第1章　狹義相對論

為了理解黑洞，我們需要學習一些相對論知識。相對論分為兩個部分：狹義相對論和廣義相對論。愛因斯坦于1905年提出了狹義相對論，主要是關于物體相對于其他物體的運動理論。他還提出，觀測者的運動狀態會影響到觀測者的空間和時間體驗。狹義相對論的核心思想可以用一種被稱為“閔可夫斯基時空”的優美幾何形式來表述。

廣義相對論在狹義相對論的基礎上加上了引力理論，它是我們真正理解黑洞所需要的理論。愛因斯坦花了10余年的時間構建廣義相對論，直至在1915年年末發表的一篇論文中，他才提出了最終的愛因斯坦場方程。這些方程描述了引力是如何將閔可夫斯基時空扭曲成彎曲時空的，比如在第3章中我們將會介紹的施瓦西黑洞時空。相較于廣義相對論，狹義相對論更簡單，這是因為狹義相對論沒有考慮引力，也就是說，引力效應被忽略了，或者說被認為太過微弱因而不會造成顯著影響。

狹義相對論提到了公式E=mc2，它將能量E、質量m和光速c聯系在一起。在所有人心目中，它或許是物理學中最著名的方程之一。這個公式使我們能夠預見核武器令人震懾的強大威力，還寄托著我們開發核聚變清潔能源的希望，雖然目前尚未實現。E=mc2也與黑洞物理學緊密相關。在我們第一次觀測到的黑洞合并事件中，有相當于三個太陽質量的能量被釋放出來，這是關于質量和能量守恒關系的最好例證。要想對這種碰撞的災難性有個直觀的概念，你可以想象一下，在核武器（假設當量為400千噸）爆炸中轉化為能量的質量只有19克。

狹義相對論與詹姆斯·克拉克·麥克斯韋的電磁理論密切相關。事實上，早在19世紀后期，有關相對論時空觀的早期暗示就以“洛倫茲變換”的形式出現了。洛倫茲變換解釋了觀測者感知的電磁現象是如何隨觀測者的運動而改變的。光是一種最常見的電磁現象，它是電場和磁場的“行波”（traveling wave）。麥克斯韋理論的結論之一是，光具有確定的速度。相對論就建立在光速是一個常數的基礎之上，而與觀測者的運動無關。

狹義相對論用參照系來描述觀測者的運動。要想知道什么是參照系，你可以想象一列滿載著乘客和行李的高速運動的火車。火車上的一切相對于火車都是靜止的，但火車相對于地球跑得很快。假設火車正沿著一條直線以恒定的速度運動。為了完整準確地給出參照系的解釋，我們應該設定不存在任何顯著的引力場。比如，我們不再考慮在地球表面勻速行駛的火車，而是想象在真空中以恒定的速度飛行的宇宙飛船。在這種情況下，地球的引力場足夠弱，以至于我們可以忽略它對火車的影響，只用狹義相對論即可，而不需要引入廣義相對論。

如果不往車窗外面看，我們很難知道火車開得有多快。特別是在火車運行得非常平穩、軌道非常平坦、百葉窗全都合上的情況下，我們不可能知道火車正在運動。火車提供了一個參照系，乘客可以自然地運用它來判斷火車內部的東西是否在運動。雖然他們無法判斷（在上文描述的理想情況下）整列火車是否在運動，但他們肯定知道有人走過過道，因為這個人相對于他們的參照系在運動。此外，無論火車是否真的在運動，所有物理現象，比如掉落的球或旋轉的陀螺，在火車上的觀測者看來都表現得與火車靜止時一樣。簡言之，參照系是一種觀察空間和時間的方式，它與一個或一組處于勻速運動狀態的觀測者相關。勻速運動意味著火車不會加速、減速或轉向，因為如果火車正在加速運動，乘客將會感到他們被推回座位上；如果火車正在減速運動，乘客將會感到他們被甩向前方。

