預備知識　初等數學小結

微積分是以初等數學作為基礎的，學習微積分必須熟練掌握下列初等數學知識．

1．區間

全體實數與數軸上的全體點一一對應，因此不嚴格區別數與點：實數x代表數軸上點x，數軸上點x也代表實數x．

在表示數值范圍時，經常采用區間記號．已知數a與b，且a＜b，則開區間

閉區間

半開區間

上述三類區間是有窮區間，點a稱為左端點，點b稱為右端點．此外還有無窮區間：

2．冪

數學表達式ab稱為冪，其中a稱為底，b稱為指數．當指數取值為有理數時，相應冪的表達式表示為

在等號兩端皆有意義的條件下，冪恒等關系式為

3．函數的概念

定義0﹒1　已知變量x與y，當變量x任取一個屬于某個非空實數集合D的數值時，若變量y符合對應規則f的取值恒為唯一確定的實數值與之對應，則稱對應規則f表示變量y 為x的函數，記作

其中變量x稱為自變量，自變量x的取值范圍D稱為函數定義域；函數y也稱為因變量，函數y的取值范圍稱為函數值域，記作G；對應規則f也稱為對應關系或函數關系．

若函數f（x）的定義域為D，又區間I?D，則稱函數f（x）在定義域D或區間I上有定義．

考慮對應規則y2＝x，無論變量x取任何正實數，變量y恒有兩個實數值與之對應，因此對應規則y2＝x不表示變量y為x的函數，但是可以限制變量y的取值范圍為y≤0或y≥0，而使得它分別代表函數

函數關系的表示方法有公式法、列表法及圖形法，在應用公式法表示函數關系時，函數表達式主要有顯函數y＝f（x）與隱函數即由方程式F（x，y）＝0確定變量y為x的函數．

定義0﹒2　已知函數y＝f（x），從表達式y＝f（x）出發，經過代數恒等變形，將變量x表示為y的表達式，若這個對應規則表示變量x為y的函數，則稱它為函數y＝f（x）的反函數，記作

如果函數y＝f（x）存在反函數x＝f－1（y），則函數x＝f－1（y）也存在反函數y＝f（x），因此函數y＝f（x）與x＝f－1（y）互為反函數．

定義0﹒3　已知函數y＝f（u）的定義域為U1，函數u＝u（x）的值域為U2，若交集U1∩U2非空集，則稱變量y為x的復合函數，記作

其中變量x稱為自變量，變量u稱為中間變量，復合函數y也稱為因變量．

只有一個自變量的函數稱為一元函數，有兩個自變量的函數稱為二元函數．

4﹒函數定義域與函數值

對于并未說明實際背景的函數表達式，若沒有指明自變量的取值范圍，則求函數定義域的基本情況只有四種：

（1）對于分式，要求P（x）≠0；

（2）對于偶次根式，要求Q（x）≥0；

（3）對于對數式logaR（x）（a＞0，a≠1），要求R（x）＞0；

（4）對于反正弦式arcsinS（x）與反余弦式arccosS（x），要求－1≤S（x）≤1．

求函數定義域的方法是：觀察所給函數表達式是否含上述四種基本情況．如果函數表達式含上述四種基本情況中的一種或多種，則解相應的不等式或不等式組，得到函數定義域；如果函數表達式不含上述四種基本情況中的任何一種，則說明對自變量取值沒有任何限制，所以函數定義域為全體實數，即D＝（－∞，＋∞）．

已知函數y＝f（x），當自變量x取一個屬于定義域D的具體數值x0時，它對應的函數y值稱為函數y＝f（x）在點x＝x0處的函數值，記作或f（x0），意味著在函數y＝f（x）的表達式中，自變量x用數x0代入所得到的數值就是函數值即f（x0）．

有時為了簡化函數記號，函數關系也可以記作y＝y（x），其中等號左端的記號y表示函數值，等號右端的記號y表示對應規則．

在平面直角坐標系中，一元函數的圖形通常是一條平面曲線，稱為函數曲線．

5．冪函數

在冪的表達式中，若底為變量x，而指數為常數α，則稱函數y＝xα為冪函數．當然有

冪函數y＝x，y＝x2，y＝及y＝的圖形如圖0-1．

圖0-1

6．指數函數

在冪的表達式中，若底為常數a（a＞0，a≠1），而指數為變量x，則稱函數y＝ax為指數函數．

指數函數y＝ax（a＞1）的圖形如圖0-2．

圖0-2

7．對數函數

若ay＝x（a＞0，a≠1），則將y表示為logax，稱函數y＝logax為對數函數，其中a稱為底，x稱為真數，y稱為對數．指數式ay＝x與對數式logax＝y是表示a，x，y三者同一關系的不同表示方法，這兩種形式可以互相轉化．以10為底的對數稱為常用對數，變量x的常用對數記作lgx，即lgx＝log10x．

根據對數函數與指數函數的關系，再根據反函數的定義，可知對數函數y＝logax的反函數為指數函數x＝ay（a＞0，a≠1）．

特殊的對數函數值為真數取值等于1或底時的對數值，即

在等號兩端皆有意義的條件下，對數恒等關系式為

對數函數y＝logax（a＞1）的圖形如圖0-3．

圖0-3

8．三角函數

以弧度作為度量角的單位時，“弧度”二字經常省略不寫，弧度與度的換算關系為：π弧度＝180°，從而得到：0弧度＝0°，弧度＝30°，弧度＝45°，弧度＝60°，弧度＝90°．角x的正弦、余弦、正切、余切、正割及余割函數統稱為三角函數，分別表示為y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx，y＝cotx，y＝secx及y＝cscx．