第一部分 數字游戲

第一章 大數

1.你最大能數到幾？

有這樣一個故事，講的是兩位匈牙利貴族決定玩個游戲，說出最大數的人獲勝。

“這樣，”其中一位說，“你先說出你的數。”

經過幾分鐘的冥思苦想，另一位貴族終于說出他能想到最大的數。“3。”他說道。

現在輪到第一位思考了，但在一刻鐘之后，他決定放棄，他說道：“你贏了。”當然，這兩位匈牙利貴族的智力水平不算高，而這個故事本身可能也只是某種諷刺。但如果此事發生在南非原始部落霍屯督人身上，這個場景就完全有可能出現。實際上，許多非洲探險家證實，許多霍屯督部落的語言中都沒有大于3的數。你可以找一個當地土著，問他有多少個兒子或曾殺過多少敵人，如果該數字大于3，那他就會回答“很多”。因此，就數數水平而言，霍屯督的勇猛戰士比美國幼稚園年齡的孩子還要弱，這些孩子起碼能數到10。

如今，有一種我們習以為常的想法：你想寫多大的數字就能寫多大，無論是用美分來表示戰爭支出，還是用英寸來表示恒星距離，只要在某個數字的右邊放置足夠多的零就可以了。你可以不停地放置零直到手累，甚至眨眼之間你就能得到一個比宇宙總原子數[以目前最大望遠鏡的觀測范圍計算。] 還要大的數，順帶提一下，這個數字是300,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000。

或者你也可以寫成這種簡略形式：3×1074 。

位于10右上角的小數字74表明必須寫多少個0，換句話說，3必須被10乘74次。

但這種“簡明算術”系統在古代并不為人所知。實際上它是由某位不知名的印度數學家，在距今不到2000年時發明的。盡管我們通常意識不到，但這的確是一項偉大的發明！在此項發明出現前，人們對各數位上的數字，是以現今稱為十進制的單位制書寫的，該位上有幾個單位就把特定的符號重復幾次。例如數字8732古埃及人是這么寫的：

而愷撒手下的書記官則會以這種形式來表示它：

MMMMMMMMDCXXXII

后一種計數方式你一定很熟悉，因為至今有時仍會用羅馬數字表示一本書的卷數或章節數，或在宏偉的紀念牌上用來注明歷史事件的日期。然而，由于古代所用計數最大也不過幾千，因此根本用不著更高位的單位符號，所以一個古羅馬人無論多么精通算數，當你要求他寫“一百萬”時他都會非常為難。如若你堅持，他只好花幾個小時連續寫一千個M（圖1）。

對古人而言，諸如天上的星星、海里的魚、海灘上的沙粒，這樣巨大的數字都是“數不清的”；就像“5”對霍屯督人而言是數不清的，只好簡單地表示為“很多”！

圖1 一個古羅馬人，比如愷撒時代的，試著用羅馬數字寫出“一百萬”。但那塊墻板估計連“十萬”都寫不下

公元前3世紀，著名科學家阿基米德開動他那非凡的大腦，提出過寫出真正大數字的方法，他在專著《沙粒計算》（或《詩篇》）中寫道：

有人認為沙粒的數量是數不清的。我說的是不僅在敘拉古和西西里其他地區的沙粒，還包括地球上所有地區的沙粒，無論是聚居區還是無人區。再者，有些人并不認為沙粒數量是數不清的，只是人們說不出一個足夠大數字來描述地球沙粒總量。顯然持這種觀點的人，如果面對一個大小與地球一般大的沙堆，而且所有的海洋和空洞都被沙子填滿，直到最高的山脈，他們將更加確信沒有任何數字可以表達如此堆積起來的沙粒的數目。但我將嘗試證明，我說出的數字，不僅可大過充滿地球體積的沙粒數量，甚至超過與宇宙同尺寸的沙堆的沙粒數量。

阿基米德在其著名著作中提出記錄大數的方法，與現代科學中科學計數法類似。

他從古希臘算術中存在的最大的數字開始：“萬”，或十千。

他引入了一個新的數，“萬萬”（一百兆），他稱為“octade”（億）或者“第二級單位”。

“octade octades”（或億億）稱為“ 第三級單位”，“octade, octade, octades”（億億億）為“第四級單位”，以此類推。

用數頁的篇幅介紹大數字的書寫似乎過于啰唆，但在阿基米德時代，找到寫大數字的方法是一個偉大的發現，這是數學科學進步的重要一步。

要計算填滿整個宇宙所需要的沙粒數量，阿基米德得知道宇宙的大小。在他所處的時代，人們認為宇宙被鑲嵌著群星的水晶球包圍，與他同時代的著名天文學家，薩摩斯的阿里斯塔克斯，推算從地面到宇宙水晶球外圍的距離約為10,000,000,000希臘里（Stadia），或者說大約1,000,000,000英里。[stadia是古希臘的長度單位，1stadia為606英尺6英寸，或188米。]

