第一部分 數(shù)字游戲

第一章 大數(shù)

1.你最大能數(shù)到幾？

有這樣一個(gè)故事，講的是兩位匈牙利貴族決定玩?zhèn)€游戲，說出最大數(shù)的人獲勝。

“這樣，”其中一位說，“你先說出你的數(shù)。”

經(jīng)過幾分鐘的冥思苦想，另一位貴族終于說出他能想到最大的數(shù)。“3。”他說道。

現(xiàn)在輪到第一位思考了，但在一刻鐘之后，他決定放棄，他說道：“你贏了。”當(dāng)然，這兩位匈牙利貴族的智力水平不算高，而這個(gè)故事本身可能也只是某種諷刺。但如果此事發(fā)生在南非原始部落霍屯督人身上，這個(gè)場景就完全有可能出現(xiàn)。實(shí)際上，許多非洲探險(xiǎn)家證實(shí)，許多霍屯督部落的語言中都沒有大于3的數(shù)。你可以找一個(gè)當(dāng)?shù)赝林?，問他有多少個(gè)兒子或曾殺過多少敵人，如果該數(shù)字大于3，那他就會(huì)回答“很多”。因此，就數(shù)數(shù)水平而言，霍屯督的勇猛戰(zhàn)士比美國幼稚園年齡的孩子還要弱，這些孩子起碼能數(shù)到10。

如今，有一種我們習(xí)以為常的想法：你想寫多大的數(shù)字就能寫多大，無論是用美分來表示戰(zhàn)爭支出，還是用英寸來表示恒星距離，只要在某個(gè)數(shù)字的右邊放置足夠多的零就可以了。你可以不停地放置零直到手累，甚至眨眼之間你就能得到一個(gè)比宇宙總原子數(shù)[以目前最大望遠(yuǎn)鏡的觀測范圍計(jì)算。] 還要大的數(shù)，順帶提一下，這個(gè)數(shù)字是300,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000。

或者你也可以寫成這種簡略形式：3×1074 。

位于10右上角的小數(shù)字74表明必須寫多少個(gè)0，換句話說，3必須被10乘74次。

但這種“簡明算術(shù)”系統(tǒng)在古代并不為人所知。實(shí)際上它是由某位不知名的印度數(shù)學(xué)家，在距今不到2000年時(shí)發(fā)明的。盡管我們通常意識不到，但這的確是一項(xiàng)偉大的發(fā)明！在此項(xiàng)發(fā)明出現(xiàn)前，人們對各數(shù)位上的數(shù)字，是以現(xiàn)今稱為十進(jìn)制的單位制書寫的，該位上有幾個(gè)單位就把特定的符號重復(fù)幾次。例如數(shù)字8732古埃及人是這么寫的：

而愷撒手下的書記官則會(huì)以這種形式來表示它：

MMMMMMMMDCXXXII

后一種計(jì)數(shù)方式你一定很熟悉，因?yàn)橹两裼袝r(shí)仍會(huì)用羅馬數(shù)字表示一本書的卷數(shù)或章節(jié)數(shù)，或在宏偉的紀(jì)念牌上用來注明歷史事件的日期。然而，由于古代所用計(jì)數(shù)最大也不過幾千，因此根本用不著更高位的單位符號，所以一個(gè)古羅馬人無論多么精通算數(shù)，當(dāng)你要求他寫“一百萬”時(shí)他都會(huì)非常為難。如若你堅(jiān)持，他只好花幾個(gè)小時(shí)連續(xù)寫一千個(gè)M（圖1）。

對古人而言，諸如天上的星星、海里的魚、海灘上的沙粒，這樣巨大的數(shù)字都是“數(shù)不清的”；就像“5”對霍屯督人而言是數(shù)不清的，只好簡單地表示為“很多”！

圖1 一個(gè)古羅馬人，比如愷撒時(shí)代的，試著用羅馬數(shù)字寫出“一百萬”。但那塊墻板估計(jì)連“十萬”都寫不下

公元前3世紀(jì)，著名科學(xué)家阿基米德開動(dòng)他那非凡的大腦，提出過寫出真正大數(shù)字的方法，他在專著《沙粒計(jì)算》（或《詩篇》）中寫道：

