古代數(shù)學(xué)

古巴比倫數(shù)學(xué)

幼發(fā)拉底河和底格里斯河流域的肥沃谷地是人類文明的發(fā)祥地之一。此地人類的歷史起始于迦勒底亞（Chaldaea）和巴比倫尼亞（Babylonia）的一個(gè)由解體部落建成的王國(guó)。通過(guò)解讀cuneiform或者說(shuō)楔形文字，我們現(xiàn)在已經(jīng)對(duì)當(dāng)?shù)氐倪h(yuǎn)古史有了深入了解。

關(guān)于古巴比倫數(shù)學(xué)，我們從數(shù)字表示法說(shuō)起。在古巴比倫數(shù)字中，垂直的鍥子代表“1”,和分別表示“10”和“100”。格羅特芬德（Grotefend）認(rèn)為“10”的符號(hào)原本是兩只祈禱時(shí)壓在一起的手掌，四指并攏，大拇指伸出。古巴比倫數(shù)字表示法應(yīng)用了兩大法則——加法法則與乘法法則。小于100的數(shù)字需要用多個(gè)符號(hào)的值相加來(lái)表示。因此，表示“2”,表示“3”,表示“4”,表示“23”,表示“30”。此處，高位符號(hào)始終在低位符號(hào)的左側(cè)。另一方面，在寫百位數(shù)時(shí)，在“100”左側(cè)放置了一個(gè)較小的符號(hào)，并且在這種情況下要乘以100。因此，代表“10”乘以“100”，或者“1000”。但是代表“1000”的數(shù)字也被用于表示一個(gè)新單位，同樣，在其左側(cè)也需要放置一個(gè)較小的系數(shù)。因此，表示的不是“20”乘以“100”而是“10”乘以“1000”。在尼普爾（Nippur）的古代神廟圖書館的碑文上發(fā)現(xiàn)的一些楔形數(shù)字大小超過(guò)100萬(wàn)；此外，其中一些尼普爾數(shù)位板應(yīng)用了減法法則（“20-Ⅰ”），類似于羅馬符號(hào)“ⅩⅨ”中所示。

像大多數(shù)權(quán)威專家所認(rèn)為的那樣，古蘇美爾人是楔形文字的發(fā)明者，那么他們很可能也是數(shù)字表示法的發(fā)明者。在這方面，最令人驚訝的是，蘇美爾碑文不僅揭示了上述十進(jìn)制的用法，而且還介紹了六十進(jìn)制的用法。后者主要用于構(gòu)建度量衡表，歷史意義重大。它在整數(shù)和分?jǐn)?shù)表示上的重要發(fā)展，表現(xiàn)出了對(duì)數(shù)學(xué)高度的洞察力。現(xiàn)存的兩塊巴比倫石碑展示了其用途。其中之一可能寫于公元前2300年至前1600年之間，其中包含最高達(dá)602的表。數(shù)字1、4、9、16、25、36、49分別作為前七個(gè)整數(shù)的平方給出。之后是1·4=82, 1·21=92, 1·40=102, 2·1=112。這一部分目前仍然無(wú)法解讀，除非我們假設(shè)這是六十進(jìn)制運(yùn)算。如果是這樣的話，則有1·4=60+4, 1·21=60+21, 2·1=2·60+1。第二個(gè)石碑記錄了月亮從新月到滿月期間月相的大小，整個(gè)月盤被分為240份。前五天的月相為等比數(shù)列5, 10, 20, 40, 1·20（=80）之后，該數(shù)列變成等差數(shù)列，從第五天到第十五天分別是1·20, 1·36, 1·52, 2· 8, 2·24, 2·40, 2·56, 3·28, 3·44, 4。這個(gè)表不僅展示了六十進(jìn)制的用法，還說(shuō)明了巴比倫人對(duì)數(shù)列的熟悉。不容忽略的是，整數(shù)的六十進(jìn)制表示法中遵循了“位值制”。因此，在“1·4（=64）”中，“1”相對(duì)于“4”的位置使它代表二階單位“60”。引入這一原則的時(shí)間之早更加引人注目了，因?yàn)槭M(jìn)制中直到9世紀(jì)才固定引入這一原則。位值制原則在廣泛、系統(tǒng)的應(yīng)用中需要代表零的符號(hào)，那我們不禁要問(wèn)，古巴比倫人有零嗎？他們是否取得如此重大的突破，使用符號(hào)零表示單位的不存在？上述量表都沒(méi)有回答這個(gè)問(wèn)題，因?yàn)樗鼈兣銮蓻](méi)有包含需要使用零的數(shù)字。古巴比倫在許多世紀(jì)后——約公元前200年的一份記錄中包含了一個(gè)零符號(hào)，表示沒(méi)有數(shù)字，但顯然沒(méi)有用于計(jì)算。它包含兩個(gè)角度符號(hào)，一個(gè)在另一個(gè)之上，大致類似于倉(cāng)促寫成的兩個(gè)點(diǎn)。大約在公元130年，亞歷山大的托勒密（Ptolemy，見(jiàn)圖1-1）在《天文學(xué)大成》（Almagest）中使用了古巴比倫的六十進(jìn)制分?jǐn)?shù)，并使用希臘字母歐米克隆“O”（omicron）代表六十進(jìn)制位數(shù)中的空缺。“O”并非作為常規(guī)的零使用。因此，從前面看來(lái)，古巴比倫人采用了位值制，并用零符號(hào)表示空位，但是并未將其用于計(jì)算。他們的六十進(jìn)制分?jǐn)?shù)被引入印度，位值制原則以及對(duì)零的有限使用可能也一并流傳過(guò)去。