阿基米德比較完宇宙球和沙粒的尺寸后做了一系列令高中生做噩夢的計算，最終得出如下結論：

“顯然，填滿阿里斯塔丘斯推算的宇宙球空間所需沙粒不超過一千萬個第八級單位。”[用我們的符號表示，這個數字是：或簡寫為1063（即1后面有63個0）。]

需要注意的是，阿基米德估算的宇宙半徑比現代科學家觀測的小得多。10億英里的距離還不夠我們走到土星軌道。稍后我們會了解到目前望遠鏡所能觀測到的宇宙距離現在已達5,000,000,000,000,000,000,000英里，要填滿可觀測宇宙，所需要的沙粒數量將超過10100（1后面100個0）粒。

這顯然比本章開頭提到的宇宙總原子數3×1074大得多，但是別忘了，宇宙并非充滿原子，實際上，平均每立方米空間只有大約1個原子。

但是完全沒有必要這么麻煩，用將整個宇宙填滿沙粒的方法來獲取真正的大數。實際上大數經常出現在那些乍看上去非常簡單的問題中，很多情況下你可能以為用到的最大數也就幾千而已。

印度的舍罕王（Shirham）是大數的受害者之一。相傳，宰相大維齊爾西薩·本·達希爾（Sissa Ben Dahir）發明了象棋并將其進獻給國王，舍罕王打算獎賞他。這位聰明宰相的要求似乎不高，“陛下，”他跪在國王面前說，“請在棋盤的第一格放一粒麥子，第二格放二粒，第三格放四粒，第四格放八粒，以此類推，我的王，后一格比前一格加倍，您就賞我擺滿64格棋盤的麥子吧！”

“我忠實的臣子，你要的并不多！”國王感嘆道，同時暗自竊喜，給神奇游戲的發明者的獎勵花費不太多。“你當然會如愿以償。”然后他命人將一袋小麥搬進大殿。

圖2 嫻熟的數學家大維齊爾西薩·本·達希爾宰相正在向印度舍罕王請求賞賜

計數開始了，第一格放一粒麥子，第二格放二粒，第三格四粒，第四格八粒，一直這樣放下去，但是還沒等放到第二十格，一袋麥子已經用完了。

更多的麥子被搬到國王面前，但每往前一格，所需的麥粒數量迅速增長，大家很快明白，即便用完印度所有的麥子，國王也無法兌現他許給西薩·本·達希爾的獎勵，填滿64個格子需要18,446,744,073,709,551,615粒麥子！[1]

這個數不像宇宙原子總數那么大，但也是非常可觀的。假定1蒲式耳小麥大約是5,000,000顆，滿足西薩·本的要求需要大約4萬億蒲式耳小麥。世界小麥產量大約每年2,000,000,000蒲式耳，宰相要的麥子總量需要全世界生產2000年！

于是，舍罕王發現他欠了宰相好大一筆債，要么忍耐西薩·本·達希爾不斷地要債，要么干脆砍掉他的腦袋。我猜國王應該選擇了后者。

另一個大數唱主角的故事也來自印度，這是個關于“世界末日”的問題。熱愛數學的歷史學家鮑爾（W. W. R. Ball）講述了一個這樣的故事：[2]

在標志著世界中心的貝拿勒雷斯大神廟的圓屋頂之下，放置著一塊黃銅板，板上固定了三根鉆石針，每根針高一肘（大約20英寸），如蜜蜂身體般粗細。創世之時，上帝在其中一根針上放置了64個純金圓盤，最大的圓盤位于黃銅板上，其他圓盤逐漸縮小，直至最頂上的一個。這就是梵天塔。根據梵天固定不變的法則，值班的僧侶日夜不停地將圓盤從一根針轉移到另一根針，按規則，僧侶們一次只能移動一個圓盤，并且針上不允許出現小圓盤在大圓盤下面的情況。當64個圓盤都因此從創世時神所放置的針上轉移到另一根針上時，塔、廟宇和婆羅門都將碎裂成塵土，隨著一聲霹靂，整個世界都將消失。