有人認(rèn)為沙粒的數(shù)量是數(shù)不清的。我說的是不僅在敘拉古和西西里其他地區(qū)的沙粒，還包括地球上所有地區(qū)的沙粒，無論是聚居區(qū)還是無人區(qū)。再者，有些人并不認(rèn)為沙粒數(shù)量是數(shù)不清的，只是人們說不出一個(gè)足夠大數(shù)字來描述地球沙粒總量。顯然持這種觀點(diǎn)的人，如果面對一個(gè)大小與地球一般大的沙堆，而且所有的海洋和空洞都被沙子填滿，直到最高的山脈，他們將更加確信沒有任何數(shù)字可以表達(dá)如此堆積起來的沙粒的數(shù)目。但我將嘗試證明，我說出的數(shù)字，不僅可大過充滿地球體積的沙粒數(shù)量，甚至超過與宇宙同尺寸的沙堆的沙粒數(shù)量。

阿基米德在其著名著作中提出記錄大數(shù)的方法，與現(xiàn)代科學(xué)中科學(xué)計(jì)數(shù)法類似。

他從古希臘算術(shù)中存在的最大的數(shù)字開始：“萬”，或十千。

他引入了一個(gè)新的數(shù)，“萬萬”（一百兆），他稱為“octade”（億）或者“第二級單位”。

“octade octades”（或億億）稱為“ 第三級單位”，“octade, octade, octades”（億億億）為“第四級單位”，以此類推。

用數(shù)頁的篇幅介紹大數(shù)字的書寫似乎過于啰唆，但在阿基米德時(shí)代，找到寫大數(shù)字的方法是一個(gè)偉大的發(fā)現(xiàn)，這是數(shù)學(xué)科學(xué)進(jìn)步的重要一步。

要計(jì)算填滿整個(gè)宇宙所需要的沙粒數(shù)量，阿基米德得知道宇宙的大小。在他所處的時(shí)代，人們認(rèn)為宇宙被鑲嵌著群星的水晶球包圍，與他同時(shí)代的著名天文學(xué)家，薩摩斯的阿里斯塔克斯，推算從地面到宇宙水晶球外圍的距離約為10,000,000,000希臘里（Stadia），或者說大約1,000,000,000英里。[stadia是古希臘的長度單位，1stadia為606英尺6英寸，或188米。]

阿基米德比較完宇宙球和沙粒的尺寸后做了一系列令高中生做噩夢的計(jì)算，最終得出如下結(jié)論：

“顯然，填滿阿里斯塔丘斯推算的宇宙球空間所需沙粒不超過一千萬個(gè)第八級單位?！盵用我們的符號表示，這個(gè)數(shù)字是：或簡寫為1063（即1后面有63個(gè)0）。]

需要注意的是，阿基米德估算的宇宙半徑比現(xiàn)代科學(xué)家觀測的小得多。10億英里的距離還不夠我們走到土星軌道。稍后我們會(huì)了解到目前望遠(yuǎn)鏡所能觀測到的宇宙距離現(xiàn)在已達(dá)5,000,000,000,000,000,000,000英里，要填滿可觀測宇宙，所需要的沙粒數(shù)量將超過10100（1后面100個(gè)0）粒。

這顯然比本章開頭提到的宇宙總原子數(shù)3×1074大得多，但是別忘了，宇宙并非充滿原子，實(shí)際上，平均每立方米空間只有大約1個(gè)原子。

但是完全沒有必要這么麻煩，用將整個(gè)宇宙填滿沙粒的方法來獲取真正的大數(shù)。實(shí)際上大數(shù)經(jīng)常出現(xiàn)在那些乍看上去非常簡單的問題中，很多情況下你可能以為用到的最大數(shù)也就幾千而已。

印度的舍罕王（Shirham）是大數(shù)的受害者之一。相傳，宰相大維齊爾西薩·本·達(dá)希爾（Sissa Ben Dahir）發(fā)明了象棋并將其進(jìn)獻(xiàn)給國王，舍罕王打算獎(jiǎng)賞他。這位聰明宰相的要求似乎不高，“陛下，”他跪在國王面前說，“請?jiān)谄灞P的第一格放一粒麥子，第二格放二粒，第三格放四粒，第四格放八粒，以此類推，我的王，后一格比前一格加倍，您就賞我擺滿64格棋盤的麥子吧！”

“我忠實(shí)的臣子，你要的并不多！”國王感嘆道，同時(shí)暗自竊喜，給神奇游戲的發(fā)明者的獎(jiǎng)勵(lì)花費(fèi)不太多。“你當(dāng)然會(huì)如愿以償?！比缓笏藢⒁淮←湴徇M(jìn)大殿。

圖2 嫻熟的數(shù)學(xué)家大維齊爾西薩·本·達(dá)希爾宰相正在向印度舍罕王請求賞賜

計(jì)數(shù)開始了，第一格放一粒麥子，第二格放二粒，第三格四粒，第四格八粒，一直這樣放下去，但是還沒等放到第二十格，一袋麥子已經(jīng)用完了。

更多的麥子被搬到國王面前，但每往前一格，所需的麥粒數(shù)量迅速增長，大家很快明白，即便用完印度所有的麥子，國王也無法兌現(xiàn)他許給西薩·本·達(dá)希爾的獎(jiǎng)勵(lì)，填滿64個(gè)格子需要18,446,744,073,709,551,615粒麥子！[1]