古巴比倫分?jǐn)?shù)中也應(yīng)用了六十進(jìn)制。在古巴比倫碑文中，和分別由30和20表示，碑文的作者似乎認(rèn)為，讀者會(huì)自行在數(shù)字前加上“六十分之”。天文學(xué)家希帕克（Hipparchus）、幾何學(xué)家希普西奇（Hypsiclcs）和天文學(xué)家托勒密借用了古巴比倫人的六十進(jìn)制分?jǐn)?shù)，并將其引入希臘。從那時(shí)起，六十進(jìn)制分?jǐn)?shù)在天文和數(shù)學(xué)計(jì)算中幾乎占據(jù)了主導(dǎo)地位，直到16世紀(jì)被十進(jìn)制取代。你可能會(huì)問(wèn)，為什么會(huì)發(fā)明六十進(jìn)制？為什么是60而不是其他數(shù)字？對(duì)此，目前尚無(wú)確切答案。十進(jìn)制選擇了數(shù)字10，是因?yàn)?0代表我們手指的數(shù)目。但是，人體沒(méi)有哪部分和60有關(guān)。那么，六十進(jìn)制可能是起源于天文學(xué)嗎？有一種說(shuō)法是，起初，古巴比倫人推算，1年有360天，因此他們將圓劃分成360份，每1度代表太陽(yáng)每天繞地球旋轉(zhuǎn)的量。他們可能也非常清楚，可以在圓周上作長(zhǎng)度等于半徑的6條弦，每條弦都恰好對(duì)應(yīng)一個(gè)60度的弧度。可能當(dāng)他們?cè)谒伎歼@些角度時(shí)，產(chǎn)生了逢六十進(jìn)一位的想法。因此，當(dāng)計(jì)算精度要求提高，需要對(duì)度進(jìn)一步細(xì)分時(shí)，1度被劃分為60分。這樣一來(lái)，六十進(jìn)制在之前某個(gè)時(shí)間點(diǎn)應(yīng)該已經(jīng)出現(xiàn)。但是，現(xiàn)在已經(jīng)知道，巴比倫人很早就知道1年不止360天。而且，他們極不可能首先選擇360位，然后選擇60位。正常情況下，數(shù)字系統(tǒng)應(yīng)該是從低位發(fā)展到高位。另一種猜想是，六十進(jìn)制是早期六進(jìn)制和十進(jìn)制的混合后的結(jié)果。毫無(wú)疑問(wèn)，六十進(jìn)制系統(tǒng)同天文學(xué)和幾何學(xué)關(guān)系密切。古巴比倫人將1天分為24小時(shí)，1小時(shí)分為60分鐘，1分鐘分為60秒。有充分證據(jù)表明，他們認(rèn)為1天也可以分為60小時(shí)。在數(shù)字符號(hào)、分?jǐn)?shù)、角度和時(shí)間計(jì)量中應(yīng)用六十進(jìn)制展現(xiàn)了一種優(yōu)美的和諧，數(shù)千年來(lái)一直未受破壞。直到印度數(shù)學(xué)家和阿拉伯天文學(xué)家開始使用正弦和余弦表示部分弦，結(jié)果，新的角度單位直角出現(xiàn)了。為了保持一致，本來(lái)應(yīng)該將其按六十進(jìn)制細(xì)分，但實(shí)際上并未如此處理。