現在，我們想象火車在經過一個車站時既沒有加速也沒有減速的情況。火車上的三位乘客艾麗絲、阿倫和艾弗里，是正在運動的A參照系中的觀測者。與此同時，他們的朋友鮑勃、貝特西和比爾正站在站臺上，我們把這樣的一個靜止參照系稱為B參照系。為了畫出這些參照系，我們把B參照系的位置作為水平軸，把B參照系的時間作為垂直軸，并標示出不同的觀測者在時空中的軌跡。隨著時間的推移，B參照系的觀測者總是待在固定的位置上，而A參照系中的觀測者則向前運動了（見圖1-1）。這個示意圖實際上就是閔可夫斯基時空，時空一詞意指我們將時間與空間展現在同一幅圖中。我們也可以從一個不同的視角去看閔可夫斯基時空，即A參照系中的觀測者相對靜止而B參照系中的觀測者向后運動。我們稍后再談這個視角。

狹義相對論成立的前提是光速恒定，也就是說，火車上的觀測者和站臺上的觀測者測量到的光速是一致的。否則，觀測者就可以通過測量光速來判斷自己到底處于哪一個參照系。但是，相對論的一個核心原則是：在任何參照系中，物理效應都應該是一樣的。這樣一來，你就不能從任何物理測量中分辨出你處于哪個參照系。根據這個原則，我們不能說“在這個參照系內的物體是靜止的，在其他參照系中的物體則是運動的”，而只能說“任何參照系都是一樣的。我們唯一能認同的關于運動的觀點，就是一個觀測者相對于另一個觀測者的運動”。換句話說，運動狀態不是絕對的，而是相對的。因此，“A參照系在運動，而B參照系為靜止的”的說法不恰當。我們只能說，它們處于相對運動狀態（盡管B參照系是靜止的觀點看上去很自然，因為我們總是考慮相對于地球的運動）。

我們關于相對運動的解釋似乎符合常識，接下來我們應該問自己，如何從中得到關于時間和空間的本質問題的線索。問題的關鍵在于麥克斯韋的電磁理論。這個理論告訴我們（當然不止這些），如果火車上的艾麗絲掏出一支激光筆，朝著火車的運行方向發射一個光脈沖，與此同時，站臺上的鮑勃也朝同一方向發射一個光脈沖，那么這兩個光脈沖將以相同的速度向前傳播。這似乎也是一個無傷大雅的說法，但事實并沒有這么簡單！如果我們讓火車以99%的光速行駛（這顯然不是美國的火車），那么鮑勃豈不是會測量到艾麗絲發射的光脈沖速度幾乎是光速的兩倍？畢竟，艾麗絲相對于鮑勃以99%的光速向前運動，她發射的光脈沖又相對于她以光速向前傳播，因此鮑勃似乎會測量到她發射的光脈沖以199%的光速前進。但根據電磁理論，這又是不可能的！事實上，鮑勃會測量到光脈沖相對于他的運動速度，與艾麗絲測量到的光脈沖相對于她的速度相等，正好都是光速。

這怎么可能呢？原因在于，艾麗絲和鮑勃測量時間流逝的方式不同，他們測量長度的方式也不一樣。其中的細節就隱藏在洛倫茲變換的數學表達式中，洛倫茲變換能將A參照系中的時間和長度轉換成B參照系中的時間和長度。閔可夫斯基時空中的洛倫茲變換可以很容易地用圖表示出來。在洛倫茲變換前（見圖1-1的左圖），我們可將B參照系視為靜止的，將A參照系視為運動的。而在洛倫茲變換后（見圖1-1的右圖），A參照系是靜止的，而B參照系是向后運動的！洛倫茲變換僅僅是觀察視角的變化：一個是鮑勃將他的參照系看作靜止的視角，另一個是艾麗絲將她的參照系看作靜止的視角。

