百錢買百雞

孫子以后，大約在公元五百年相近（南北朝時候），中國又出了一位杰出的數(shù)學家，名字叫做張邱建。他著了一部算書流傳下來，就是著名的《張邱建算經(jīng)》。在這一部算書里，不但有兩種東西的混合題（即雞兔類問題），并且推廣而成三種東西的混合題。

《張邱建算經(jīng)》中的最后一個問題，大意是這樣：

“公雞每只值五文錢，母雞每只值三文錢，小雞每三只值一文錢。現(xiàn)在買三種雞共一百只，恰巧用掉一百文，問三種雞各買幾只？”

我們拿和尚吃饅頭問題來跟這一個題目比較一下，似乎只要添了一種和尚，即每人吃五個饅頭的老和尚，那就會跟這個百錢買百雞的題目完全類似。可是，研究到它的解法；卻使我們感到無從下手。以前我們解兩種東西的混合題，雖然有好幾種方法；但是用它們來解三種東西的混合題，那就行不通了。

最奇怪的，兩種東西的混合題都只有一種答案，而三種東西的混合題卻往往不止一種答案。《張邱建算經(jīng)》中就載著這一個百雞問題的三種答案。

第一種答案　 公雞4只，母雞18只，小雞78只

第二種答案　 公雞8只，母雞11只，小雞81只

第三種答案　 公雞12只，母雞4只，小雞84只

我們驗算一下，這三種答案全對，它們的三種雞的總數(shù)都是一百只，總價都是一百文錢。

照這樣看來，百雞問題跟雞兔問題實在是不一樣的。

那么這百雞問題究竟怎樣解呢？我們翻開《張邱建算經(jīng)》，看到這題目的后面記著一段解法，但是只有如下的十七個字：

“雞翁每增四，雞母每減七，雞雛每益三，即得。”

這幾個字對我們有什么幫助呢？仔細研究一下，知道它只告訴我們三種答案間的相互關系。就公雞說，第一種答案是4只；第二種是8只，比前一種多4只；第三種是12只，又比前一種多4只，所以說“雞翁每增四”。就母雞說，第一種答案是18只，以下的答案順次減少7只，所以說“雞母每減七”。同樣為了小雞在三種答案中順次增多3只，所以說“雞雛每益三”。

從此可見，如果我們知道了第一種答案，就可用增四、減七、增三的方法求得第二種答案，并可繼續(xù)用同法求得第三種答案。那么第一種答案是用什么方法求出來的呢？原書中沒有交代，我們現(xiàn)在也只能暫且擱起不談。

我們把四、七、三稱做“增減率”，先來研究一下，為什么在第一種答案上用四、七、三增減后可得第二種答案，繼續(xù)又可得第三種答案？這理由很簡單：第一，因為增加的公雞和小雞共計是4只+3只=7只，而減少的母雞也是7只，所以原來三種雞共100只，增減后仍舊是100只，第二，因增加的4只公雞和3只小雞共值錢5文×4+?文×3=21文，而減少的7只母雞也值錢3文×7=21文，所以原來三種雞共值錢100文，增減后仍值錢100文。

從這一個研究，我們知道不單是有了第一種答案可以用增四、減七、增三的方法求得后面的兩種答案，而且相反地，也可以由第三種答案用減四、增七、減三的方法求得前面的兩種答案。但是這樣一來，我們會問：那未第三種答案是怎樣求出來的呢？倒來倒去，問題還是得不到解決。

到這里；我們可能這樣想：既然用增減率可以由一種答案增減而得別種答案，那么能不能繼續(xù)增減而得第四種答案呢？這很容易解決，只要用增減率來一試驗就可以知道，現(xiàn)在先把第三種答案增減如下：

公雞12+4=16，母雞4-7=-3，小雞84+3=87

因為雞數(shù)不能是負數(shù)，所以這一組數(shù)不適用。若繼續(xù)進行，母雞的只數(shù)永遠不會成正數(shù)。

再用相反的方法把第一種答案增減，得

公雞4-4=0，母雞18+7=25，小雞78-3=75

因為不能沒有公雞，所以這一組數(shù)也不適用。若繼續(xù)進行，公雞的只數(shù)又要成負數(shù)了。于是知道這問題決不會有第四種答案。

這一步研究粗看好像是多余的，但實際卻在無意間給我們找到了解決本題的重要關鍵。你有沒有注意到，在沒有公雞的時候，母雞是25只，小雞是75只？這兩個數(shù)不就是本書第一篇的那個和尚吃饅頭問題的答案嗎？對了，這問題的解法無疑是這樣的：

先假定沒有公雞，把原題改作：“有兩種雞，母雞每只值三文錢，小雞每三只值一文錢，買這兩種雞共一百只，恰巧值錢一百文，問兩種雞各買幾只？”仿照和尚吃饅頭的問題，解得母雞是25只，小雞是75只。再用增減率加減，就得

看了這一個解法；我們猜想到和尚吃饅頭問題的創(chuàng)立，可能在百雞問題之前。張邱建為了有現(xiàn)成的數(shù)字可以根據(jù)，所以只說增四、減七、增三便算完事。這和尚吃饅頭的問題，大概早已流傳在民間，到了明代才配載到書里去的吧。