這個(gè)數(shù)不像宇宙原子總數(shù)那么大，但也是非常可觀的。假定1蒲式耳小麥大約是5,000,000顆，滿足西薩·本的要求需要大約4萬億蒲式耳小麥。世界小麥產(chǎn)量大約每年2,000,000,000蒲式耳，宰相要的麥子總量需要全世界生產(chǎn)2000年！

于是，舍罕王發(fā)現(xiàn)他欠了宰相好大一筆債，要么忍耐西薩·本·達(dá)希爾不斷地要債，要么干脆砍掉他的腦袋。我猜國王應(yīng)該選擇了后者。

另一個(gè)大數(shù)唱主角的故事也來自印度，這是個(gè)關(guān)于“世界末日”的問題。熱愛數(shù)學(xué)的歷史學(xué)家鮑爾（W. W. R. Ball）講述了一個(gè)這樣的故事：[2]

在標(biāo)志著世界中心的貝拿勒雷斯大神廟的圓屋頂之下，放置著一塊黃銅板，板上固定了三根鉆石針，每根針高一肘（大約20英寸），如蜜蜂身體般粗細(xì)。創(chuàng)世之時(shí)，上帝在其中一根針上放置了64個(gè)純金圓盤，最大的圓盤位于黃銅板上，其他圓盤逐漸縮小，直至最頂上的一個(gè)。這就是梵天塔。根據(jù)梵天固定不變的法則，值班的僧侶日夜不停地將圓盤從一根針轉(zhuǎn)移到另一根針，按規(guī)則，僧侶們一次只能移動(dòng)一個(gè)圓盤，并且針上不允許出現(xiàn)小圓盤在大圓盤下面的情況。當(dāng)64個(gè)圓盤都因此從創(chuàng)世時(shí)神所放置的針上轉(zhuǎn)移到另一根針上時(shí)，塔、廟宇和婆羅門都將碎裂成塵土，隨著一聲霹靂，整個(gè)世界都將消失。

[1] 聰明宰相所要求的麥子粒數(shù)可以表示為：1+21+22+23+24+… +262+263。在數(shù)學(xué)上，這類每一個(gè)數(shù)都是前一個(gè)數(shù)的固定倍數(shù)的數(shù)列叫作等比數(shù)列（在我們這個(gè)例子里，這個(gè)倍數(shù)為2）?？梢宰C明，這種等比數(shù)列的所有各項(xiàng)之和，等于固定倍數(shù)（在本例中為2）的項(xiàng)數(shù)次冪（在本例中為64）減去第一項(xiàng)（此例中為1）所得到的差除以上述固定倍數(shù)減1?？梢赃@樣表示：答案即：18,446,744,073,709,551,615。

[2]《數(shù)學(xué)拾零》W. W. R. 鮑爾（麥克米倫公司，紐約，1939）。

圖3是根據(jù)故事情節(jié)作的畫，不過它顯示的圓盤數(shù)量較少。你可以使用硬紙板代替黃金圓盤，用長鐵釘代替印度傳說中的鉆石針，自行制作這個(gè)益智玩具。不難找到移動(dòng)圓盤的規(guī)律：你會(huì)發(fā)現(xiàn)轉(zhuǎn)移每個(gè)圓盤的所需移動(dòng)量是上一個(gè)圓盤移動(dòng)量的兩倍。第一個(gè)圓盤僅需移動(dòng)一次，但隨后的每個(gè)圓盤所需的移動(dòng)次數(shù)都會(huì)以幾何級數(shù)增長，因此，到達(dá)第64個(gè)圓盤時(shí)，移動(dòng)次數(shù)便與西薩·本·達(dá)希爾要求的小麥粒數(shù)一樣多！[1]

圖3 梵天的巨型雕像前一位僧侶在處理“世界末日”問題。此處顯示的黃金圓盤少于64個(gè)，因?yàn)楹茈y繪制這么多

將梵天塔中的所有64個(gè)圓盤從一根針轉(zhuǎn)移到另一根針需要多長時(shí)間？假設(shè)僧侶晝夜不息，節(jié)假日不休，每秒移動(dòng)一次。由于一年包含大約31,558,000秒，完成這項(xiàng)工作將需要5,800億年多一點(diǎn)。

