6.3　光錐規范量子化

回顧一下4.3節中關于玻色弦理論給出的超弦分析。首先，我們量子化了自由幽靈（而非明顯協變的光錐規范中的理論），并證明洛倫茲不變性對于D=10和a=1/2有效。其次，我們證明了協變形式（而非明顯的自由幽靈）實際上等價于光錐形式和自由幽靈。這又涉及無質量玻色-發射頂點的使用及縱向算符生成物理譜線的問題。我們將繼續研究下去，首先證明時空超對稱的問題。

6.3.1　光錐規范

在第4章中，我們看到在協變規范中，也有殘留的規范不變性，如光錐規范。到目前為止，我們已經討論過的RNS模型真正是一個具有局域世界片超對稱的庫侖規范模型，我們將在6.3.5節中將其公式化。我們已在第4章中看到，玻色弦理論再參量化的不變性允許我們強加一個額外的規范條件——光錐規范。本節我們將討論類似于光錐規范的公式。

在玻色弦理論中，剩余的保持協變規范選擇不變性的再參量化恰恰足以測量所有非零模振子的“+”分量，因此只要滿足兩維波函數，就有

該論證在當前情況下同樣適用。然而，現在也存在運用局域超對稱變換的自由，這一變換保存了規范選擇。于是我們可以取規范選擇：

由于，作為一個一致性檢驗，在整體超對稱變換

中，在規范選擇中并不改變。

我們從玻色開弦扇區開始。對于σ>0，定義；對于σ<0，定義。的模展開式由式（6.2.58）給出。閉弦的對應展開式包括具有雙指數的模。根據第4章不難得到。輔助約束條件暗示了的消失，而取形式

以及

給定規范選擇和，這些方程的光錐分量和可以求解：

按照傅里葉模的形式，有

與6.2.2節中的公式比較，滿足含異常項的超-維拉宿代數：

光錐規范與一般情況下的量子結構并不一致。正如在玻色子理論中要求洛倫茲代數滿足光錐規范一樣，我們能夠推斷出時空維數D和參數a的限制。將代入式（6.2.16）的協變表達式和式（6.2.17），有

式中，

而由式（6.3.8）給出。正如在玻色弦理論中，容易證明洛倫茲生成子

滿足通常的洛倫茲代數，除了，因為假定該式為零。

證明的方法與4.3.1節中討論玻色弦理論所使用的方法相同。作為經典理論的洛倫茲不變性會導致一個結果：振子中的四次項必須刪除。定義，得，將它代入式（6.3.16），并將指標“μν”替換為“i-”，則有

依照4.3.1節的方法進行相同操作，得

式中，

與先前結果的區別源于對易子異常項的變化。利用恒等式

以及

可以推斷出：

比較這些結果，我們看到洛倫茲代數僅滿足D=10和a=1/2的情況。

若把弦離散成一系列的點，如，則場函數成為

若取N→∞，則弦函數同時是弦上每一點的函數。首先定義赫爾伯特空間的弦激發。用諧振子來擴展場是方便的，這時有

由此我們將發現一次與二次量子化之間的區別。在二次量子化中，場函數?(x)同時是所有可能的弦配置的組合。用諧振子的本征態作為一種特殊表示，以弦變量X作用在弦本征態上，以便得到

等。所以光錐場理論的主要研究對象是光錐“場”，而不是光錐“規范”。

6.3.2　無鬼定理和譜生成代數

無鬼定理的證明基于弦理論中相關證明的擴展。因為無鬼定理的證明在玻色扇區和在費米扇區中幾乎相同，所以本節我們僅介紹玻色扇區中無鬼定理的證明，也要構造理論的生成譜的算符。

如同在4.3.1節那樣，我們從構建DDF算符開始，用它描述物理橫向激發態。我們曾考慮橫向極化的無質量矢量頂點算符，其出射動量，頂點算符作用在動量為的態上。動量和P0由和給出，n和N是整數。由式（6.2.60）看來，適當的算符是

