Arithmetic / 算術

對我們每一個人來說, 數(shù)學都是從算術開始的, 這本書也是一樣。如我們所知, 算術研究的是最基礎的數(shù)量概念, 如整數(shù)。談到最具普遍意義的數(shù)學思想, 那就是區(qū)分個體數(shù)目的思想, 也就是“計數(shù)”。

“上帝創(chuàng)造了整數(shù), 其他一切都由人制造。”[1]利奧波德 ? 克羅內(nèi)克爾（Leopold Kronecker）這句名言揭示了整數(shù)的內(nèi)在必然性以及它們無可否認的自然性。如果我們把數(shù)學比作一個龐大的管弦樂隊, 那么整數(shù)系就應該被比作一面大鼓：簡單、直接、反復, 為所有其他樂器提供基礎節(jié)奏。的確, 也有更加復雜的概念, 可以比作“數(shù)學雙簧管”“數(shù)學圓號”和“數(shù)學大提琴”, 我們將在后面的章節(jié)中研究其中的一些概念。但是, 整數(shù)總是根基。

數(shù)學家稱這些無窮無盡的為正整數(shù), 或更形象地稱其為自然數(shù)。在認識了它們并為它們起好名字之后, 我們的注意力就轉(zhuǎn)向了如何利用一些重要的方法把它們結(jié)合起來。最基礎的方法就是加法。這一運算不僅基礎, 而且很自然, 因為這些數(shù)是一個一個累加而成的, 即2=1+1, 3=2+1, 4=3+1, 以此類推。正如強壯的純種馬“天生就會跑”一樣, 自然數(shù)也是“天生就會加”。

上小學的時候, 我們先是（幾乎）無休止地把數(shù)加起來, 然后做相反的運算, 或者說是逆運算：減法。接下來就是乘法和除法, 這期間似乎沒有一天停止過訓練。經(jīng)過多年這樣的教育, 孩子們對算術運算的掌握程度仍然參差不齊, 盡管花7.95美元買來的計算器眨眼工夫就能毫無偏差地完成計算, 但人們并沒有因此而放棄這種訓練。遺憾的是, 對大多數(shù)年輕人來說, 做算術題已變成了操練和苦差事的代名詞。

然而, 在不久之前, 算術一詞不僅包含加減乘除這些基本運算, 而且還包含整數(shù)的一些較深層次的性質(zhì)。例如, 歐洲人所說的“高級算術”實際上就是“更難的算術”的意思。今天更貼切的術語是數(shù)論。

盡管這門學科涉及的內(nèi)容博大精深, 但是它多少還是以質(zhì)數(shù)概念為主的。如果一個整數(shù)比1大, 而且不能寫成更小的整數(shù)之積, 那么這個整數(shù)就是質(zhì)數(shù)。因此, 前十個質(zhì)數(shù)是2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29。這其中任何一個數(shù)都沒有除了1和它本身之外的正整數(shù)因子。

愛爭論的讀者也許會說17可以寫成兩個數(shù)的積, 例如或者。但是這些情況下的因子不都是整數(shù)。必須記住的是, 數(shù)論中的主角是由整數(shù)來扮演的, 整數(shù)的那些更復雜、更遠房的“表親”——分數(shù)、無理數(shù)和虛數(shù), 都只能委身幕后, 在一旁干著急。

如果一個比1大的整數(shù)不是質(zhì)數(shù), 也就是說, 如果一個數(shù)有除了1和它本身之外的整數(shù)因子, 那么我們就稱它為合數(shù)。或者就是合數(shù)的例子。我們認為整數(shù)1既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)——原因很快就會揭曉。因此最小的質(zhì)數(shù)是2。

使這些概念形象化的一個簡單且常用的方法, 就是想象必須排成矩形的一塊塊正方形地磚。如果有12塊這樣的地磚, 我們就有很多不同的方法把它們排成矩形, 如圖A-1所示。當然, 這是因為, 或者, 或者（這里我們不區(qū)分和, 因為在兩種情況下, 最終地板的形狀相同, 只不過一個是對另一個的旋轉(zhuǎn)）。同樣, 48塊地磚能夠產(chǎn)生5種不同的排列方案, 其對應的分解方案是。

