6.2　一個(gè)功利主義社會(huì)網(wǎng)絡(luò)博弈模型

6.2.1　社會(huì)網(wǎng)絡(luò)博弈模型的設(shè)定

首先我們?cè)O(shè)定一個(gè)群體當(dāng)中存在n個(gè)參與者，參與者集合為N。每個(gè)參與者都可能遇到使自己福利提升的機(jī)會(huì)。這個(gè)機(jī)會(huì)可能是獲利前景很好的創(chuàng)業(yè)機(jī)會(huì)，有可能是更好的投資項(xiàng)目，還有可能是更好的工作機(jī)遇。為了把握住這些機(jī)會(huì)，參與者需要付出一定的成本（資金或時(shí)間）。例如，開(kāi)店需要啟動(dòng)資金，投資樓市需要足夠的資金。這些機(jī)會(huì)對(duì)于各個(gè)參與者都是隨機(jī)的。為了更好地把握住將來(lái)可能到來(lái)的機(jī)會(huì)，每個(gè)參與者都希望最大化自己的“資本實(shí)力”，以便在機(jī)會(huì)來(lái)臨時(shí)可以擺脫資本約束。所謂“資本實(shí)力”就是某個(gè)參與者所能動(dòng)用的最大資金量。參與者可以使用自己的資金，也可以向朋友借錢(qián)。所謂“資本約束”就是指資金量的約束，資金量不足會(huì)導(dǎo)致參與者無(wú)法把握住獲利機(jī)會(huì)。

我們的模型關(guān)注的是私人借貸而非金融市場(chǎng)。如果金融體系是完美的，參與者就可以通過(guò)金融機(jī)構(gòu)獲得貸款。但發(fā)展中國(guó)家的金融體系往往是不健全的，個(gè)人不容易獲得貸款。發(fā)展中國(guó)家的居民往往通過(guò)親戚朋友獲得必要的資金，而且很多情況下這些資金是不要利息的（Chen et al.2012）。即便是在金融市場(chǎng)比較完善的發(fā)達(dá)國(guó)家，金融市場(chǎng)也不能完全解決人們?nèi)康馁Y金需求。因此在發(fā)達(dá)國(guó)家，親友之間的私人借貸也扮演著重要的角色。私人借貸對(duì)于個(gè)人擺脫資本約束、把握未來(lái)的機(jī)遇非常重要。這一點(diǎn)在發(fā)展中國(guó)家尤其明顯。

因此，人們?yōu)榱颂岣咦约旱馁Y本實(shí)力而構(gòu)建社會(huì)網(wǎng)絡(luò)（人際網(wǎng)絡(luò)），從而在親友的支持下擺脫資本約束。(60)另外，人際關(guān)系需要維護(hù)，這就產(chǎn)生了維護(hù)關(guān)系的成本。這個(gè)成本可以從不同的角度來(lái)理解，可以是時(shí)間、禮品等等。我們用c_ij來(lái)表示參與者i為了維護(hù)和參與者j之間的關(guān)系所需的成本。如果參與者i為對(duì)方付出的越多，就越能夠強(qiáng)化與參與者j之間的關(guān)系。作為回報(bào)，參與者j會(huì)在i需要的時(shí)候?yàn)槠涮峁┵Y金幫助。j所提供的資金量取決于兩個(gè)因素：j自身的資本實(shí)力以及i對(duì)j的付出（c_ij）。我們用式（6-1）來(lái)表示：

其中ω_ji表示j愿意給i提供的資金量。u_j表示j的資本實(shí)力。f（c_ij）是一個(gè)關(guān)于c_ij的函數(shù)且f（c_ij）∈[0，1]，表示j愿意拿出自己資本實(shí)力（u_j）當(dāng)中的多大比例幫助參與者i。f（ ）是一個(gè)連續(xù)可微，嚴(yán)格遞增的凹函數(shù)（Concave function），f（0）=0，f（＋∞）=1，且（c）=＋∞。這個(gè)假設(shè)意味著，本文的社會(huì)網(wǎng)絡(luò)模型是一個(gè)有向網(wǎng)絡(luò)模型（Directed network），而非分析朋友關(guān)系的傳統(tǒng)的無(wú)向網(wǎng)絡(luò)模型（Undirected kinship network）。在這個(gè)有向網(wǎng)絡(luò)模型中，一個(gè)參與者為了獲得對(duì)方的幫助，需要付出成本，而對(duì)方給予的幫助取決于這個(gè)（單向的）成本。需要注意的是，i能夠從j那里得到資金支持，但同時(shí)j的一部分資本實(shí)力是從i那里得到的。因此，在計(jì)算i的資本實(shí)力時(shí)，必須把重復(fù)計(jì)算的i自身的資本實(shí)力減去。這就是說(shuō)，真正重要的是i從鄰居那里得到的“純收益”[u_j-f（c_ji）u_i]。