而算符

滿足，當作用限制在動量為的態上時，它們定義完好。在超弦情形中，若將物態映射到物態上，則要求對易。這一工作運用式（6.2.51）建立起來，而M具有共形維數1/2的事實給出了：

它遵守：

于是屬于譜生成代數。這些算符與橫向振子一一對應。

在譜生成代數中，構建橫向算符是可能的，盡管不存在對應的頂點算符。工作的公式是

由于4.3.3節給出的理由，在當前的語境中，似乎奇特的分數功率給出了定義完好的表達式。因為對于具有J=1/2，故這一算符滿足：

算符和的代數能夠按照4.3.2節中相同類型的操作計算出來，結果是

于是，該代數與由橫向振子和構成的代數同構。

DDF態是由DDF算符作用在任意水平的基態上創生的物態。這種態在DDF態空間中形成正交基，記作|f>，滿足玻色理論中同樣的條件，即

式中，Km=，與費米子條件

一樣。算符Hr定義為

由DDF算符不包含的任何方冪可知，Hm湮滅了DDF態。

現在描述態的完全基，這種完全基處于NS扇區所有玻色子和費米子振子組合的福克空間中，而這種完全基是由玻色子和費米子的DDF態與其正交補集相結合而形成的。這由4.3.3節中定義的，以及的任意冪組成的態構成。這種類型的任意態具有形式：

式中，|f>是一個任意的DDF態。費米子占有數等于0或者1，而

正如4.3.3節中所介紹的，這種態對于|f>的任意選擇線性獨立，如果對于P的任意選擇，則矩陣的內積具有非零行列式。作為結果，赫爾伯特空間的一般態可以寫作：

式中，|s>是一個偽態；|k>是態空間中的一個態，具有形式：

在無鬼定理的證明中，臨界維數中任意偽態|s>滿足，并且通過(m,r>0)的規范作用被映射到另一個偽態上。這里的論證與4.3.3節中的論證完全平行，只不過這里是從考慮作用在偽態上的作用量開始的。

譜生成代數的完備描述仍需要構建縱向算符。譜生成代數的縱向算符，包括我們前面使用的式（6.3.34）及根據4.3.3節中使用相同原理推導出的公式。

完備的譜生成代數由式（6.3.34）及下面的7個公式給出：

能夠證明，根據4.3.3節中使用的相同原理，這些算符能夠生成全部物理譜。

恰如在玻色理論中，定義算符

是方便的，它們與橫向DDF算符對易或者反對易。當a=1/2且D≤10時，福克空間的物理子空間具有一個正定赫爾伯特子空間。當D=10時，算符和創建零模物態，其與物理譜中的每個態正交。因此，它們描述從物理譜中分離出的那些態，通過橫向DDF算符和而被完全建立起來。

當D>10時譜包含幽靈。例如，一對態有一個矩陣的內積，其行列式為(D-2)(10-D)。于是當D>10時一個線性組合描述一個幽靈。

6.3.3　GSO條件

到目前為止所描述的RNS模型，是一個前后矛盾的量子理論，即使對于D=10和a=1/2，或在費米扇區a=0，除非進一步強加限定條件。F.Gliozzi、J.Scherk和D.Olive（GSO）于1976年首次提出，并于次年在Nucl.Phys.B上發表論文，指出必須進行譜線的截斷。

首先，弦理論中出現了超光子，我們希望消除它。應該在弦態上強加一個限制，以便能夠消除包括超光子在內的某些態，同時能夠保留無質量粒子。其次，即使并不真正存在與自旋統計性定理的沖突，將玻色子映射到玻色子的反對易算符的存在也令人不安。于是，要考慮態：

這種態對于任何n值都是玻色態，因為都是玻色態。對偶數n不存在特別之處，因為n個反對易算符之積是對易的。但是對奇數n，深入思考式（6.3.51）之后我們被迫丟棄其中具有奇數n的態，而保留了具有偶數n的態。對于式（6.3.51）中的一般態，有。僅保留n為偶數的態，則最后就僅有的態。這就是GSO投影。