圖A-1

如果是7塊地磚, 我們有且只能有一種方案, 即, 如圖A-2所示。如果有人非要用7塊地磚來鋪一間房, 那么這間房子一定是又窄又長的。根據(jù)這個例子我們可以說, 如果一個整數(shù)只有一種分解方案, 那么這個數(shù)就是質(zhì)數(shù)。如果一個整數(shù)有多種分解方案, 那么這個數(shù)就是合數(shù)。

圖A-2

質(zhì)數(shù)雖然是高級算術的核心, 但它們也是導致數(shù)學深奧難懂的根源之一。理由很簡單：盡管整數(shù)是通過加法運算逐一構造出來的, 但質(zhì)數(shù)和合數(shù)的問題向數(shù)學中引入了乘法。數(shù)論之難（當然, 還有之美）, 就在于數(shù)學家試圖從乘法運算的角度來理解加法運算的結(jié)果。

因此, 自然數(shù)就像離開了水的魚一樣。它們是加法運算的產(chǎn)物, 卻身處陌生的乘法環(huán)境之中。當然, 在絕望地放棄整個事業(yè)之前, 我們應該回想一下3億5000萬年前。那時候, 魚的確離開了水, 而且同樣是在一個陌生的世界里徒勞無益地翕動著它們的鰓；接著, 這些魚逐漸進化成兩棲類、爬行類、鳥類、哺乳動物和數(shù)學家。有時候, 一個新的不利的環(huán)境能夠造就完全不一樣的結(jié)果。

如果不是因為算術基本定理（注意, 這里的算術一詞使用的是其更廣泛的意義）這個著名的結(jié)果, 質(zhì)數(shù)也許不會在數(shù)論中占據(jù)中心位置。算術基本定理, 顧名思義, 就是整個數(shù)學中最基本、最重要的一個命題, 其內(nèi)容如下。

算術基本定理：任何正整數(shù)（1除外）都能夠用一種方式且只能用一種方式寫成質(zhì)數(shù)之積。

這個論斷是一把雙刃劍：首先, 我們可以把任意的整數(shù)表示成質(zhì)數(shù)的積；其次, 只有一種表示方式。這必然引出這樣的結(jié)論：質(zhì)數(shù)是乘法的基本元素, 所有整數(shù)都是由這些基本元素構成的, 質(zhì)數(shù)的重要性不言而喻。質(zhì)數(shù)的角色與化學元素的角色類似, 因為正像任何自然化合物都是元素周期表中的92種（或者100多種, 其中包括在實驗室中制造出來的元素）自然元素的某種組合一樣, 任何一個整數(shù)都可以分解成它的質(zhì)因數(shù)之積。我們稱為水的化合物分子（）可以分解成兩個氫原子和一個氧原子。類似地, “化合數(shù)”（即合數(shù)）45可以分解成兩個質(zhì)因數(shù)3和一個質(zhì)因數(shù)5之積。模仿水的化學記法, 我可以把45寫成, 然而數(shù)學家更喜歡指數(shù)形式。

但是, 算術基本定理不僅給出了質(zhì)數(shù)分解。同等重要的是, 它能夠確保這種分解的唯一性。如果一個人確定92365的質(zhì)數(shù)分解為, 那么他的同行, 無論在隔壁房間還是在其他國家工作, 無論是在今天還是在1000個世紀之后, 必定給出完全相同的質(zhì)數(shù)分解。

這令數(shù)學家非常滿意。同樣, 下面的情況也令化學家感到滿意：當一名化學家把一個水分子分解成一個氧原子和兩個氫原子時, 其他化學家絕不可能把這個水分子分解成一個鉛原子和兩個鉬原子。如同化學元素一樣, 質(zhì)數(shù)不僅是基本元素, 而且是唯一的基本元素。

