第一章　函數與極限

§1.1　函數的類別與基本性質

首先討論基本初等函數，它共有六大類．

1．常量函數y＝c（c為常數）

屬于這一類的函數有無窮多個，它們的定義域D＝（－∞，＋∞）．

2．冪函數y＝xα（α為常數）

屬于這一類的函數有無窮多個，它們的定義域D與指數α的值有關，但無論指數α的值等于多少，恒有D?（0，＋∞）．

3．指數函數y＝ax（a＞0，a≠1）

屬于這一類的函數有無窮多個，它們的定義域D＝（－∞，＋∞）．

4．對數函數y＝logax（a＞0，a≠1）

屬于這一類的函數有無窮多個，它們的定義域D＝（0，＋∞）．

5．三角函數

屬于這一類的函數有六個，主要是四個：

正弦函數y＝sinx，定義域D＝（－∞，＋∞）；

余弦函數y＝cosx，定義域D＝（－∞，＋∞）；

正切函數y＝tanx，定義域；

余切函數y＝cotx，定義域D?（0，π）．

此外尚有正割函數y＝secx與余割函數y＝cscx．在本門課程中，一律以弧度作為度量角的單位．

6．反三角函數

屬于這一類的函數也有六個，主要是四個：

反正弦函數y＝arcsinx，定義域D＝［－1，1］，值域

反余弦函數y＝arccosx，定義域D＝［－1，1］，值域G＝［0，π］；

反正切函數y＝arctanx，定義域D＝（－∞，＋∞），值域

反余切函數y＝arccotx，定義域D＝（－∞，＋∞），值域G＝（0，π）．

基本初等函數經過有限次四則運算得到的函數稱為簡單函數．

考慮函數y＝f（x），自變量取值皆屬于定義域，在屬于定義域的點x0處，當自變量有了改變量Δx≠0，即自變量取值從x0變化到x0＋Δx，這時相應的函數值從f（x0）變化到f（x0＋Δx），因而函數也有了改變量，函數改變量記作

一般地，對于函數y＝f（x），在屬于定義域的任意點x處，若自變量有了改變量Δx≠0，則函數改變量為

特別對于常量函數f（x）＝c（c為常數），函數改變量為

在進行微積分運算時，有時需要分解復合函數．分解自變量為x的復合函數y是指：令中間變量u等于復合函數y中作最后數學運算的表達式，將復合函數y分解為基本初等函數y＝f（u）與函數u＝u（x）．若函數u（x）為基本初等函數或簡單函數，則分解終止；若函數u（x）仍為復合函數，則繼續分解復合函數u（x）．

例1　分解復合函數

解：這個復合函數中最后的數學運算是表達式1＋x2作為被開方式求平方根運算，因而令中間變量u＝1＋x2，所以復合函數分解為

例2　分解復合函數y＝lg（1＋10x）．

解：這個復合函數中最后的數學運算是表達式1＋10x作為真數取對數運算，因而令中間變量u＝1＋10x，所以復合函數y＝lg（1＋10x）分解為

例3　分解復合函數y＝sin45x．

解：這個復合函數中最后的數學運算是表達式sin5x作為底求冪運算，因而令中間變量u＝sin5x，所以復合函數y＝sin45x分解為

但函數u＝sin5x仍為復合函數，這個復合函數中最后的數學運算是表達式5x作為角度求正弦運算，再令中間變量v＝5x，繼續將復合函數u＝sin5x分解為

為了微積分運算的需要，有的簡單函數可以看作是復合函數而進行分解，如簡單函數y＝（1＋x3）10是30次多項式，分解為y＝u10與u＝1＋x3；簡單函數y＝10－x是分式，分解為y＝10u與u＝－x．

其次給出初等函數的定義．

定義1﹒1　若函數是由基本初等函數經過有限次的四則運算與有限次的復合運算構成的，且用一個數學表達式表示，則稱這樣的函數為初等函數．

除初等函數外，還有分段函數．

定義1﹒2　已知函數定義域被分成有限個區間，若在各個區間上表示對應規則的數學表達式一樣，但單獨定義各個區間公共端點處的函數值；或者在各個區間上表示對應規則的數學表達式不完全一樣，則稱這樣的函數為分段函數．