在這個(gè)社會(huì)網(wǎng)絡(luò)中，參與者i的資本實(shí)力取決于自有資金和朋友的資本實(shí)力。我們用A_i表示參與者i的自由資金，用u_i表示i的資本實(shí)力，即i可動(dòng)用資金的上限。那么i的資本實(shí)力可以用式（6-2）表示：

其中Ni是一個(gè)集合，集合的元素是網(wǎng)絡(luò)中與i有關(guān)系的參與者（Neighbors），即Ni={j：c_ij>0}。將式（6-2）變形，我們得到u_i的計(jì)算公式（6-3）：

考慮網(wǎng)絡(luò)中的所有參與者，并且將問(wèn)題用矩陣的形式表達(dá)，我們得到式（6-4）：

其中D為n×n對(duì)角矩陣，D_ii=1＋。U為n×1矩陣，表示參與者的資本實(shí)力。A為n×1矩陣，表示參與者的自有資金。C是一描述網(wǎng)絡(luò)關(guān)系的n階方陣（Network graph），c_ij=c_ij。f（C）是一個(gè)n×n方陣，f（C）_ij=f（c_ij）。如果D-f（C）是可逆的，那么U=[D-f（C）]-1A。記M（C）=[D-f（C）]-1，則U=M（C）A。關(guān)于f（　）的設(shè)定條件可以保證D-f（C）是一個(gè)嚴(yán)格的對(duì)角占優(yōu)矩陣（Diagonally dominant matrix），并且對(duì)角線上所有的元素都大于零。而嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣必然存在逆矩陣（Levy-Desplanques Theorem）。根據(jù)Gershgorin Circle Theorem，這個(gè)矩陣所有特征值的實(shí)部均為正。(61)

另外，每個(gè)參與者所付出的成本都要面臨一個(gè)預(yù)算約束，即≤b_i。b_i是指可以用于維護(hù)社會(huì)關(guān)系的資源總量。如果把維護(hù)關(guān)系的成本看作時(shí)間，那么所有參與者面臨的預(yù)算約束都是相等的。但如果把關(guān)系成本理解為禮品，那么參與者的預(yù)算約束就可能與財(cái)富具有相關(guān)性。也就是說(shuō)，自有資金A_i越大，b_i可能就越大。我們將在后文分別討論這兩種情況。那么每個(gè)參與者的目標(biāo)就是如式（6-5）所示的最大化問(wèn)題。

現(xiàn)在我們已經(jīng)完成了對(duì)這個(gè)社會(huì)網(wǎng)絡(luò)博弈模型的描述。下面將對(duì)這個(gè)博弈模型納什均衡的存在性和唯一性進(jìn)行分析。

6.2.2　納什均衡的存在性和唯一性

命題1：本文所描述的社會(huì)網(wǎng)絡(luò)博弈模型存在納什均衡。納什均衡實(shí)現(xiàn)時(shí)，所有參與者的戰(zhàn)略均處于戰(zhàn)略集合的內(nèi)部，從而構(gòu)成一個(gè)完備網(wǎng)絡(luò)（Complete network），且預(yù)算約束對(duì)于所有參與者都是緊的。

命題2：當(dāng)參與者采用適應(yīng)性預(yù)期的博弈模式時(shí)，本文描述的社會(huì)網(wǎng)絡(luò)博弈模型存在唯一的納什均衡。在納什均衡狀態(tài)下，參與者最大化資本實(shí)力的原則是f′（c_ij）[u_j-f（c_ji）u_i]=f′（c_ih）[u_h-f（c_hi）u_i]，并且滿足預(yù)算約束條件=b_i。