：“概率足夠小的事件永遠不會發生。”

顯然，非概率原理與博雷爾定律是相互矛盾的。非概率原理認為，小概率事件會發生，而博雷爾定律認為，小概率事件不會發生。這該如何解釋呢？

看到博雷爾定律時，你的第一反應很可能和我的一樣：這肯定是在胡說八道。你可能會認為（我也是如此）小概率事件當然會發生，只是發生得不那么頻繁罷了。這正是概率的意義所在，尤其是小概率。但是，當我深入研讀博雷爾的著作時，我才發現他筆下的概率有更加微妙的含義。

為了闡明自己的觀點，博雷爾舉了一個經典的例子：猴子隨意敲擊打字機1的鍵盤，碰巧創作出了莎士比亞全集。他寫道：“盡管這類事件發生的可能性無法得到合理的論證，但由于其發生的概率極小，以至于任何理智的人都會毫不猶豫地認為它是不可能發生的。當有人聲稱看到了這類事件發生時，我們也會認為他是在欺騙我們，或者他自己受到了欺騙?！?/p>

可以看出，博雷爾是從人類角度考慮“極小概率”的，他的意思是：從人類的角度來看，事件發生的概率極小，以至于認為它發生是不合理的，因此應該把這類事件視為不可能發生的事件。事實上，在闡述了單一機會定理（即概率極小的事件永遠不會發生，博雷爾本人是這樣解釋的）后，他補充說：“或者，至少在所有情況下，我們的行為方式都表明，這樣的事件不可能發生?！?/p>

他進一步指出：“對于每一個居住在巴黎的人來說，每一天在外奔波時死于交通事故的概率大約是百萬分之一。如果一個人為了避免如此低的風險而放棄了所有的外出活動，大門不出二門不邁，或者讓家人這么做的話，他會被視為瘋子?！?/p>

其他思想家也表達過類似的觀點。例如，17世紀60年代，讓·達朗貝爾（Jean d’Alembert）曾提出過這一問題：經過長期觀察后，我們能否發現事件發生和不發生的概率相等？在博雷爾提出單一機會定理一個世紀之前，即1843年，安東尼-奧古斯丁·古諾（Antoine-Augustin Cournot）在其所著的《機會與概率的理論解釋》（Exposition de la theorie des Opportunities et des Probabilities）一書中討論了理想圓錐體以其頂點做倒立平衡的實際概率和理論概率。與“理論上的確定性”（physical certainty）相對應的“實際的確定性”（practical certainty）就此與古諾聯系在了一起。“概率很小的事件不會發生是一種實際的確定性”，這一觀點有時被稱為古諾法則。后來，在20世紀30年代，哲學家卡爾·波普爾（Karl Popper）在《科學發現的邏輯》（the Logic of Scientific Discovery）一書中寫道：“必須忽視極度的不可能性……這一規則符合科學客觀性的要求?！?/p>

鑒于其他著名的思想家也表達過類似的觀點，我們可能會提出這一問題：為什么這一觀點是以博雷爾的名字命名。答案可能就在于斯蒂格勒（Stigler）所說的命名定律（law of eponymy）。根據這一定律，“沒有一條科學定律是以其最初的發現者命名的”。他還補充說：“包括這條?！?/p>

博雷爾定律與我們在幾何課上所學的點、線和面有相似之處。我們知道，它們都是抽象的數學概念，在現實世界中并不存在，我們為了便于思考和了解真實的世界而簡化了它們。同理，盡管小概率事件發生的概率實際上不為零，但我們對待它們就好像它們發生的概率為零一樣，因為在實際的環境中，概率足夠小的事件永遠不會發生。這就是博雷爾定律的含義。

博雷爾還寫道：“我們必須了解這一點：單一機會定理除了具有數學確定性外還具有另一種確定性，這種確定性就跟我們接受一個歷史人物、一個位于對跖點的城市、路易十四或墨爾本的存在一樣；它甚至可以與我們認為外部世界存在的確定性相媲美?！?/p>

博雷爾接著給出了一些確認事件永不發生的“足夠小”的概率尺度，下面列出的就是他給出的尺度標準（稍有修改）。為便于理解，我針對每種標準舉了相應的例子。

從人類的角度來看，可忽略不計的概率值約小于百萬分之一。打撲克牌時出現同花順的概率約為1/650000，幾乎是百萬分之一的兩倍。一年有3000多萬秒，因此，按博雷爾的這個尺度來計算，我和你在同一秒鐘內選擇做同一件事情的概率可被忽略不計。

從地球的角度來看，可忽略不計的概率值小于1/1015（不了解這個數學符號含義的讀者可參閱附錄1）。地球的表面積約為5.5×1015平方英尺（約4.95×1014平方米），因此，你和我隨機選中同一平方英尺地塊（忽略掉一些細節問題，例如有許多平方英尺的地塊位于海洋中）的概率幾乎可以忽略不計。玩橋牌時，一名玩家獲得同一花色所有橋牌的概率約為1/（4×1010），遠高于從地球的角度來看可以忽略不計的概率值。

從宇宙的角度來看，可忽略不計的概率值小于1/1050。地球大約由1050個原子組成，因此你和我從整個地球中各自選中同一個原子的可能性微乎其微。更何況，整個宇宙中“只”有1023顆恒星。

從超宇宙的角度來看，可忽略不計的概率值小于1/101000000000。由于宇宙中亞原子重子粒子的數量估計為1080個，我很難舉出概率如此小的恰當例子。

參考博雷爾提出的概率尺度，我們就知道了什么時候應該把某些事件視為不可能發生的事件。但非概率原理告訴我們，不大可能發生的事件，甚至是博雷爾所描述的那種幾乎不可能發生的事件，仍在持續發生著。也就是說，這樣的事件不僅有可能發生，而且還會一而再再而三地發生。當然，這兩個法則不可能都是對的：要么這些事件不大可能發生，以至于我們永遠看不到它們發生；要么它們很有可能發生，以至于我們一次又一次地看到它們發生。

我們可以通過層層分析不可能性的含義來解決這一明顯的矛盾。我們可以把非概率原理視為一顆洋蔥，把它不同的組成部分視作洋蔥的各層表皮，每剝開一層，其含義就更明晰一分。非概率原理的不同組成部分，包括必然法則（the law of inevitability）、巨數法則（the law of truly large numbers）、夠近法則（the law of near enough）、選擇法則（the law of selection）和概率杠桿法則（the law of probability lever），都闡明了博雷爾定律和非概率原理如何同時發揮效力。

非概率原理的某些組成部分影響深遠，另一些則不然。例如，在確認疾病集中爆發是污染物引起的還是只是偶然因素導致的時，巨數法則發揮了至關重要的作用。接下來要說的這個例子與朝鮮前領導人金正日有關，從表面上看它不大可能發生，但它卻實實在在地發生了，你會覺得很不可思議。2011年12月19日，《美國新聞與世界報道》（U.S. News & World Report）稱：“1994年，金正日第一次打高爾夫球時就征服了約6400米的平壤高爾夫球場：他打出了令人難以置信的成績——低于標準桿38桿，在朝鮮這座唯一的高爾夫球場上，他最差的成績是小鳥球。在現場17名保鏢的見證下，他打出了11個一桿進洞球?！?/p>

看到這個例子時你是什么反應呢？正如我所說，非概率原理的某些部分簡單易懂，但另一些部分卻深刻玄奧，需要我們費一番功夫進行探究。

1 一種早期的機械文字處理器，其鍵盤與金屬小錘相連接，敲擊鍵盤時，小錘子會擊打浸了墨水的色帶，從而在紙上留下字母印記。