有必要提一下, 我們希望因子分解具有唯一性, 所以我們把1從質(zhì)數(shù)中排除。這是因為, 如果把1歸類為質(zhì)數(shù), 那么數(shù)14可能的質(zhì)數(shù)分解是以及不同的質(zhì)數(shù)分解, 。質(zhì)數(shù)因子分解的唯一性不復存在。所以數(shù)學家認為給1一個特殊的角色會更好些。它既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù), 被稱為單位。

面對一個正整數(shù), 數(shù)學家可能希望確定它是質(zhì)數(shù)還是合數(shù), 當它是合數(shù)時, 接下來就要尋找它的質(zhì)因數(shù)。有時候, 這個問題很簡單。任何一個偶數(shù)（大于2）顯然不是質(zhì)數(shù), 因為它有一個因子2；任何一個個位是5（大于5）或0（非0）的整數(shù)也是合數(shù)。除此之外, 確定質(zhì)數(shù)性質(zhì)問題就相對比較困難。例如, 誰能確定數(shù)4 294 967 297和4 827 507 229}哪個是質(zhì)數(shù), 哪個不是質(zhì)數(shù)嗎？[1]

19世紀的數(shù)學家卡爾 ? 弗里德里希 ? 高斯（1777—1855）也許是他那個時代最偉大的數(shù)論學家, 在1801年的一部杰作《算術研究》中, 他非常簡潔地描述了這個問題：

從古希臘人到現(xiàn)代數(shù)論學家, 在2400多年間, 數(shù)學家們義無反顧地撲向這一類問題, 就如同飛蛾撲火, 前仆后繼。沿途眾學者們創(chuàng)造出關于質(zhì)數(shù)的很多猜測。其中一些已經(jīng)解決, 另一些至今仍懸而未解, 而且有相當數(shù)量的問題還沒有得到解決。

例如, 法國神學家馬林 ? 梅森（1588—1648）在1644年提出了一個很有趣的問題。梅森在17世紀科學史中扮演了重要的角色, 這不僅是因為他對數(shù)論做出了諸多貢獻, 而且因為他扮演了數(shù)學家之間的信息交換平臺的角色。當學者們對數(shù)學現(xiàn)狀比較關心或者對某個問題感到困惑時, 他們就寫信給梅森, 而梅森要么知道其答案, 要么把他們直接引薦給某位可能做出解答的權威。在科學會議、專業(yè)期刊以及電子郵件出現(xiàn)之前的那個時代, 這樣的信息交流通道的價值是無法估量的。

梅森癡迷于形如的數(shù), 即比2的某個冪少1的數(shù)。今天為了紀念他, 我們把這樣的數(shù)稱為梅森數(shù)。顯然, 所有這樣的數(shù)都是奇數(shù)。更重要的是, 它們之中有一些是質(zhì)數(shù)。

梅森馬上發(fā)現(xiàn), 如果是合數(shù), 那么也一定是合數(shù)。例如, 如果, 那么這個梅森數(shù)是一個合數(shù)（因為12是合數(shù)）；對于合數(shù), 同樣不是一個質(zhì)數(shù)。

然而, 當冪是質(zhì)數(shù)時, 情況就不是這么顯然了。設, 產(chǎn)生的“梅森數(shù)”分別是。但是, 如果用質(zhì)數(shù)作冪, 我們得到；而這個數(shù)是23與89的積, 因此它是一個合數(shù)。梅森充分認識到, 是一個質(zhì)數(shù)不能保證也是一個質(zhì)數(shù)。事實上, 他斷言：“對2與257之間的質(zhì)數(shù)而言, 使是質(zhì)數(shù)的質(zhì)數(shù)只有。”[3]