[1] 聰明宰相所要求的麥子粒數可以表示為：1+21+22+23+24+… +262+263。在數學上，這類每一個數都是前一個數的固定倍數的數列叫作等比數列（在我們這個例子里，這個倍數為2）。可以證明，這種等比數列的所有各項之和，等于固定倍數（在本例中為2）的項數次冪（在本例中為64）減去第一項（此例中為1）所得到的差除以上述固定倍數減1。可以這樣表示：答案即：18,446,744,073,709,551,615。

[2]《數學拾零》W. W. R. 鮑爾（麥克米倫公司，紐約，1939）。

圖3是根據故事情節作的畫，不過它顯示的圓盤數量較少。你可以使用硬紙板代替黃金圓盤，用長鐵釘代替印度傳說中的鉆石針，自行制作這個益智玩具。不難找到移動圓盤的規律：你會發現轉移每個圓盤的所需移動量是上一個圓盤移動量的兩倍。第一個圓盤僅需移動一次，但隨后的每個圓盤所需的移動次數都會以幾何級數增長，因此，到達第64個圓盤時，移動次數便與西薩·本·達希爾要求的小麥粒數一樣多！[1]

圖3 梵天的巨型雕像前一位僧侶在處理“世界末日”問題。此處顯示的黃金圓盤少于64個，因為很難繪制這么多

將梵天塔中的所有64個圓盤從一根針轉移到另一根針需要多長時間？假設僧侶晝夜不息，節假日不休，每秒移動一次。由于一年包含大約31,558,000秒，完成這項工作將需要5,800億年多一點。

[1]如果只有7個圓盤，則需要移動的次數為：1+21+22+23+……，即27-1=2×2×2×2×2×2×2-1=127。

如果你移動圓盤的速度夠快，不出任何錯誤，完成任務大約需要花費你一個小時。對于64個圓盤，所需的移動總次數為：

264-1=18,446,744,073,709,551,615

這與西薩·本·達希爾要求的小麥粒數相同。

將純粹傳說的宇宙持續時間預言與現代科學的預測相比較，結果非常有趣。根據當前的宇宙演化理論，恒星、太陽和包括我們地球在內的行星是在約30億年前由無形物質形成的。我們還知道，給恒星特別是我們的太陽提供能量的“原子燃料”可以再持續100億或150億年。（請參閱《創世日》一章。）因此，我們宇宙的總生命周期肯定短于200億年，而不像從印度傳說中推算的5800億年那么長！但是，畢竟，這僅僅是一個傳說！

文學作品中提到的最大數字可能與著名的“印刷行問題”有關。假設我們建造了一臺印刷機，它能夠一行接一行地連續印刷，并且自動為每一行選擇字母和印刷符號的組合。這樣的機器將由許多單獨的圓盤組成，這些圓盤的整個邊緣都帶有字母和符號，這些圓盤彼此之間的嚙合方式與汽車的里程表中的編號盤相同，因此每個圓盤轉一圈將使下一個向前移動一個位置，每次移動后，來自卷筒的紙張將自動被壓到滾筒上，這樣的自動印刷機制造起來不會有太大的困難，其外觀將如圖4所示的那樣。

圖4 一臺自動印刷機，剛剛正確打印了一行莎士比亞詩句

現在讓我們開動機器，檢查印出來的那些無窮無盡的行。大多數行根本沒有意義。他們看起來像這樣

“aaaaaaaaaaa…… ”

或者：

“boobooboobooboo……”

再或者：

“zawkporpkossscilm……”

但是由于機器會打印所有可能的字母和符號組合，所以我們在無意義的垃圾中發現了各種有意義的句子。當然，有很多無意義的句子，例如

“horse has six legs and……”（馬有六條腿，并且……）或者：

“I like apples cooked in terpentin……”（我喜歡松節油煎蘋果……）

莎士比亞（William Shakespare）寫的每個句子都會被找到，甚至包括他丟入廢紙簍的草稿！

實際上，這樣的自動印刷機可以打印出人們學會書寫后寫下的一切：所有的散文和詩歌，報紙上所有的社論和廣告，每一篇煩瑣的科學論文，每封情書，每條給送牛奶人的留言……

此外，該機器還可以打印出未來數個世紀將要打印的所有內容。從來自滾筒的紙張上，我們可以找到30世紀的詩歌，未來的科學發現，在美國第500屆國會上的演講，以及2344年的星際交通事故記錄。一篇又一篇人類尚未創作出來的短篇小說和長篇小說。擁有這臺機器的出版商們可以將其安裝在地下室里，只需從大量垃圾中選擇好的作品進行編輯即可——反正他們現在差不多也是這么做。