[1]如果只有7個(gè)圓盤，則需要移動(dòng)的次數(shù)為：1+21+22+23+……，即27-1=2×2×2×2×2×2×2-1=127。

如果你移動(dòng)圓盤的速度夠快，不出任何錯(cuò)誤，完成任務(wù)大約需要花費(fèi)你一個(gè)小時(shí)。對于64個(gè)圓盤，所需的移動(dòng)總次數(shù)為：

264-1=18,446,744,073,709,551,615

這與西薩·本·達(dá)希爾要求的小麥粒數(shù)相同。

將純粹傳說的宇宙持續(xù)時(shí)間預(yù)言與現(xiàn)代科學(xué)的預(yù)測相比較，結(jié)果非常有趣。根據(jù)當(dāng)前的宇宙演化理論，恒星、太陽和包括我們地球在內(nèi)的行星是在約30億年前由無形物質(zhì)形成的。我們還知道，給恒星特別是我們的太陽提供能量的“原子燃料”可以再持續(xù)100億或150億年。（請參閱《創(chuàng)世日》一章。）因此，我們宇宙的總生命周期肯定短于200億年，而不像從印度傳說中推算的5800億年那么長！但是，畢竟，這僅僅是一個(gè)傳說！

文學(xué)作品中提到的最大數(shù)字可能與著名的“印刷行問題”有關(guān)。假設(shè)我們建造了一臺印刷機(jī)，它能夠一行接一行地連續(xù)印刷，并且自動(dòng)為每一行選擇字母和印刷符號的組合。這樣的機(jī)器將由許多單獨(dú)的圓盤組成，這些圓盤的整個(gè)邊緣都帶有字母和符號，這些圓盤彼此之間的嚙合方式與汽車的里程表中的編號盤相同，因此每個(gè)圓盤轉(zhuǎn)一圈將使下一個(gè)向前移動(dòng)一個(gè)位置，每次移動(dòng)后，來自卷筒的紙張將自動(dòng)被壓到滾筒上，這樣的自動(dòng)印刷機(jī)制造起來不會(huì)有太大的困難，其外觀將如圖4所示的那樣。

圖4 一臺自動(dòng)印刷機(jī)，剛剛正確打印了一行莎士比亞詩句

現(xiàn)在讓我們開動(dòng)機(jī)器，檢查印出來的那些無窮無盡的行。大多數(shù)行根本沒有意義。他們看起來像這樣

“aaaaaaaaaaa…… ”

或者：

“boobooboobooboo……”

再或者：

“zawkporpkossscilm……”

但是由于機(jī)器會(huì)打印所有可能的字母和符號組合，所以我們在無意義的垃圾中發(fā)現(xiàn)了各種有意義的句子。當(dāng)然，有很多無意義的句子，例如

“horse has six legs and……”（馬有六條腿，并且……）或者：

“I like apples cooked in terpentin……”（我喜歡松節(jié)油煎蘋果……）

莎士比亞（William Shakespare）寫的每個(gè)句子都會(huì)被找到，甚至包括他丟入廢紙簍的草稿！

實(shí)際上，這樣的自動(dòng)印刷機(jī)可以打印出人們學(xué)會(huì)書寫后寫下的一切：所有的散文和詩歌，報(bào)紙上所有的社論和廣告，每一篇煩瑣的科學(xué)論文，每封情書，每條給送牛奶人的留言……

此外，該機(jī)器還可以打印出未來數(shù)個(gè)世紀(jì)將要打印的所有內(nèi)容。從來自滾筒的紙張上，我們可以找到30世紀(jì)的詩歌，未來的科學(xué)發(fā)現(xiàn)，在美國第500屆國會(huì)上的演講，以及2344年的星際交通事故記錄。一篇又一篇人類尚未創(chuàng)作出來的短篇小說和長篇小說。擁有這臺機(jī)器的出版商們可以將其安裝在地下室里，只需從大量垃圾中選擇好的作品進(jìn)行編輯即可——反正他們現(xiàn)在差不多也是這么做。

為什么沒人這么做？

好吧，讓我們算一下機(jī)器要打印的行數(shù)，以展示字母和其他印刷符號的所有可能組合。

英文字母表中有26個(gè)字母，10個(gè)數(shù)字（0、1、2 … 9）和14個(gè)常用符號（空格、句號、逗號、冒號、分號、問號、感嘆號、破折號、連字符、引號、方括號、圓括號、大括號），總共50個(gè)符號。我們還假設(shè)該機(jī)器有65個(gè)輪子，對應(yīng)于平均每行65個(gè)位置。印刷行可以以任意符號開頭，因此有50種可能。對于這50種可能中的每一種，行中的第二個(gè)位置都有50種可能；也就是說總共有50×50=2500種可能性。對于前兩個(gè)字母的每個(gè)給定組合，我們可以在第三位的50個(gè)可能的符號之間進(jìn)行選擇，依此類推。整行可能的排列總數(shù)可以表示為：