遺憾的是, 梅森前輩的結(jié)論有不合理和缺失的地方。例如, 他漏掉了數(shù)是一個質(zhì)數(shù)。另外, 有人已經(jīng)證明根本不是一個質(zhì)數(shù)。1876年愛德華 ? 盧卡斯（Edouard Lucas, 1842—1891）證明了這一事實, 他使用了某個論據(jù)證明了這個數(shù)是合數(shù), 但這個論據(jù)不是很直接, 因為它不能很明確地展示出任何因子。因此在某種意義上, 的故事仍然很不完整, 但是對這一故事的最后部分值得再說兩句。

那是在1903年, 背景是美國數(shù)學學會的一次會議。哥倫比亞大學的弗蘭克 ? 納爾遜 ? 柯爾（Frank Nelson Cole）是日程安排的演講者之一。當輪到他上臺時, 柯爾走到會議室的前臺, 靜靜地把2與它自己相乘67次, 再減去1, 得到一個巨大的結(jié)果147 573 952 589 676 412 927。在見證了這樣沉默無語的計算之后, 迷迷糊糊的觀眾接下來看到柯爾在黑板上寫道

他仍舊沉默地計算著。這個積不是別的數(shù), 正是

柯爾落座。他完美地演出了一幕啞劇。

在座的觀眾目睹了把梅森數(shù)明明白白分解成兩個大因子的過程, 他們一度像柯爾一樣啞口無語。隨后, 他們送上了熱烈的掌聲, 并站起來向他祝賀！希望這掌聲能夠溫暖柯爾的心, 因為后來他承認他為此已經(jīng)計算了二十年。[4]

盡管有了柯爾的因子分解, 但梅森數(shù)仍然是質(zhì)數(shù)的源泉。幾乎可以肯定, 當一家報紙宣布找到一個新的“最大”質(zhì)數(shù)時, 它一定是的形式。例如1992年, 已知最大的質(zhì)數(shù)是, 這是一個有227832位的龐然大物。[5]但如何確定哪些梅森數(shù)是質(zhì)數(shù), 哪些是合數(shù), 仍舊是數(shù)論的一個未解問題。

梅森數(shù)出現(xiàn)在另一個質(zhì)數(shù)故事中。在19世紀中期, 法國數(shù)學家德 ? 波利尼亞克（De Polignac）聲稱：

例如, 15可以寫成, 而, 。盡管德 ? 波利尼亞克沒有聲明已經(jīng)對他的猜測給出了證明, 但是他表示已經(jīng)檢驗了300萬以內(nèi)的所有奇數(shù)。

因為2的任意冪都不可能在它的質(zhì)因數(shù)分解里有奇數(shù), 所以這樣的冪可以說成是所有數(shù)中最純粹的偶數(shù)。德 ? 波利尼亞克的陳述說明任意奇數(shù)可以由一個質(zhì)數(shù)（這個基本的構造塊）加上一個純偶數(shù)的2的冪構建而成。這是一個大膽的陳述。

而它也絕對是錯誤的。如果德 ? 波利尼亞克真的花了足夠的時間對他的猜測做了上百萬次的檢驗, 那么我們只能同情他, 因為一個相對較小的梅森數(shù)127就反駁了他的結(jié)論——我們沒法把127寫成2的冪加上一個質(zhì)數(shù)。如果我們用各種可能的方式把127分解成2的冪和一個余數(shù), 就會發(fā)現(xiàn)這個余數(shù)不是質(zhì)數(shù), 因此, 他顯然錯了。

（因為大于127, 所以我們無須再進一步計算了。）今天, 德 ? 波利尼亞克的猜測已被扔入數(shù)論的垃圾堆之中, 因為他沒有注意到就在眼前的一個反例。就如同19世紀嘗試撲翼飛行的人一樣, 他野心勃勃的主張從來就沒有飛離地面。

我們已經(jīng)把化學元素的唯一分解與整數(shù)的唯一質(zhì)數(shù)分解對應起來。盡管這種化學類比很有幫助, 但是僅就一點它就失效了, 因為歷史上所有化學家的全部實驗室的工作成果也不過提供了區(qū)區(qū)100多種元素, 而質(zhì)數(shù)是無窮的。雖說元素周期表能夠占滿一面墻, 但是類似的質(zhì)數(shù)表則需要一面可以無限延伸的墻。

