導(dǎo)語

歷史上，人類通過種種方式獲得了海量數(shù)學(xué)知識。其中的過程理所當(dāng)然會受到數(shù)學(xué)家的關(guān)注。讓人引以為豪的是，數(shù)學(xué)是最精確的科學(xué)。并且，幾乎還沒有發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)在哪個方面顯得一無是處。古代煉金術(shù)師的幼稚工作讓化學(xué)家無奈苦笑，數(shù)學(xué)家卻發(fā)現(xiàn)，同當(dāng)代任何數(shù)學(xué)研究相比，古希臘幾何學(xué)研究和古印度數(shù)學(xué)運算法則都不落下風(fēng)，令人折服。令數(shù)學(xué)家高興的是，盡管數(shù)學(xué)在歷史上曾有過進展緩慢的時期，但總體上一直在不斷進步。

數(shù)學(xué)的過往令人愉悅，但數(shù)學(xué)史的啟發(fā)性也許不輸其愉悅性。數(shù)學(xué)史不僅使我們意識到當(dāng)前已取得的成就，并且教導(dǎo)我們?nèi)绾卫^續(xù)進步。德·摩根（De Morgan）曾說：“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)早期歷史能夠幫助我們認識到自己的錯誤，因此，我們要讀數(shù)學(xué)史。”數(shù)學(xué)史警示我們，作結(jié)論時不可倉促；數(shù)學(xué)史指出，在科學(xué)發(fā)展過程中，好的注解非常重要；數(shù)學(xué)史的經(jīng)驗表明，一些研究領(lǐng)域表面看起來風(fēng)馬牛不相及，卻可能存在意料之外的聯(lián)系。如此一來，研究者得避免過度專注于個別領(lǐng)域；數(shù)學(xué)史使學(xué)生免于浪費時間和精力去解決可能早已解決的問題或者使用其他數(shù)學(xué)家已證實不可行的方法。數(shù)學(xué)史告訴我們，攻克堡壘不一定非要正面進攻，當(dāng)正面攻擊被擊退后，應(yīng)當(dāng)重新偵察，占領(lǐng)周邊地帶，并找到秘密路徑以攻下看似固若金湯的碉堡。這一戰(zhàn)略原則到底有多重要，違反這一原則又會如何，從下面的事例中可見一斑。

歷史上，數(shù)學(xué)家們在化圓為方的問題上花費了無數(shù)精力，結(jié)果沒有任何直接嘗試有所斬獲。自阿基米德（Archimedes）時代，數(shù)學(xué)家就開始研究這一問題。在無數(shù)次失敗后，即使數(shù)學(xué)家擁有了有史以來最強大的工具——微分，一些優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家還是選擇了放棄，而那些固執(zhí)堅持的人，對該問題的過去一無所知，并且普遍誤解了個中情況。正如德·摩根所說：“我們一直在試圖用老方法也就是歐幾里得假設(shè)來化圓為方，僅此而已。可是，請想一想，什么時候發(fā)生過這樣的事呢？最優(yōu)秀的研究者未能解決一個問題之后，其他研究者又嘗試了相同方法，結(jié)果經(jīng)歷了成千上萬次徹底失敗后，最后反而解決了？”話說回來，化圓為方問題確實已在另一個方向取得了進展。1761年，蘭伯特（Lambert）證明了圓的周長與其直徑之比是無理數(shù)。多年前，林德曼（Lindemann）證明，該比值為超越數(shù)，因此僅靠尺子和圓規(guī)不可能化圓為方。他用有力證據(jù)證實了敏銳的數(shù)學(xué)家早就有過的懷疑。原來，兩千年來，化圓為方大軍一直在進攻一座像大山一樣堅不可摧的堡壘。

數(shù)學(xué)史研究的重要性還體現(xiàn)于對數(shù)學(xué)教師的幫助。如果他們在解題過程和幾何證明的冰冷邏輯中能夠穿插一些歷史評論和軼事，學(xué)生的興趣將會大大增加。在上數(shù)學(xué)課時，學(xué)生聽到一些古巴比倫和印度的數(shù)學(xué)史會很高興，比如“阿拉伯?dāng)?shù)字”的發(fā)現(xiàn)過程。他們會感到不可思議，人類歷史上竟然有數(shù)千年沒有將哥倫布雞蛋也就是“0”引入數(shù)字；他們會大為震驚，現(xiàn)在一個月就可以學(xué)會的符號人們竟然花了這么長時間才發(fā)明出來。當(dāng)他們學(xué)會等分定角后，告訴他們?yōu)榱私鉀Q看似簡單的角三等分問題，多少人曾用初等幾何學(xué)做過無數(shù)徒勞的嘗試，他們八成會被嚇到。當(dāng)他們知道了如何構(gòu)造一個面積為給定正方形面積的2倍的正方形，告訴他們?nèi)绻橇⒎襟w又該怎么辦。告訴他們問題背后的神話淵源，為了平息太陽神阿波羅的怒火，古人試圖建造給定立方體祭壇雙倍體積的祭壇。并且，數(shù)學(xué)家們花了很長時間來解決這一問題。學(xué)生在學(xué)習(xí)勾股定理筋疲力盡之后，不妨向他們講述其發(fā)現(xiàn)者的傳說。據(jù)說，畢達哥拉斯（Pythagoras）為他的這一偉大發(fā)現(xiàn)欣喜若狂，向啟發(fā)他的繆斯女神獻上了百牲祭。如果有人對數(shù)學(xué)訓(xùn)練的價值提出質(zhì)疑，請引用哲學(xué)家柏拉圖的雅典學(xué)園的入口處題詞：“通曉幾何者方可入內(nèi)。”學(xué)生學(xué)習(xí)解析幾何學(xué)時應(yīng)該對笛卡爾（Descartes）有所了解，在學(xué)習(xí)微積分之后，應(yīng)該了解牛頓（Newton）、萊布尼茨（Leibniz）和拉格朗日（Lagrange）在這一工具發(fā)現(xiàn)過程中所起的作用。總而言之，教師大可通過暢談數(shù)學(xué)史讓學(xué)生明白，數(shù)學(xué)并非死氣沉沉，而是一門生氣勃勃、不斷進步的科學(xué)。

亨利·懷特（Henry White）持有類似的觀點：“當(dāng)今人們普遍接受的真理，甚至任何科學(xué)中最平常的真理，在過去都曾是疑問或者新穎的理論。確實，長期以來，一些至關(guān)重要的知識不被重視，幾乎被遺忘。一開始閱讀科學(xué)史，讀者會對過去幾個世紀的黑暗感到詫異，但最終卻會對前輩所取得的成就產(chǎn)生敬仰。一開始，年輕的學(xué)生會輕易假設(shè)，每個代數(shù)方程式理所當(dāng)然必須有一個根，最終，他卻對征服虛數(shù)王國的緩慢過程感到欣喜，對年輕的天才高斯（Gauss）能夠證明這一曾經(jīng)晦澀難懂的基本命題感到高興。”

意義重大的數(shù)學(xué)史，對文明史亦有重要貢獻。人類的進步與科學(xué)思想息息相關(guān)。數(shù)學(xué)和物理研究是科學(xué)進步的可靠證明。數(shù)學(xué)史是一扇窗戶，透過這扇窗戶，哲學(xué)的眼睛可以回顧過往并追溯科學(xué)發(fā)展的路徑。