如此看來(lái)，底格里斯-幼發(fā)拉底盆地的人們?cè)谒阈g(shù)上取得了非常可觀的成就。他們的等差和等比數(shù)列知識(shí)我們已討論過(guò)。楊布里柯（Iamblichus）認(rèn)為，他們還發(fā)現(xiàn)了比例知識(shí)，甚至還有所謂的音樂(lè)比例。另外，雖然沒(méi)有確鑿的證據(jù)，但我們?nèi)匀挥欣碛上嘈牛麄冊(cè)谟?jì)算中使用了算盤。在中亞各種族中，甚至遠(yuǎn)至中國(guó)，算盤的歷史都與寓言一樣古老。而巴比倫曾是一個(gè)偉大的商業(yè)中心，許多城邦的大都市，因此，有理由認(rèn)為這里的商人曾使用過(guò)這種多次改進(jìn)的計(jì)算輔助工具。

1889年，希爾普雷希特（Hilprecht）開始在努法爾（古尼普爾）進(jìn)行考古發(fā)掘，發(fā)現(xiàn)了含有乘法表、除法表、平方表、平方根表、一個(gè)等比數(shù)列和其他一些計(jì)算的石碑。1906年，他發(fā)表文章描述了他的發(fā)現(xiàn)。

其中一塊石碑中包含的除法運(yùn)算有“604除以2等于每份6480000”“604除以3等于每份4320000”，等等，其中除數(shù)有2、3、4、5、6、8、9、10、12、15、16、18。該石碑上的第一個(gè)除法被解讀為“604除以等于8640000”。此處使用了作為分母，非常奇怪，難以解釋。也許，這里使用的和阿默士（Ahmes）紙草書中發(fā)現(xiàn)的同時(shí)期古埃及使用的相對(duì)應(yīng)。應(yīng)當(dāng)指出，希爾普雷希特在尼普爾（Nippur）石書中發(fā)現(xiàn)的604=12960000神秘程度不輸“柏拉圖（Plato）數(shù)字”，也就是在柏拉圖《理想國(guó)》一書中所提到的“眾生之主”。多半是柏拉圖從畢達(dá)哥拉斯（Pythagoras）學(xué)派得到了這個(gè)數(shù)字，而畢達(dá)哥拉斯學(xué)派則是從古巴比倫人那里知道了這個(gè)數(shù)字。

古巴比倫人的幾何學(xué)成就寥寥可數(shù)。除了根據(jù)半徑將圓周劃分為6等份，再劃分為360度，他們也知道其他的一些幾何知識(shí)，比如將三角形和正方形的幾何知識(shí)，并在占卜中應(yīng)用了這些知識(shí)。像希伯來(lái)人一樣（《圣經(jīng)》列王紀(jì)7：23），他們將π值取為3。此外，他們沒(méi)有留下任何幾何證明記錄。“通常，在東方人的思維中，直覺(jué)的力量遠(yuǎn)大于理性和嚴(yán)密的邏輯。”

希爾普雷希特經(jīng)研究總結(jié)出，古巴比倫人掌握了計(jì)算正方形、長(zhǎng)方形、正三角形和梯形面積的規(guī)則。

古巴比倫的天文學(xué)成就引起了廣泛關(guān)注。在人類歷史的黎明時(shí)期，他們就開始崇拜天體。亞歷山大大帝在阿爾貝拉（Arbela）戰(zhàn)役（前331年）后占領(lǐng)了巴比倫，卡利斯泰尼斯（Callisthenes）在那里發(fā)現(xiàn)一塊燒毀的石板，上面記載了一些天文知識(shí)，記錄時(shí)間可以回溯至公元前2234年。根據(jù)波菲利烏斯（Porphyrius）的說(shuō)法，這些都被送到亞里士多德那里。亞歷山大的天文學(xué)家托勒密擁有一份古巴比倫人的日月食記錄，時(shí)間可追溯至公元前747年。在古巴比倫一個(gè)古老的天文臺(tái)上，人們發(fā)現(xiàn)了一些刻有楔形文字的石碑，埃平（Epping）和斯特拉斯麥爾（Strasmaier）解讀了上面記載的公元前123年和公元前111年的兩部歷法，因而我們對(duì)古巴比倫年表和天文學(xué)有了相當(dāng)了解。這些學(xué)者成功地描述了古巴比倫計(jì)算新月和滿月的方法，并通過(guò)計(jì)算確定了各行星、黃道十二宮，以及28個(gè)正常恒星的古巴比倫名稱，它們?cè)谀撤N程度上與古印度的“二十八宿”相對(duì)應(yīng)。最后，我們將一份由奧佩爾（Oppert）翻譯的亞述人的天文報(bào)告部分摘錄于下：

致國(guó)王陛下大人，您忠實(shí)的仆人，瑪·伊斯塔。

……第一天，當(dāng)搭模斯月（Thammuz）的新月升起，月亮再一次出現(xiàn)在水星之上，非常清晰，就像我之前向您指出的那樣。您看，我并沒(méi)有說(shuō)錯(cuò)。