或者：5065

這等于：10110

為了感受到這個(gè)數(shù)字的到底有多大，假設(shè)宇宙中的每個(gè)原子都是一臺單獨(dú)的印刷機(jī)，因此我們有3×1074臺同時(shí)工作。進(jìn)一步假設(shè)，自宇宙誕生以來，所有這些機(jī)器一直在工作，時(shí)至今日它們已經(jīng)運(yùn)轉(zhuǎn)了30億年，或1017秒。如果這些印刷機(jī)以原子振動(dòng)的頻率打印，即每秒1015行。到現(xiàn)在為止，它們已經(jīng)打印了

3×1074×1017×1015=3×10106

行，僅為所需總數(shù)的三千分之一。

沒錯(cuò)！從所有自動(dòng)打印的材料中挑出點(diǎn)什么確實(shí)需要非常非常多的時(shí)間！

2. 怎樣計(jì)算無窮大

在上一節(jié)中，我們討論了數(shù)字，其中許多是相當(dāng)大的。但是，盡管這些數(shù)字大到幾乎令人難以置信（像西薩·本·達(dá)希爾所要求的小麥粒數(shù)之類的），但它們?nèi)匀皇怯邢薜模⑶胰绻凶銐虻臅r(shí)間，人們可以將每一位數(shù)都寫出來。

但是一些真正“無窮大”的數(shù)字，無論我們花多長時(shí)間，都不可能寫完。因此，“所有數(shù)字的個(gè)數(shù)”顯然是無窮大的，同樣“一條線上所有幾何點(diǎn)的個(gè)數(shù)”也是如此。關(guān)于這些數(shù)字，除了說它們是無窮大的之外，還有什么方法來描述這些數(shù)字呢？或者可以比較兩個(gè)不同的無窮大，看看哪個(gè)“更大”？

“所有數(shù)字的個(gè)數(shù)和一條線上所有點(diǎn)的個(gè)數(shù)哪個(gè)更大？”諸如此類的問題，乍看之下似乎很荒誕，著名數(shù)學(xué)家康托爾（Georg Cantor）首先研究了這個(gè)問題，他稱得上是“無窮大數(shù)算術(shù)”的奠基人。

如果我們要討論無窮大的大小，我們將面臨一個(gè)問題：比較無法說出、也無法寫下的數(shù)字，這或多或少類似于原始部落霍屯督人查看自己的寶箱，想知道自己的財(cái)產(chǎn)中玻璃珠或銅幣哪個(gè)更多。但是，您應(yīng)該還記得，原始的霍屯督人最多只能數(shù)到3。因?yàn)闊o法計(jì)數(shù)，他是否應(yīng)該放棄比較珠子和硬幣數(shù)量的所有嘗試呢？完全不必。如果他夠聰明，把珠子和硬幣逐一對比就能得到答案。他會(huì)把一枚硬幣和一個(gè)珠子放在一起，另一枚硬幣和另一個(gè)珠子放在一起，依此類推……如果剩下硬幣但珠子用光了，他就知道自己的硬幣比珠子多。如果硬幣用光了剩下一些珠子，他就知道自己的珠子比硬幣多，如果都用光了，就是硬幣與珠子數(shù)量一樣多。

與康托爾比較兩個(gè)無窮大的方法完全相同。如果我們能將兩個(gè)無窮大集合中的對象配對，使一個(gè)無窮大集合的每個(gè)對象與另一個(gè)無窮大集合的每個(gè)對象配對，并且任何一個(gè)集合都沒有剩下對象，則兩個(gè)無窮大相等。但是，如果其中一個(gè)集合中留下了一些未配對的對象，那么我們說這個(gè)無窮大集合中的對象比另一個(gè)無窮大集合中的對象更多或者說更強(qiáng)。

這顯然是用來比較兩個(gè)無窮大數(shù)最合理、事實(shí)上也是唯一可行的法則。但是當(dāng)我們開始實(shí)際應(yīng)用的時(shí)候，可能還是會(huì)大吃一驚。例如，所有偶數(shù)的無窮數(shù)列和所有奇數(shù)的無窮數(shù)列都是無窮大的。讓我們先來比較這兩個(gè)無窮數(shù)。當(dāng)然，你可以直觀地感覺到偶數(shù)和奇數(shù)一樣多，這與上述規(guī)則完全一致，因?yàn)樾?shù)字可以建立一一對應(yīng)關(guān)系：