洛倫茲變換的主要結論包括時間延緩和長度收縮。我們先解釋時間延緩，因為它更容易描述。假設在一個星期五的中午，你要從美國新澤西州的普林斯頓站上火車。為方便起見，我們將這個時間和地點對應于閔可夫斯基時空的原點，即t軸和x軸的交叉點。經過普林斯頓火車站的有快車和慢車，快車向北去往紐約，慢車向南去往費城，你可以自行決定搭乘哪一列。你要做的事情是，看表計時，坐恰好一個小時的火車，然后下車標記你所在的位置。很明顯，如果你乘坐的是快車，就會走得更遠。要知道，當你乘坐的火車速度是原來的兩倍時，你走過的路程也將是原來的兩倍。事情的微妙之處就在于，搭乘火車的一個小時是你用自己的表度量的，而火車的速度是由相對于地面靜止的觀測者測量的，他們的表記錄下的時間會和你的表有差異，因為他們與你處在不同的參照系中。

那么，你一個小時后會抵達哪里？或者說，如果你和你的一群朋友分別乘坐不同的火車（同時離開普林斯頓站），你們一個小時后將到達何處？答案是，你們都會處于閔可夫斯基時空中的雙曲線上（見圖1-2）。換句話說，雙曲線是一個小時后所有可能抵達位置的集合。其中一個可能的位置是下午1點的普林斯頓站，如果你在一輛靜止的火車上坐一個小時，你就會“到達”時空中的這個點。在這樣的情況下，你到達這個點的時間自然是下午1點，因為你的參照系與普林斯頓站的參照系相同，你的表和車站的時間也一致。但如果你登上了一列去往其他地方的火車，你的表就會比車站的時間走得慢，當你結束了一個小時的旅途時，到達車站的實際時間會比你以為的要晚，這種效應就是時間延緩，在閔可夫斯基時空中以雙曲線的形式表示。當你離出發地點越來越遠時，雙曲線也會越來越向時間軸的上方彎曲。[1]所以，閔可夫斯基時空有時也被稱為雙曲幾何。

在閔可夫斯基時空中，我們用與時間軸的夾角正好為45度的斜線表示光的恒定速度。你會發現，由一個小時旅程的所有可能的終點構成的雙曲線，完全位于從原點發出的兩束光線圍成的時空區域內。由此可見，在閔可夫斯基時空中，沒有火車能比光跑得快。

看起來我們對時間延緩的討論好像與洛倫茲變換沒有多大關聯。為了展示它們之間的關聯，我們將火車的參照系設為A，將地球的參照系設為B。假如艾麗絲每天在A參照系中花一個小時從普林斯頓站乘火車去往紐約，與此同時，鮑勃和他的朋友們仍然相對地面靜止，他們該如何知曉艾麗絲的抵達時間？打電話不太有效，因為艾麗絲的電話信號只能以光速傳播，鮑勃和他的朋友們必須根據他們接到她的電話的時間、信號的速度和到紐約的距離計算艾麗絲的抵達時間，這實際太復雜了。所以，鮑勃想出了一個更好的辦法，他和他的一個朋友（比如比爾）同步了他們的手表時間。鮑勃和比爾分別在普林斯頓火車站和紐約火車站工作，鮑勃負責測量艾麗絲離開的時間，比爾負責測量艾麗絲的抵達時間。這樣一來，就不需要打電話了。在遙遠的觀測者之間精確地同步手表時間似乎有些不易，但有一個很好的辦法是，在艾麗絲登上火車之前，鮑勃和比爾都來到普林斯頓火車站和紐約火車站的中點位置，同步他們的手表時間，然后兩人再以相同的速度回到各自的車站。

在以上關于艾麗絲旅途的敘述中，A參照系顯然是特殊的，因為艾麗絲不需要任何朋友的幫助就可以測量她的整個旅程的時間，而鮑勃和比爾必須合作才能完成這項工作。艾麗絲測量的時間間隔被稱為“固有時”（proper time），因為艾麗絲在她的參照系（A參照系）中一直處于固定的位置，而鮑勃和比爾測量的時間間隔（B參照系）總是大于固有時。時間延緩是A參照系與B參照系關于時空視角的關聯性的部分體現，因為A參照系和B參照系之間的洛倫茲變換包含了時間延緩和其他一些效應。