質(zhì)數(shù)無窮性的最早證明是古希臘數(shù)學家歐幾里得（大約公元前300年）給出的, 這一證明出現(xiàn)在他的巨作《幾何原本》之中。[7]下面我們給出他的證明的一個修改后的版本, 但是它仍然保留了原來證明的獨特的優(yōu)美之處。

為了能夠理解這一推導過程, 需要兩個數(shù)論的預備結(jié)果, 它們都不是很難。第一個是對于任意一個整數(shù), 的兩個倍數(shù)之差仍然是的倍數(shù)。用符號表示, 如果和是的兩個倍數(shù), 那么也是的倍數(shù)。例如, 70和21都是7的倍數(shù), 那么它們的差也是7的倍數(shù)；同樣, 216和72都是9的倍數(shù), 那么它們的差也是9的倍數(shù)。這里沒有給出這一事實的一般證明, 但是證明過程真的很簡單。

第二個預備結(jié)果也同樣非常初等。它說的是任意合數(shù)至少有一個質(zhì)因數(shù)。同樣, 我們還是用例子加以說明。合數(shù)39有質(zhì)因數(shù)3, 合數(shù)323有質(zhì)因數(shù)17, 合數(shù)25有質(zhì)因數(shù)5。歐幾里得在他的《幾何原本》第七卷的命題31中對這個定理給出了一個非常巧妙的證明。

除此之外, 證明質(zhì)數(shù)無窮性的必備知識是能夠理解利用矛盾的證明方法。這種證明方法需要我們理解最基礎的邏輯二分法：一個陳述或為真或為假。

論證一個命題為真的一種方法就是直接對它加以證明。這是顯然的（也是一種直白的傳統(tǒng)方法）。還有一種不同但同樣顯然的方法就是所謂的反證法, 這種證明是假設陳述為假, 然后從這一假設出發(fā), 利用邏輯規(guī)則去得出不可能的結(jié)果。這樣一個結(jié)果的出現(xiàn)表明在整個推理過程中的某個地方出現(xiàn)了錯誤, 如果我們的推理步驟是正確的, 那么唯一可能出現(xiàn)問題的地方就是最開始的“陳述為假”的假設。因此我們必須駁回這一假設, 上面說的二分法給我們留下唯一的一種可能性：這個陳述一定是真的。不可否認, 這種間接性似乎讓人感覺很奇怪, 而這種迂回策略似乎也讓人覺得沒必要。為了強調(diào)這種間接性, 在證明質(zhì)數(shù)無窮性之前, 我們先考慮一個例子。

假設我們要研究既是完全平方數(shù)又是完全立方數(shù)的數(shù), 如64是和, 729是和。這樣的數(shù)被稱為sqube。我們的目標是要證明下面的定理。

定理　有無窮多個sqube。

證明　這是一個簡單且非常直接的證明。我們僅通過觀察就知道, 如果是一個整數(shù), 那么有是一個完全平方數(shù), 而且是一個完全立方數(shù)。所以我們通過觀察得到無窮多的sqube

顯然這個過程可以無限地持續(xù)下去, 因為每選擇一個不同的都能產(chǎn)生一個新的不同的。因此sqube的無窮性就直接被證明了。

遺憾的是, 為了證明質(zhì)數(shù)的無窮性, 我們卻沒有這樣直接的選擇。無論是歐幾里得還是其他人都沒有像我們從出發(fā)構建出sqube那樣構建出質(zhì)數(shù)。我們不能采用正面進攻, 而是必須采用一種非直接的進攻方式——反證法, 這一方法更巧妙、更聰明, 而且更優(yōu)美。事實上, 這種證明通常充當數(shù)學敏感度的試金石：那些對數(shù)學上癮的人覺得它令人激動得流淚, 而那些沒有此癮的人則認為它令人頭痛得流淚。我們讓讀者自己做個判斷吧。