為什么沒人這么做？

好吧，讓我們算一下機器要打印的行數，以展示字母和其他印刷符號的所有可能組合。

英文字母表中有26個字母，10個數字（0、1、2 … 9）和14個常用符號（空格、句號、逗號、冒號、分號、問號、感嘆號、破折號、連字符、引號、方括號、圓括號、大括號），總共50個符號。我們還假設該機器有65個輪子，對應于平均每行65個位置。印刷行可以以任意符號開頭，因此有50種可能。對于這50種可能中的每一種，行中的第二個位置都有50種可能；也就是說總共有50×50=2500種可能性。對于前兩個字母的每個給定組合，我們可以在第三位的50個可能的符號之間進行選擇，依此類推。整行可能的排列總數可以表示為：

或者：5065

這等于：10110

為了感受到這個數字的到底有多大，假設宇宙中的每個原子都是一臺單獨的印刷機，因此我們有3×1074臺同時工作。進一步假設，自宇宙誕生以來，所有這些機器一直在工作，時至今日它們已經運轉了30億年，或1017秒。如果這些印刷機以原子振動的頻率打印，即每秒1015行。到現在為止，它們已經打印了

3×1074×1017×1015=3×10106

行，僅為所需總數的三千分之一。

沒錯！從所有自動打印的材料中挑出點什么確實需要非常非常多的時間！

2. 怎樣計算無窮大

在上一節中，我們討論了數字，其中許多是相當大的。但是，盡管這些數字大到幾乎令人難以置信（像西薩·本·達希爾所要求的小麥粒數之類的），但它們仍然是有限的，并且如果有足夠的時間，人們可以將每一位數都寫出來。

但是一些真正“無窮大”的數字，無論我們花多長時間，都不可能寫完。因此，“所有數字的個數”顯然是無窮大的，同樣“一條線上所有幾何點的個數”也是如此。關于這些數字，除了說它們是無窮大的之外，還有什么方法來描述這些數字呢？或者可以比較兩個不同的無窮大，看看哪個“更大”？

“所有數字的個數和一條線上所有點的個數哪個更大？”諸如此類的問題，乍看之下似乎很荒誕，著名數學家康托爾（Georg Cantor）首先研究了這個問題，他稱得上是“無窮大數算術”的奠基人。

如果我們要討論無窮大的大小，我們將面臨一個問題：比較無法說出、也無法寫下的數字，這或多或少類似于原始部落霍屯督人查看自己的寶箱，想知道自己的財產中玻璃珠或銅幣哪個更多。但是，您應該還記得，原始的霍屯督人最多只能數到3。因為無法計數，他是否應該放棄比較珠子和硬幣數量的所有嘗試呢？完全不必。如果他夠聰明，把珠子和硬幣逐一對比就能得到答案。他會把一枚硬幣和一個珠子放在一起，另一枚硬幣和另一個珠子放在一起，依此類推……如果剩下硬幣但珠子用光了，他就知道自己的硬幣比珠子多。如果硬幣用光了剩下一些珠子，他就知道自己的珠子比硬幣多，如果都用光了，就是硬幣與珠子數量一樣多。

與康托爾比較兩個無窮大的方法完全相同。如果我們能將兩個無窮大集合中的對象配對，使一個無窮大集合的每個對象與另一個無窮大集合的每個對象配對，并且任何一個集合都沒有剩下對象，則兩個無窮大相等。但是，如果其中一個集合中留下了一些未配對的對象，那么我們說這個無窮大集合中的對象比另一個無窮大集合中的對象更多或者說更強。

這顯然是用來比較兩個無窮大數最合理、事實上也是唯一可行的法則。但是當我們開始實際應用的時候，可能還是會大吃一驚。例如，所有偶數的無窮數列和所有奇數的無窮數列都是無窮大的。讓我們先來比較這兩個無窮數。當然，你可以直觀地感覺到偶數和奇數一樣多，這與上述規則完全一致，因為些數字可以建立一一對應關系：

該表中每個偶數與每個奇數相對應，反之亦然；因此，偶數的無窮數列等于奇數的無窮數列。看起來確實很簡單自然！

但是，且等一下！所有整數，包括奇數和偶數的數量和僅僅所有偶數的數量相比，你認為哪一個更大呢？你當然會認為所有整數的數量更大，因為它不僅僅包含了所有偶數的數量，還包含了所有奇數的數量。但這只是你個人的印象而已。你只有運用上述法則將兩個無窮數列進行逐一比較，方可得到準確答案。當你用了該法則，你就會驚訝地發現你的判斷是錯的。實際上，所有的整數與所有的偶數也可以建立一一對應的關系，正如下表所示：