類似的討論還可以用來描述長度收縮。讓我們想象一下，鮑勃、比爾和艾麗絲不再乘火車了，而是去參加奧運會。艾麗絲希望自己能在撐竿跳高比賽中創造新的紀錄，她的制勝秘訣是跑得非常快，速度可以達到光速的87%。（出于某種原因，她還是把100米短跑比賽的冠軍頭銜讓給了博爾特，盡管她認為自己可以憑借少于0.4微秒的時間創造該比賽項目的世界紀錄。）艾麗絲選擇了一根6米長的竿，雖然這比大多數撐竿跳高運動員用的竿都長，但她畢竟是非常特殊的選手。鮑勃和比爾不相信艾麗絲的竿真有那么長，所以他們打算在艾麗絲水平地拿著她的竿沿跑道快速奔跑的過程中進行測量。顯然，這是一項困難的任務。怎樣才能完成測量呢？他們想出了一個辦法。他們先同步了手表時間，然后站在相距不到6米的地方。兩人約定在某一時刻看一眼艾麗絲，并記錄下各自看到了竿的哪一部分。經過多次嘗試，他們設法讓鮑勃看到的是竿的后端，而比爾看到的是竿的前端。然后測量兩人之間的距離，結果顯示他們相距3米，因此他們斷定艾麗絲的竿只有3米長。他們向艾麗絲說明了他們的發現，但艾麗絲反駁說他們肯定弄錯了。艾麗絲向她的兩個朋友阿倫和艾弗里尋求幫助，他們兩人都跟著她跑（顯然他們也是優秀的短跑運動員），并在她的參照系中測量竿長。結果，阿倫和艾弗里發現艾麗絲的竿確實有6米長。

A參照系在這次討論中再次凸顯了其特殊性，因為它是唯一與艾麗絲的竿保持相對靜止的參照系。在A參照系中測得的長度被稱為“固有長度”（proper length），而在B參照系中測得的長度往往會變短，這種效應被稱為“長度收縮”。時間延緩和長度收縮密切相關，我們可以繼續想象，艾麗絲離開運動場前往酒吧。在她的世界里，去酒吧需要花半個小時，同時鮑勃和比爾會用我們之前提到的，測量艾麗絲乘火車去紐約所需時間的方法測量時長。這時時間延緩涉及一個因子2，即艾麗絲的沖刺速度達到了破紀錄的87%的光速。長度收縮也涉及一個因子2，即A參照系中的觀測者說她的竿有6米長，而B參照系中的觀測者說她的竿只有3米長。總的來說，時間延緩和長度收縮總是涉及相同的因子，有時我們稱這個因子為洛倫茲因子。

到目前為止，我們關于狹義相對論的時空幾何結構的討論，似乎與公式E=mc2毫無關聯。現在，我們通過考慮E=mc2的部分推導過程嘗試建立這一聯系，其中最重要的步驟可以用幾何語言來描述。只進行部分推導的原因在于，它會涉及一些未經本書充分論證或推導的公式。

第一步，我們用一個公式來說明質量到底是什么。此處最適用的公式是p=mv，其中p是動量，v是一個質量為m的物體緩慢運動的速度。p=mv的關系可以從牛頓力學中直接得到，當v遠小于光速時，該公式是成立的。第二步，與能量建立聯系。在這里，我們要不假思索地使用另一個電磁學公式：光脈沖的動量p與它的能量E之間的關系為p=E/c。我們已經知道，光是特殊的物質，因為它在任何參照系中都以恒定的速度運動，這和有質量物體的行為方式大不一樣。在給定的參照系中，有質量物體可以靜止不動，也可以以一定的速度v運動，但由狹義相對論可知，這個速度必須始終小于光速。

現在，我們知道了一個有質量物體的動量（p=mv）和一個光脈沖的動量（p=E/c)。我們不能簡單地讓這兩個動量相等，因為有質量物體與光脈沖是不同的。我們需要做的是，尋找一個通過光脈沖構建有質量物體的動量方程的方法，然后用動量方程推導出E=mc2。

