萬能公式

不需要考慮要測量的樹干更接近于圓柱、圓錐還是圓臺就可以計算出體積的近似值的萬能公式還真的存在，而且這個公式不僅僅適用于圓柱、圓錐和圓臺，還適用于各種棱柱、棱錐和棱臺，甚至是球，這個公式就是著名的辛普森公式：

在這個公式中，h表示立體的高度；

b₁表示下底面積；

b₂表示中間截面面積（在一半高度上的截面面積）；

b₃表示上底面積。

這個萬能公式是否真的像前面提到的那樣，適用于圓柱、圓錐、圓臺、棱柱、棱錐、棱臺和球？接下來我們來證明一下。

證明的方法也比較簡單，只需要將這個公式逐一應用到上述提到的幾何體。為了方便，將它們分成四組，圓柱和棱柱統一為錐體，圓錐和棱錐統一為錐體，圓臺為一組，球為一組。

我們先將這個公式運用到柱體中，也就是棱柱和圓柱，如圖17a，我們已知b1=b2=b3，我們將之代入到公式中，可以得到：

公式中，棱柱和圓柱的面積=底面積乘以高。

17a

棱錐和圓錐的體積，如圖17b，我們已知b₁=4b₂，b₃=0，我們將之代入到公式中，可以得到：

公式中，棱錐和圓錐的面積=等底等高的棱柱、圓柱體積的1/3。

17b

圓臺的體積，如圖17c，我們可得：

17c

球的體積，如圖17d，我們可得：

17d

圖17　可以用同一公式求出體積的幾種幾何體

這里要思考一個問題，這個萬能公式是否只適用于柱體、錐體、圓臺以及球？適不適用于計算平面圖形的面積，比如平行四邊形、梯形、三角形？

答案是完全可以，只要將公式中的字母稍微改變一下，變成：

h表示高度，

b₁表示下底長度，

b₂表示中間線長度，

b₃表示上底長度。

如何證明這一點呢？

將公式應用到上述的平面圖形上，對于平行四邊形，如圖18a，我們可得：

圖18　萬能公式適用于這些圖形的面積計算

你看，這個公式能夠被稱為萬能公式，不是沒有原因的。這個萬能公式，一定要記住。