根據我們的無窮大比較法則，我們必須承認所有偶數的數量與所有整數的數量是相等的。當然，這聽起來很矛盾，因為偶數代表所有整數的一部分，但是，別忘了我們這里所處理的是無窮大數，所以必須準備碰到不同的特性。

實際上，在無窮大的世界中，部分可能等于整體！證明這一點最好的例子便是關于德國著名數學家戴維·希爾伯特（David Hilbert）的一個故事。他們說，在他關于無窮大的演講中，他將無窮數的這種自相矛盾的性質用以下詞句表示：[1]

我們假設有一個旅館，其房間數量是有限的，而且所有客房都已住滿。這時新來了一個客人要求入住。店主說：“對不起，我們已經客滿了。”現在，讓我們想象一個有無窮多個房間的旅館，所有房間都已住人。一個新客人來到這家酒店，并要求入住。

“當然沒問題！”業主喊道，他把以前住在1號房間的房客搬到2號房間，2號房間的搬到了3號房間，3號房間的搬到了4號房間，依此類推。新房客住進了經過上面一番移動而騰空的1號房間。

“我們再想象一個有無窮多個房間的旅館，且都已住滿，此時來了無數新客人要求入住。

‘當然可以，先生們，’店主回答，‘稍等一下。’

“他把1號的房客搬到2號，2號的搬到了4號，3號的搬到了6號，等等，等等。”

“現在奇數號的房間都騰出來了，可以輕松安置無窮多的新房客。”

然而，由于希爾伯特講這個故事時正值戰爭時期，即便是在華盛頓，他所描述的情形也很難被人理解。但這個例子顯然說到了點子上：無窮大數的特性與我們在普通算術中所遇到的大不一樣。

按照康托爾比較兩個無窮數的法則，我們現在能證明，所有的像或這樣的所有分數的數量與所有整數的數量是相等的。事實上，我們可以將所有的普通分數按以下規則排成一列：先寫下所有分子與分母之和為2的分數，這樣的分數只有一個，即；然后寫下兩者之和為3的分數：和；接著寫出其和為4的分數：以此類推，我們會得到一個無窮的分數序列，其中包含了所有能想得到的分數（圖5）。現在，在這個分數序列上面寫下整數序列，這樣你就得到了無窮分數序列與無窮整數序列之間的一一對應關系，可見它們的數量是相等的！

[1] 摘自從未出版的但廣為流傳的冊子《希爾伯特故事全集》，該書甚至不是R. 康托爾寫的。

圖5 非洲土著和康托爾（Georg Cantor）教授在比較超出他們計數能力的數字

你可能會說“是啊，這一切都很妙，不過，這是否干脆意味著，所有的無窮大數都是相等的呢？如果真是這樣，比較它們到底有什么用呢？”

不，事實不是這樣的，我們可以輕松地找到比所有整數或所有分數構成的無窮大數還大的無窮數。

實際上，本章前面提到關于一條線段上點的數量與所有整數數量相比的問題，經研究我們會發現這兩個無窮大是不相同的。線段上點的數量要比整數或分數數量多得多。為了證明這一命題，讓我們嘗試建立直線上的點（例如1英寸）和整數序列之間的一一對應關系。

線段上的每個點都可以描述為它與某一端點間的距離，并且該距離可以用無窮小數的形式表示，例如0.7350624780056…或0.38250375632…[1]現在，我們需要比較所有整數數目與所有可能存在的無窮小數的數量。那么上面給出的無窮小數與像這樣的普通分數之間有什么區別呢？

[1] 因為假定這條線段的長度為1，所以這些小數都小于1。

你肯定記得算術課講過，任意普通分數都可以轉換為無限循環小數。因此=0 .66666…=0 .（6），=0.42857 1∣428571∣428571∣4…=0.( 428571)上面我們證明了分數的數量與整數的數量相同；因此，無限循環小數的數量也必與整數的總數量相等。但是，一條直線上的點不一定都能用無限循環小數表示，事實上，在大多數情況下出現的是無限不循環小數，其中的數字根本沒有任何周期性。這就說明，在這種情況下兩個數列不可能一一對應。