以下是我們的主要思路。我們安放兩面可以完美反射的鏡子，讓它們彼此面對面，并讓兩束完全相同的光脈沖以完全相反的方向在鏡子之間來回傳播（見圖1-3）。我們認為，這個裝置等效于一個有質量物體。假設鏡子非常輕，以至于我們可以忽略鏡子的質量和能量。這樣一來，整個裝置的能量就是單束光脈沖能量的兩倍。該裝置的動量恰好為零，因為一束光脈沖有向上的動量，另一束有向下的動量，它們相互抵消了。所以，系統整體并沒有向上或向下的動量，只是其中一部分在運動。

為了推導出E=mc2，我們需要讓這個奇妙的裝置整體動起來。我們將通過跟蹤其中一個光脈沖來簡化這個問題，因為如果我們同時跟蹤兩個光脈沖，就會得到雙倍的能量和雙倍的質量。而且，只跟蹤一個光脈沖能夠簡化我們關于裝置相對于光脈沖是向上還是向下運動的討論。一旦裝置開始運動，光脈沖就不再只是上下傳播，它還會有向左或向右的運動。這就需要用到幾何學知識了，光脈沖的橫向運動速度是v，縱向運動速度是c（實際上，它的縱向運動速度會略小于c，因為光脈沖的總速度是c。但在我們需要的精度下，可以忽略這個細節）。另一種表達方式是，光脈沖有v/c的運動屬于橫向運動。所以我們有理由認為，橫向動量p橫向就是v/c乘以它的總動量p=E/c，即p橫向=Ev/c2。我們現在認為p橫向=mv是合理的，因為p橫向是裝置總動量的橫向分量。如果將兩種p橫向的形式結合起來，就會得到方程Ev/c2=mv，化簡后可得E=mc2！

有人可能會反對說，這個用光和鏡子組成的裝置，和我們日常生活中的物體可不一樣。然而，這種說法并不完全正確。質子和中子構成了絕大多數日常物質的質量，可以近似地認為它們是很小的時空區域，三個幾乎無質量的夸克以接近光的速度在其中四處反彈。如果這是事實，質子的質量將完全來自其組成成分夸克的運動，就像光和鏡子的整體質量來自光脈沖一樣。但事實并沒有這么簡單：夸克之間有強烈的相互作用，這些相互作用為質子的總能量和總質量做出了顯著的貢獻。盡管如此，大多數日常物質的質量來源還是與我們的光鏡分析更相關，而與物質基本成分的固有質量關系不大。

我們越深入地研究狹義相對論，就會越清晰地看到，麥克斯韋的電磁理論是它的重要前導，不僅如此，麥克斯韋電磁學在許多方面也是廣義相對論的前導。現在讓我們簡述一下令人驚嘆的麥克斯韋電磁理論，作為本章的結尾。

在電磁學得到適當的發展之前，人們所理解的正、負電荷之間的吸引力，就如同牛頓理解的地球和太陽之間的引力一樣。簡言之，他們都沒有真正理解其中的原理。牛頓自知這一點，他表達過希望理解萬有引力起源的訴求：“我還沒有從實驗中發現產生重力這些特性的原因，但我預想不需要任何假設。”當然，牛頓建立了一個非常強大的定律，對引力的強度做出了定量描述，即引力與引力體之間的距離平方成反比。正、負電荷之間的吸引力也遵循類似的平方反比律。但讓他和他的眾多后繼者感到困擾的是，為何力可以跨越距離產生作用。換句話說，令他們感到奇怪的是，一個物體受到的作用力竟然是由另一個遙遠物體的存在產生的。邁克爾·法拉第解決了這個難題。根據他的想法，一個帶電物體會形成電場并對電場產生感應，電場分布在空間中，符合麥克斯韋方程組（見圖1-4）。

在法拉第的理論中，負電荷并不會直接吸引正電荷。負電荷會在其周圍產生指向自身的電場，電場又會吸引距負電荷有一定距離的正電荷，最終將正電荷拉向負電荷。同樣地，我們可以說，正電荷周圍的電場都指向背離它的方向，這種電場將負電荷拉向正電荷。而且，這兩種效應會同時發生。如果觀察對象只是電荷，我們將得出（正確的）結論：它們感受到了大小相等而方向相反的力，這種力把它們拉到了一起。而法拉第的觀點是，電力只有借助電場的作用才會產生，而與產生電場的電荷無關。