定理　存在無窮多個質(zhì)數(shù)。

證明　（反證法）假設只有有限個質(zhì)數(shù), 并假設它們被記為。這個集合可能包含400個或400000個質(zhì)數(shù), 但是我們假設它把全部質(zhì)數(shù)都包含進來。現(xiàn)在我們開始引出一個矛盾。

把這些質(zhì)數(shù)乘起來, 然后再加1得到一個新數(shù)

注意, 因為我們僅有有限個質(zhì)數(shù), 因此能夠把它們按這種方式乘起來, 而無窮多個質(zhì)數(shù)是不能這樣乘起來的。顯然, 比中任何一個質(zhì)數(shù)都大, 所以與它們都不相同。因為只有有限個質(zhì)數(shù), 所以我們得出結(jié)論不是一個質(zhì)數(shù)。

這表明是一個合數(shù)。通過前面的第二個預備結(jié)果, 我們知道有一個質(zhì)因數(shù)。因為我們假設構成了世界上的所有質(zhì)數(shù), 所以的這個質(zhì)因數(shù)一定是其中的某一個。

換句話說, 是質(zhì)數(shù)中某一個質(zhì)數(shù)的倍數(shù)。到底是哪個質(zhì)數(shù)無關緊要, 但是為了具體起見, 假設是的倍數(shù)。顯然積也是的倍數(shù), 因為是其中的一個因子。根據(jù)上面提到的第一個預備知識, 與的差還是的倍數(shù)。但是我們定義只比這個積大1, 所以這個差是1。

因此我們得出結(jié)論：1是（或的任何其他質(zhì)因數(shù)）的倍數(shù)。這顯然是不可能的, 因為最小的質(zhì)數(shù)是2, 所以1不可能是任意質(zhì)數(shù)的倍數(shù)。這里出現(xiàn)了問題。

當我們沿著這一證明返回去的時候, 就會明白唯一可能出現(xiàn)問題的是我們最初假設有有限個質(zhì)數(shù)。因此我們必須拒絕這個假設并通過反證法得出質(zhì)數(shù)的數(shù)目必定無窮的結(jié)論。證明完畢。

這段完美的推理是初等的, 但其意義深刻。它保證質(zhì)數(shù)是無窮無盡的。在最強大的計算機證明了是質(zhì)數(shù)之后, 我們就能夠很得意地說更大的質(zhì)數(shù), 或者說無窮多個更大的質(zhì)數(shù)仍舊沒有發(fā)現(xiàn)。即便我們不能夠指出那些更大的質(zhì)數(shù)中的某一個質(zhì)數(shù), 但是沒有人認為我們是含糊其詞。多虧了邏輯和反證法證明的巧妙, 我們知道了這些質(zhì)數(shù)的存在。

正因為數(shù)論含有這些如此簡單而美妙的結(jié)果, 所以對于很多年輕學者來說, 這是他們進入更高級數(shù)學的切入點。美國數(shù)學家朱莉婭 ? 羅賓遜（Julia Robinson, 1919—1985）就是其中的一個。1970年, 羅賓遜是解決了“希爾伯特第十問題”的三位學者之一。這個問題是數(shù)論中一個很難的問題, 自戴維 ? 希爾伯特（David Hilbert, 1862—1943）七十年前提出以來一直沒有得到解決。在少年時期, 羅賓遜就沉迷于整數(shù)的美妙特性之中。“我對整數(shù)的某些定理尤其感到興奮, ”她寫道, “我經(jīng)常在晚上上床之后, 把這些定理講給康斯坦斯（她的姐姐）聽。不久她發(fā)現(xiàn), 每當她不想睡覺時就可以問數(shù)學問題來讓我保持清醒。”[8]

還有一位匈牙利數(shù)學家保羅 ? 埃爾德什（Paul Erd?s, 1913—1996）在回首一生時說：“當我十歲時, 我的父親給我講了歐幾里得的證明 (質(zhì)數(shù)無窮性的證明), 從此我就上癮了。”[9]