其中定義域所分成的有限個區間稱為分段區間，分段區間的公共端點稱為分界點，同時假定分段函數在各個分段區間上的對應規則都是初等函數表達式．

如何計算分段函數的函數值？觀察分段函數在各分段區間上的對應規則與在各分界點處的取值，明確所給自變量取值屬于哪個分段區間或分界點，再用該分段區間上的數學表達式計算函數值或等于該分界點處的函數取值．如分段函數

在點x＝－1處的函數值f（－1）＝（－1）2－1＝0．

最后討論函數的基本性質，函數的基本性質主要有五種：

1．奇偶性

定義1﹒3　已知函數f（x）的定義域為D，對于任意點x∈D，若恒有f（－x）＝－f（x），則稱函數f（x）為奇函數；若恒有f（－x）＝f（x），則稱函數f（x）為偶函數．

奇函數的圖形對稱于原點，偶函數的圖形對稱于縱軸．

當然，許多函數既不是奇函數，也不是偶函數，稱為非奇非偶函數．

例4　判斷函數f（x）＝x5＋x3的奇偶性．

解：由于關系式

所以函數f（x）＝x5＋x3為奇函數．

例5　判斷函數f（x）＝xsinx－cosx的奇偶性．

解：由于關系式

所以函數f（x）＝xsinx－cosx為偶函數．

2．有界性

定義1﹒4　已知函數f（x）在區間I（可以是開區間，也可以是閉區間或半開區間）上有定義，若存在一個常數M＞0，使得對于所有點x∈I，恒有｜f（x）｜≤M，則稱函數f（x）在區間I上有界；否則稱函數f（x）在區間I上無界．

例6　判斷函數f（x）＝sinx在定義域D＝（－∞，＋∞）內的有界性．

解：在定義域D＝（－∞，＋∞）內，無論自變量即角度x取值等于多少，恒有｜f（x）｜＝｜sinx｜≤1，所以函數f（x）＝sinx在定義域D＝（－∞，＋∞）內有界．

例7　判斷函數在區間（0，1）內的有界性．

解：在區間（0，1）內，自變量即分母x取值可以無限接近于零，因而使得對應的分式絕對值即｜f（x）｜可以無限增大，說明對于任意正的常數，都存在充分接近于原點的點x，使得函數絕對值大于它，所以函數在區間（0，1）內無界．

3．單調性

定義1﹒5　已知函數f（x）在開區間J內有定義，對于開區間J內的任意兩點x1，x2，當x2＞x1時，若恒有f（x2）＞f（x1），則稱函數f（x）在開區間J內單調增加，開區間J為函數f（x）的單調增加區間；若恒有f（x2）＜f（x1），則稱函數f（x）在開區間J內單調減少，開區間J為函數f（x）的單調減少區間．

函數單調增加與函數單調減少統稱為函數單調，單調增加區間與單調減少區間統稱為單調區間．

函數單調說明因變量與自變量一一對應，它存在反函數，反函數也單調．

函數單調增加，說明函數值隨自變量取值增大而增大，函數曲線上升，如圖1-1；函數單調減少，說明函數值隨自變量取值增大而減小，函數曲線下降，如圖1-2．

圖1-1

圖1-2

4．極值

定義1﹒6　已知函數f（x）在點x0處及其左右有定義，對于點x0左右很小范圍內任意點x≠x0，若恒有f（x0）＞f（x），則稱函數值f（x0）為函數f（x）的極大值，點x0為函數f（x）的極大值點；若恒有f（x0）＜f（x），則稱函數值f（x0）為函數f（x）的極小值，點x0為函數f（x）的極小值點．

極大值與極小值統稱為極值，極大值點與極小值點統稱為極值點．

極值是局部性的概念，它只是與極值點左右很小范圍內對應的函數值比較而得到的．極值點只能是給定區間內部的點，不能是給定區間的端點．顯然，單調函數無極值．

5．最值

定義1﹒7　已知函數f（x）在區間I（可以是開區間，也可以是閉區間或半開區間）上有定義，且點x0∈I．對于任意點x∈I，若恒有f（x0）≥f（x），則稱函數值f（x0）為函數f（x）在區間I上的最大值，點x0為函數f（x）在區間I上的最大值點；若恒有f（x0）≤f（x），則稱函數值f（x0）為函數f（x）在區間I上的最小值，點x0為函數f（x）在區間I上的最小值點．

最大值與最小值統稱為最值，最大值點與最小值點統稱為最值點．

最值是整體性的概念，它是與給定區間上的所有函數值比較而得到的．最值點可以是給定區間內部的點，也可以是給定區間的端點．