假設有人聲稱能做出這樣的排列，它們看起來像這樣：

N

1 0.38602563078……

2 0.57350762050……

3 0.99356753207……

4 0.25763200456……

5 0.00005320562……

6 0.99035638567……

7 0.55522730567……

8 0.05277365642……

…………

…………

當然，由于實際上不可能寫出無窮多個完整的無限小數，因此該表的作者應該遵循了某種通用規則（類似于我們排列普通分數的規則），這才保證了你能想到的每個小數早晚會出現在表格中。

哦，不難證明這種說法是站不住腳的，因為我們總是可以寫出一個無窮小數，而該小數不在該無窮表中。這是怎樣做到的呢？很簡單，只要分數的第一位與表N1中的不同，第二位與表中N2中的不同，依此類推。最后你寫下的數字大概是這樣的：

而且無論怎么往下找，此數字都不包含在表格中。實際上，如果表格的作者告訴你，你寫的該分數位于表格中的137行（或其他任何一行），你可以立即回答：“不，它們不是同一個分數，因為你的分數小數點后第137位與我想到的分數小數點后第137位是不同的。”

因此，一條線段上的點與整數之間無法建立一一對應關系，這意味著直線上的點構成的無窮大數要大于或強于所有整數或分數所構成的無窮大數。

我們一直在討論長度為1英寸的線段上的點，但是現在很容易證明，根據我們的“無窮算術”的規則，任何長度的線段都是如此。實際上，一英寸、一英尺或一米長的線段上都有相同數量的點。為了證明這一點，請參見圖6，該圖比較了不同長度的兩條線段AB和AC上的點數。為了在這兩條線段的點之間建立一一對應關系，我們在線段AB上的每個點上畫一條平行于BC的線，并將交點配對，例如D和D1，E和E1，F和F1，AB上的每個點在AC上都有一個對應點，反之亦然；因此，根據我們的規則，這兩個點的無窮數相等。

通過對無窮數的分析，我們得到了一個更加驚人的結論：平面上所有點的數量等于直線上所有點的數量。為了證明這一點，讓我們考慮一英寸長的線段AB上的點，以及正方形CDEF內的點（圖7）。

假設數字0.75120386……代表線段上的某一點，我們可以把它的奇數位和偶數位的數字先分挑出來再分別合并到一起，我們得到兩個數字：

0.7108……

和0.5236……

在正方形中測量這些數字在水平和垂直方向上給出的距離，并將得到的對應點稱為原線段上原始點的“對應點”。相反，如果我們在正方形中有一個點，其位置由數字來描述是0.4835……和0.9907……，我們通過合并這兩個數字來獲得線上相應“對應點”的位置：0.49893057……

顯然，兩組點在此過程中建立了一對一的關系。線上的每個點都在正方形中有其對應點，正方形中的每個點都在線段上有其對應點，并且不會遺漏任何一個點。因此，根據康托爾準則，正方形內所有點的數量等于線段上所有點的數量。

用類似的方法，很容易證明立方體內所有點的數量與正方形或線段上的點的數量相同。為此，我們只需要將原始的小數分成三部分[1]，再用獲得的三個新小數來定義“對應點”在立方體中的位置。并且，就像兩條不同長度的線段一樣，正方形或立方體內部的點數均相同，與其大小無關。

雖然，幾何點的數量大于整數和分數的數量，但它還不是數學家所知的最大數。實際上，我們已經發現，曲線（包括最不尋常形狀的曲線）的種類比幾何點的數量更大，因此必須用無窮數列的第三級來描述。

“無窮數學”的創立者格奧爾格·康托爾提出，無窮數可用希伯來字母 ?（aleph）來表示，右下角的小數字表示無窮數的等級。數字序列（包括無窮數！）表示如下：

我們說“一條線上有N₁個點或有N₂條不同的曲線”，就像我們說“世界上有7大洲”或“一副撲克牌有52張”一樣。（見圖8）

總結一下我們對無窮數的討論，我們指出無窮數的增長速度極快，很快超越了任何我們能想到的集合。我們知道代表所有整數的數量，代表所有幾何點的數量，代表所有曲線的種類，但是到目前為止，還沒有人能夠構思出任何可用描述的無限集合。似乎前三個無窮數足以應對我們能想到的任何東西，我們會發現目前情況與前面提到的原始霍屯督人正好相反，后者有許多兒子，但最多只能數到三！

[1] 例如，我們可把數字0.735106822548312…… 分成下列三個新小數：

0.71853……

0.30241……

0.56282……

圖8 前三級無窮大