該表中每個(gè)偶數(shù)與每個(gè)奇數(shù)相對應(yīng)，反之亦然；因此，偶數(shù)的無窮數(shù)列等于奇數(shù)的無窮數(shù)列?？雌饋泶_實(shí)很簡單自然！

但是，且等一下！所有整數(shù)，包括奇數(shù)和偶數(shù)的數(shù)量和僅僅所有偶數(shù)的數(shù)量相比，你認(rèn)為哪一個(gè)更大呢？你當(dāng)然會(huì)認(rèn)為所有整數(shù)的數(shù)量更大，因?yàn)樗粌H僅包含了所有偶數(shù)的數(shù)量，還包含了所有奇數(shù)的數(shù)量。但這只是你個(gè)人的印象而已。你只有運(yùn)用上述法則將兩個(gè)無窮數(shù)列進(jìn)行逐一比較，方可得到準(zhǔn)確答案。當(dāng)你用了該法則，你就會(huì)驚訝地發(fā)現(xiàn)你的判斷是錯(cuò)的。實(shí)際上，所有的整數(shù)與所有的偶數(shù)也可以建立一一對應(yīng)的關(guān)系，正如下表所示：

根據(jù)我們的無窮大比較法則，我們必須承認(rèn)所有偶數(shù)的數(shù)量與所有整數(shù)的數(shù)量是相等的。當(dāng)然，這聽起來很矛盾，因?yàn)榕紨?shù)代表所有整數(shù)的一部分，但是，別忘了我們這里所處理的是無窮大數(shù)，所以必須準(zhǔn)備碰到不同的特性。

實(shí)際上，在無窮大的世界中，部分可能等于整體！證明這一點(diǎn)最好的例子便是關(guān)于德國著名數(shù)學(xué)家戴維·希爾伯特（David Hilbert）的一個(gè)故事。他們說，在他關(guān)于無窮大的演講中，他將無窮數(shù)的這種自相矛盾的性質(zhì)用以下詞句表示：[1]

我們假設(shè)有一個(gè)旅館，其房間數(shù)量是有限的，而且所有客房都已住滿。這時(shí)新來了一個(gè)客人要求入住。店主說：“對不起，我們已經(jīng)客滿了。”現(xiàn)在，讓我們想象一個(gè)有無窮多個(gè)房間的旅館，所有房間都已住人。一個(gè)新客人來到這家酒店，并要求入住。

“當(dāng)然沒問題！”業(yè)主喊道，他把以前住在1號房間的房客搬到2號房間，2號房間的搬到了3號房間，3號房間的搬到了4號房間，依此類推。新房客住進(jìn)了經(jīng)過上面一番移動(dòng)而騰空的1號房間。

“我們再想象一個(gè)有無窮多個(gè)房間的旅館，且都已住滿，此時(shí)來了無數(shù)新客人要求入住。

‘當(dāng)然可以，先生們，’店主回答，‘稍等一下?！?/p>

“他把1號的房客搬到2號，2號的搬到了4號，3號的搬到了6號，等等，等等?！?/p>

“現(xiàn)在奇數(shù)號的房間都騰出來了，可以輕松安置無窮多的新房客?！?/p>

然而，由于希爾伯特講這個(gè)故事時(shí)正值戰(zhàn)爭時(shí)期，即便是在華盛頓，他所描述的情形也很難被人理解。但這個(gè)例子顯然說到了點(diǎn)子上：無窮大數(shù)的特性與我們在普通算術(shù)中所遇到的大不一樣。

按照康托爾比較兩個(gè)無窮數(shù)的法則，我們現(xiàn)在能證明，所有的像或這樣的所有分?jǐn)?shù)的數(shù)量與所有整數(shù)的數(shù)量是相等的。事實(shí)上，我們可以將所有的普通分?jǐn)?shù)按以下規(guī)則排成一列：先寫下所有分子與分母之和為2的分?jǐn)?shù)，這樣的分?jǐn)?shù)只有一個(gè)，即；然后寫下兩者之和為3的分?jǐn)?shù)：和；接著寫出其和為4的分?jǐn)?shù)：以此類推，我們會(huì)得到一個(gè)無窮的分?jǐn)?shù)序列，其中包含了所有能想得到的分?jǐn)?shù)（圖5）。現(xiàn)在，在這個(gè)分?jǐn)?shù)序列上面寫下整數(shù)序列，這樣你就得到了無窮分?jǐn)?shù)序列與無窮整數(shù)序列之間的一一對應(yīng)關(guān)系，可見它們的數(shù)量是相等的！