埃爾德什在青年時代取得了如此多的學術成就, 因此在社會上受到多方保護。在17歲的年齡, 大多數(shù)大一新生只是單純期望順利度過青春期, 而埃爾德什卻在此時因為給出了兩個整數(shù)與之間至少存在一個質(zhì)數(shù)的證明而在數(shù)學界贏得了聲譽。例如8和16之間一定存在質(zhì)數(shù), 而80億和160億之間也一定存在質(zhì)數(shù)。

這似乎不是一個太引人注目的定理。的確, 幾乎在一個世紀前, 它已經(jīng)被一位俄羅斯的數(shù)學家切比雪夫（Pafnuty Lvovich Chebyshev, 在數(shù)學文獻上這個名字的英文有時被拼寫成Chebychev、Tchebysheff、Cebysev或Tshebychev, 這應該屬于翻譯錯誤而不是因偏愛出現(xiàn)的混亂）證明了。但是切比雪夫的證明非常復雜。埃爾德什的證明令人吃驚的地方是, 它如此簡單, 而且出自一位如此年輕的人之手。

這里順便提一下, 他的定理給出了質(zhì)數(shù)無窮性的另一種證明, 因為它保證2和4之間, 4和8之間, 8和16之間等都有質(zhì)數(shù)。如同我們能夠永遠把數(shù)翻番一樣, 質(zhì)數(shù)也一定是無窮的。

這是保羅 ? 埃爾德什眾多定理中的第一個, 他是20世紀最多產(chǎn)或許也是最古怪的數(shù)學家。甚至在這樣一個違反常規(guī)的行為被視作正常行為的行業(yè)中, 埃爾德什也是一個傳奇人物。例如, 這位年輕人受到百般的愛護, 到了21歲, 也就是在給出上面提到的關于質(zhì)數(shù)的定理的四年后, 他才第一次自己往面包上涂黃油。后來他回憶說：“那時我剛到英格蘭去學習。有一天, 在用下午茶時, 桌子上放了面包。我實在不太好意思承認我從來沒有涂過黃油, 于是我嘗試著做。這不太難。”[10]

同樣不尋常的是埃爾德什沒有固定的住所。他游遍世界各地的數(shù)學研究中心, 拎著手提箱到處走, 并且堅信每到一處都會有人留他過夜。由于他不間斷地四處游歷, 這位漂泊的數(shù)學家與很多同行合作, 聯(lián)合發(fā)表了很多文章, 這在歷史上無人能及。他就是一條《圣經(jīng)》諺語的寫照：人不能僅靠（涂黃油的）面包活著。

作為回報, 數(shù)學界想出了一種出奇的東西來肯定他帶來的影響：埃爾德什數(shù)。[11]埃爾德什本人有埃爾德什數(shù)0；任意與埃爾德什聯(lián)合發(fā)表文章的數(shù)學家有埃爾德什數(shù)1；沒有直接與埃爾德什合作, 但與直接與埃爾德什合作發(fā)表過文章的人合作發(fā)表過文章的數(shù)學家有埃爾德什數(shù)2；與有埃爾德什數(shù)2的人合作發(fā)表過文章的人有埃爾德什數(shù)3；以此類推。就如同一棵巨大的橡樹一樣, 這棵埃爾德什樹跨越了整個數(shù)學界。

這樣, 有了質(zhì)數(shù)、合數(shù)、梅森數(shù)乃至埃爾德什數(shù), 很顯然, 人類對數(shù)論的熱情沒有熄滅的危險。對從高斯到羅賓遜, 從歐幾里得到埃爾德什這眾多的數(shù)學家來說, 數(shù)學中沒有哪一部分能像高級算術那樣美妙、優(yōu)雅、充滿無窮的魅力。

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[1]641可整除4 294 967 297；另一個數(shù)是質(zhì)數(shù)。參見D. 韋爾斯的《奇特有趣的企鵝數(shù)字詞典》（David Wells, The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers）。