大樹樹干的形狀

現在回頭再看，當你行走在樹林中，看見一棵參天古樹的時候，再也不用擔心無法測量其高度了。你不僅可以輕松地測量出其高度，還能夠克服各種困難，用三種甚至三種以上的方法測出來。知道了大樹的高度，接下來想不想知道大樹的體積是多少？想不想測出它有多少立方米的木材，并且計算出它的重量，以便知道這棵樹是否能夠用一輛卡車來搬運？這就好比我們面前站著一個人，我們可以用各種方法測量出他（她）的身高，但他（她）的體重又該如何測量呢？

和測量人一樣，測量大樹的高度容易，測量重量則沒有那么簡單了，因為大樹的特殊形狀，只能借助某些條件測量出某種限度的近似值，也就是約等于多少。不要說是一棵正在生長的大樹，即使是一棵已經砍掉而且去掉樹皮的大樹橫在你的面前，想十分精確地測量出它的重量，也并不簡單。

測量不出重量的原因也很簡單，因為大樹的樹干是不規則的。以形狀最為理想的雪松為例，雪松是眾多松樹品類的一種，生得十分勻稱，本身沒有一點凹凸，也不像任何我們能夠按照某種固定的公式計算出體積的幾何體。有人說它像圓柱，其實根本不是，因為它的上端要比下端細，也就是粗細不統一；有人說它像圓錐，可也不是圓錐，因為它的母線并不是一條直線而是曲線，而且表面也不是圓弧，而是另一種曲線，凹向樹干的中心線。

在這種情況下，如何測量松樹樹干的體積呢？

積分法。

我們都知道積分是高等數學的知識，測量松樹的體積這么簡單的問題需要用到高等數學的知識嗎？之所以有這種想法，是因為很多人都認為日常生活中只需要使用初等數學知識就完全可以應付了，而高等數學知識都是用來解決高端的、常人所無法觸及的難題的。這種想法是不正確的。首先，初等數學知識和高等數學知識并沒有直接的應用領域的區別；其次，利用初等數學的知識，也就是我們前面一直提到的初等幾何學的知識，可以準確地計算出關于形狀規則的恒星或者行星的問題，可要想準確地計算出一棵筆直的松樹或者一個白熾燈的體積，就要借助解析幾何和積分法，否則根本辦不到。可是這本書并不打算向讀者介紹高等數學的知識，因此這里只要求計算出樹干體積的近似值來。

我們可以將松樹樹干的體積近似成一個圓臺的體積，或者連同松樹樹梢一起近似成圓錐的體積，而將一段短短的樹干的體積近似成一個圓柱的體積，上述三種立體圖形的體積是很容易計算出來的。在這種相似的前提下，我們能不能找出一個公式，使它可以同時適用于以上的三種形狀呢？如果可以的話，就不用考慮要測量的樹干更接近哪一種形狀——圓柱、圓錐或者圓臺，就可以求出樹干體積的近似值了。這樣的公式有嗎？