[1] 摘自從未出版的但廣為流傳的冊子《希爾伯特故事全集》，該書甚至不是R. 康托爾寫的。

圖5 非洲土著和康托爾（Georg Cantor）教授在比較超出他們計(jì)數(shù)能力的數(shù)字

你可能會(huì)說“是啊，這一切都很妙，不過，這是否干脆意味著，所有的無窮大數(shù)都是相等的呢？如果真是這樣，比較它們到底有什么用呢？”

不，事實(shí)不是這樣的，我們可以輕松地找到比所有整數(shù)或所有分?jǐn)?shù)構(gòu)成的無窮大數(shù)還大的無窮數(shù)。

實(shí)際上，本章前面提到關(guān)于一條線段上點(diǎn)的數(shù)量與所有整數(shù)數(shù)量相比的問題，經(jīng)研究我們會(huì)發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)無窮大是不相同的。線段上點(diǎn)的數(shù)量要比整數(shù)或分?jǐn)?shù)數(shù)量多得多。為了證明這一命題，讓我們嘗試建立直線上的點(diǎn)（例如1英寸）和整數(shù)序列之間的一一對應(yīng)關(guān)系。

線段上的每個(gè)點(diǎn)都可以描述為它與某一端點(diǎn)間的距離，并且該距離可以用無窮小數(shù)的形式表示，例如0.7350624780056…或0.38250375632…[1]現(xiàn)在，我們需要比較所有整數(shù)數(shù)目與所有可能存在的無窮小數(shù)的數(shù)量。那么上面給出的無窮小數(shù)與像這樣的普通分?jǐn)?shù)之間有什么區(qū)別呢？

[1] 因?yàn)榧俣ㄟ@條線段的長度為1，所以這些小數(shù)都小于1。

你肯定記得算術(shù)課講過，任意普通分?jǐn)?shù)都可以轉(zhuǎn)換為無限循環(huán)小數(shù)。因此=0 .66666…=0 .（6），=0.42857 1∣428571∣428571∣4…=0.( 428571)上面我們證明了分?jǐn)?shù)的數(shù)量與整數(shù)的數(shù)量相同；因此，無限循環(huán)小數(shù)的數(shù)量也必與整數(shù)的總數(shù)量相等。但是，一條直線上的點(diǎn)不一定都能用無限循環(huán)小數(shù)表示，事實(shí)上，在大多數(shù)情況下出現(xiàn)的是無限不循環(huán)小數(shù)，其中的數(shù)字根本沒有任何周期性。這就說明，在這種情況下兩個(gè)數(shù)列不可能一一對應(yīng)。

假設(shè)有人聲稱能做出這樣的排列，它們看起來像這樣：

N

1 0.38602563078……

2 0.57350762050……

3 0.99356753207……

4 0.25763200456……

5 0.00005320562……

6 0.99035638567……

7 0.55522730567……

8 0.05277365642……

…………

…………

當(dāng)然，由于實(shí)際上不可能寫出無窮多個(gè)完整的無限小數(shù)，因此該表的作者應(yīng)該遵循了某種通用規(guī)則（類似于我們排列普通分?jǐn)?shù)的規(guī)則），這才保證了你能想到的每個(gè)小數(shù)早晚會(huì)出現(xiàn)在表格中。

哦，不難證明這種說法是站不住腳的，因?yàn)槲覀兛偸强梢詫懗鲆粋€(gè)無窮小數(shù)，而該小數(shù)不在該無窮表中。這是怎樣做到的呢？很簡單，只要分?jǐn)?shù)的第一位與表N1中的不同，第二位與表中N2中的不同，依此類推。最后你寫下的數(shù)字大概是這樣的：

而且無論怎么往下找，此數(shù)字都不包含在表格中。實(shí)際上，如果表格的作者告訴你，你寫的該分?jǐn)?shù)位于表格中的137行（或其他任何一行），你可以立即回答：“不，它們不是同一個(gè)分?jǐn)?shù)，因?yàn)槟愕姆謹(jǐn)?shù)小數(shù)點(diǎn)后第137位與我想到的分?jǐn)?shù)小數(shù)點(diǎn)后第137位是不同的。”

因此，一條線段上的點(diǎn)與整數(shù)之間無法建立一一對應(yīng)關(guān)系，這意味著直線上的點(diǎn)構(gòu)成的無窮大數(shù)要大于或強(qiáng)于所有整數(shù)或分?jǐn)?shù)所構(gòu)成的無窮大數(shù)。

