怎樣用數(shù)表幾何量

我們已經(jīng)談過：要用數(shù)來表幾何量的大小，必先定一單位，看這幾何量是單位量的多少倍，這倍數(shù)就是這幾何量的測(cè)度。例如在下圖中，假定△ABC的∠C是直角，∠B是∠A的兩倍，那么根據(jù)定理：“直角三角形的一銳角是另一銳角的2倍時(shí)，斜邊一定是短的直角邊的2倍”，知道定α邊的長為單位時(shí)——就是α邊的測(cè)度為1，c邊的測(cè)度一定是2。

但是，如果我們改定c邊的長為單位，那么α邊的測(cè)度就是1/2。可見量的大小雖一定，但它的測(cè)度卻跟著單位而有不同，所以測(cè)度的數(shù)并不是絕對(duì)的。

在上舉的實(shí)例中，c恰是α的整數(shù)倍——2倍，我們稱c是α的倍量；掉過來說，α是c的約量。又設(shè)d是α的半分，那么α是d的倍量——2倍，c也是d的倍量——4倍，這d叫做是α和c的公約量（或公度）。

α和c既有公約量d，我們用d的長來量α，經(jīng)兩次而量盡；用d來量c，經(jīng)4次而量盡。像這樣，兩個(gè)量能同時(shí)被它們的公約量所“量盡”，實(shí)際和算術(shù)里的兩個(gè)數(shù)能同時(shí)被它們的公約數(shù)所“除盡”一樣。這種有公約量的兩個(gè)量，叫做可通約量（或可公度）。

兩個(gè)量要有什么條件，才是可通約量呢？這一個(gè)問題很簡(jiǎn)單，可用下舉的兩例來說明：

〔例一〕有一長一短的兩條線段，長的是1尺6寸，短的是2分，當(dāng)用尺做單位，或寸做單位時(shí)，雖不能同時(shí)量盡，但用分做單位時(shí)。量長線段得160次，量短線段得2次，都可以量盡，這1分的長就是兩線段的公約量。

〔例二〕同上，長線段是1寸，短線段是2/3寸，因?yàn)?/3可化成小數(shù)0.666……是永無窮盡的循環(huán)小數(shù)，所以無論用寸做單位，分做單位，厘或毫……做單位，都不能同時(shí)量盡。那么這兩條線段是不是沒有公約量呢？不，我們?nèi)粲?/3寸做單位，量長線段得3次，量短線段得2次，全都量盡，可見它們有公約量1/3寸。

考查這兩個(gè)例子中的每?jī)蓚€(gè)數(shù)，知道160/2=80，是一個(gè)整數(shù)?/3=3/2，是一個(gè)分?jǐn)?shù)，這整數(shù)和分?jǐn)?shù)總稱做有理數(shù)，可見兩個(gè)幾何量的比是有理數(shù)的，它們一定是可通約量。

那么是不是任何兩個(gè)幾何量都是可通約量呢？要解決這一個(gè)問題，可參閱下面的例子：

設(shè)前圖中的α邊是單位長，測(cè)度是1，那么c邊的測(cè)度是2，根據(jù)商高定理，得

這√3是一個(gè)記號(hào)，表示把整數(shù)3開平方，我們用算術(shù)的開平方法，計(jì)算得1.7321…，它的小數(shù)位數(shù)多到無窮，也不會(huì)循環(huán)。這樣的數(shù)既不是整數(shù)，又不是分?jǐn)?shù)，我們稱它做無理數(shù)，這時(shí)的長線段b是1.7321…寸，短線段α是1寸，我們無論用寸、用分、用厘，以至用極小極小的單位去量，都不能同時(shí)量盡；再用幾分之幾寸，幾分之幾分……去量，也是一樣。因而這兩個(gè)幾何量就沒有公約量。

可見兩個(gè)幾何量的比是無理數(shù)——像上例中的b/α=√3/1=√3，一定沒有公約量，可稱做不可通約量（或不可公度）。

再假定拿前圖中的b邊作為單位長，從商高定理，得

(2α)2=α2+1，就是3α2=1。

解得α=?√3，c=?√3。

可見表某一幾何量的數(shù)是不是有理數(shù)，也不是絕對(duì)的。同一幾何量，因所用單位的不同，可能是有理數(shù)，也可能是無理數(shù)。雖然如此，但任何兩個(gè)幾何量的比，不論所用的單位怎樣，總是一定的?？聪旅娴囊粋€(gè)表就可以明白。

把上述的各點(diǎn)總結(jié)一下，我們知道：

（1）表幾何量的數(shù)——就是測(cè)度——是跟著單位而不同的。

（2）表幾何量的數(shù)，有時(shí)是有理數(shù)，有時(shí)是無理數(shù)。

（3）兩個(gè)幾何量的比是有理數(shù)的，必有公約量，它們是可通約量。

（4）兩個(gè)幾何量的比是無理數(shù)的，沒有公約量，它們是不可通約量。