對于磁力和磁場，我們也可以得出類似的結論。在不討論細節的情況下，運動電荷形成磁場并對磁場產生感應，磁場的分布由麥克斯韋方程組表示。一個非常重要的例子是載有電流的導線周圍形成的磁場。電流其實就是導線內部微觀尺度上的電荷運動，這也符合移動電荷產生磁場的一般規律。

與電力一樣，磁力的強度也與產生磁場的運動電荷無關。為了理解這句話的意思，我們可以考慮一下麥克斯韋使用過的裝置，他正是利用這套裝置得出了最終的電磁場方程組。讓兩塊金屬板彼此平行、互不接觸，并在每塊金屬板上連接一根導線，這種裝置被稱為電容器。電流會從一塊金屬板流入，從另一塊金屬板流出。這種流動使得一塊板上的正電荷越來越多（實際上，是這塊板上的電子越來越少），另一塊板上的負電荷越來越多（電子越來越多）。隨著兩塊金屬板之間的電荷不平衡性不斷增加，電場就產生了。電場從帶正電的金屬板指向帶負電的金屬板，隨著金屬板上電荷的增多，電場的強度也不斷增大。

我們知道在載有電流的導線周圍會形成磁場，因此在向電容器輸送電流的導線周圍也會形成磁場。但兩塊金屬板之間沒有電流，有人可能會由此天真地認為這兩塊板之間不存在磁場。然而，麥克斯韋發現這與他對電容器的理解不符，并提出了一個驚人的解決方案：一個不斷增強的電場，能以和電流相同的方式產生一個環繞它的磁場。這個想法是相當重要的一步，它超越了最初的電荷產生電場的概念，讓我們意識到場也能產生場。

事實上，法拉第早就知道，一個不斷增強的磁場會產生一個環繞它的電場，這基本上就是發電機的工作原理。在麥克斯韋方程組的4個方程中，有兩個描述了電場和磁場之間相輔相成的關系；另外兩個方程更簡單，它們表明了磁場沒有源或匯，而電場唯一的源或匯是正電荷和負電荷。所有的麥克斯韋方程都是微分方程，這意味著它們描述了電場和磁場隨時間或空間的變化，并取決于在極小的時空鄰域內場的行為方式。麥克斯韋方程組中沒有超距作用，所有東西都是因為周圍場的相互作用而形成的。

麥克斯韋最大的成功在于，他的方程暗示了光的存在。正如麥克斯韋理解的那樣，光是波動的電場和磁場的組合，電場的空間變化會引發磁場的時間變化，反之亦然。麥克斯韋方程組中的物理常數描述的是電磁相互作用的強度，但當它們以正確的方式結合在一起時，便會給出光速的數值，這可以通過實驗來驗證。

在接下來的章節里，我們將了解到電磁學和廣義相對論之間的兩個關鍵聯系：它們都涉及法拉第的場概念，都用微分方程來解釋場的行為，并暗示了某種形式的輻射。在電磁輻射中，電場產生磁場，反之亦然，以自持級聯的方式穿過麥克斯韋方程組描述的時空。這種級聯過程具有一個特征波長，電場和磁場的強度會從零增至一個最大值然后減至零，再從零增至另一個最大值然后減至零。可見光是波長約為0.5微米的光，隨著波長越來越長，光就成了紅外線、微波和無線電波；而波長越來越短的光則是紫外線、X射線和伽馬射線（見圖1-5）。

愛因斯坦發現引力作用的規律和電磁作用類似，這正是廣義相對論的主要內容。愛因斯坦方程中的引力場比電場和磁場更奇怪：它們本質上就是時空彎曲。另一個出人意料的地方在于，廣義相對論可以用純粹幾何學來描述大質量物體。這一點與電磁學非常不同，電荷在整個電磁學中始終是基本元素。這些可由純粹幾何學描述的大質量物體，就是黑洞。

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[1]在從普林斯頓到紐約的旅途中，到站時間大約只比你認為的時間晚1/10^(11)秒。因此，時間延緩并不會讓你上班遲到。