我們一直在討論長度為1英寸的線段上的點(diǎn)，但是現(xiàn)在很容易證明，根據(jù)我們的“無窮算術(shù)”的規(guī)則，任何長度的線段都是如此。實(shí)際上，一英寸、一英尺或一米長的線段上都有相同數(shù)量的點(diǎn)。為了證明這一點(diǎn)，請參見圖6，該圖比較了不同長度的兩條線段AB和AC上的點(diǎn)數(shù)。為了在這兩條線段的點(diǎn)之間建立一一對應(yīng)關(guān)系，我們在線段AB上的每個(gè)點(diǎn)上畫一條平行于BC的線，并將交點(diǎn)配對，例如D和D1，E和E1，F(xiàn)和F1，AB上的每個(gè)點(diǎn)在AC上都有一個(gè)對應(yīng)點(diǎn)，反之亦然；因此，根據(jù)我們的規(guī)則，這兩個(gè)點(diǎn)的無窮數(shù)相等。

通過對無窮數(shù)的分析，我們得到了一個(gè)更加驚人的結(jié)論：平面上所有點(diǎn)的數(shù)量等于直線上所有點(diǎn)的數(shù)量。為了證明這一點(diǎn)，讓我們考慮一英寸長的線段AB上的點(diǎn)，以及正方形CDEF內(nèi)的點(diǎn)（圖7）。

假設(shè)數(shù)字0.75120386……代表線段上的某一點(diǎn)，我們可以把它的奇數(shù)位和偶數(shù)位的數(shù)字先分挑出來再分別合并到一起，我們得到兩個(gè)數(shù)字：

0.7108……

和0.5236……

在正方形中測量這些數(shù)字在水平和垂直方向上給出的距離，并將得到的對應(yīng)點(diǎn)稱為原線段上原始點(diǎn)的“對應(yīng)點(diǎn)”。相反，如果我們在正方形中有一個(gè)點(diǎn)，其位置由數(shù)字來描述是0.4835……和0.9907……，我們通過合并這兩個(gè)數(shù)字來獲得線上相應(yīng)“對應(yīng)點(diǎn)”的位置：0.49893057……

顯然，兩組點(diǎn)在此過程中建立了一對一的關(guān)系。線上的每個(gè)點(diǎn)都在正方形中有其對應(yīng)點(diǎn)，正方形中的每個(gè)點(diǎn)都在線段上有其對應(yīng)點(diǎn)，并且不會(huì)遺漏任何一個(gè)點(diǎn)。因此，根據(jù)康托爾準(zhǔn)則，正方形內(nèi)所有點(diǎn)的數(shù)量等于線段上所有點(diǎn)的數(shù)量。

用類似的方法，很容易證明立方體內(nèi)所有點(diǎn)的數(shù)量與正方形或線段上的點(diǎn)的數(shù)量相同。為此，我們只需要將原始的小數(shù)分成三部分[1]，再用獲得的三個(gè)新小數(shù)來定義“對應(yīng)點(diǎn)”在立方體中的位置。并且，就像兩條不同長度的線段一樣，正方形或立方體內(nèi)部的點(diǎn)數(shù)均相同，與其大小無關(guān)。

雖然，幾何點(diǎn)的數(shù)量大于整數(shù)和分?jǐn)?shù)的數(shù)量，但它還不是數(shù)學(xué)家所知的最大數(shù)。實(shí)際上，我們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，曲線（包括最不尋常形狀的曲線）的種類比幾何點(diǎn)的數(shù)量更大，因此必須用無窮數(shù)列的第三級來描述。

“無窮數(shù)學(xué)”的創(chuàng)立者格奧爾格·康托爾提出，無窮數(shù)可用希伯來字母 ?（aleph）來表示，右下角的小數(shù)字表示無窮數(shù)的等級。數(shù)字序列（包括無窮數(shù)?。┍硎救缦拢?/p>

我們說“一條線上有N₁個(gè)點(diǎn)或有N₂條不同的曲線”，就像我們說“世界上有7大洲”或“一副撲克牌有52張”一樣。（見圖8）

總結(jié)一下我們對無窮數(shù)的討論，我們指出無窮數(shù)的增長速度極快，很快超越了任何我們能想到的集合。我們知道代表所有整數(shù)的數(shù)量，代表所有幾何點(diǎn)的數(shù)量，代表所有曲線的種類，但是到目前為止，還沒有人能夠構(gòu)思出任何可用描述的無限集合。似乎前三個(gè)無窮數(shù)足以應(yīng)對我們能想到的任何東西，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)目前情況與前面提到的原始霍屯督人正好相反，后者有許多兒子，但最多只能數(shù)到三！

[1] 例如，我們可把數(shù)字0.735106822548312…… 分成下列三個(gè)新小數(shù)：

0.71853……

0.30241……

0.56282……

圖8 前三級無窮大