最后，將10-維的觀念與已經存在的兩維超對稱對比，發現GSO投影給出了超對稱理論。因此，GSO投影很有吸引力。進而，在光譜研究中我們的理論將會包含無質量的自旋為3/2的粒子。理論的自洽性很難在相互作用水平上耦合守恒流，除非這個自旋為3/2的無質量粒子耦合到一個守恒電流，否則在相互作用水平上很難期望理論的自洽性。這時，對應的守恒荷具有自旋1/2，其將是超對稱荷。因此，只有在相互作用水平上的GSO投影才是自恰性需要的。

接下來，我們尋找間接證據以證明下述論點：具有GSO投影的RNS模型在10-維的意義上是一個超對稱理論。首先討論一些背景知識。

無質量開弦態由一個矢量和一個旋量組成。矢量由福克空間態描述，無質量旋量是條件的最低質量解這樣一個態是以描述的，其中是滿足無質量狄拉克方程的旋量。R扇區中的基態是旋量，以表示，其中a是旋量指標，表示動量。理論超對稱的必要條件是這一對態能組成超對稱多重態，完整的超對稱要求在每一質量水平上構成各自的超多重態。一個矢量場在D=10時具有10個分量，但是僅有8個橫向分量描述獨立的傳播。所以超對稱需要的無質量旋量也應有8個傳播模式。一般地，旋量在10-維時空中可以具有個復分量。對于偶數D，這一表示結構具有維數。然而同時強加馬約拉納和外爾約束，每個約束都將分量的數目減到原來的一半，分量總數目減少到16個。這剩余的16個實分量仍然需要滿足狄拉克方程，以描述物理傳播自由度。這個線性方程與分量的一半有關，反過來滿足克萊因-戈登方程。所以，通過滿足狄拉克方程的自旋量描述的傳播模式的數目總是恰為自旋量包含的分量數目的一半。這表明，當D=10時，馬約拉納-外爾旋量描述8個傳播模式，需要的分量數目與矢量一起構成超多重態。

首先考慮馬約拉納條件，該條件在費米場中為實條件。無質量狄拉克方程是。選擇度規全部是實數或者全部是虛數是可能的，故限定Ψ是實數這一條件具有物理意義。伽馬度規的表示全部為實數或者全部為虛數，稱為馬約拉納表示，而全部為實數的旋量叫作馬約拉納旋量。

我們構造一個D=10的狄拉克代數的表示，其中伽馬矩陣的矩陣元全部為虛數。在這種表示中，要求反對稱，而另外9個矩陣對稱。伽馬矩陣有10個矩陣元，我們可以挑選出與橫向有關的8個，它們組成一個關于SO(1,9)的子代數SO(8)的克利福德代數，即D=10的洛倫茲代數。我們構建8個實對稱的16×16度規，令它們滿足反對易關系。我們希望這些在10個虛數的32×32度規的構建中滿足反對易關系。具體地說，令

式中，是16×16的單位矩陣。在通常的表達式中，是實數，是虛數；正是我們想要的虛數。這表明馬約拉納條件可能在10-維時空中成立。

現在我們轉到強加到旋量上的第二個重要條件——外爾條件。當D為偶數時，定義一個類似于4-維的矩陣，它可用于定義旋量的手征。在D=10維中引入

其滿足。來自平方空間的伽馬矩陣的9個“上升”和來自反對易矩陣的45個“上升”合在一起，總數54為偶數。具有的旋量分別叫作旋量的正、負手征。算符為手征投影算符，它們投影到定義了手征的旋量上。定義了手征的旋量叫作外爾旋量。對一個手征旋量的限制叫作外爾條件。

上面給出的馬約拉納表示中，有10個虛數，顯然是實數。因此，給定一個實數的旋量χ，定義手征的兩部分也是實數。這意味著馬約拉納條件和外爾條件是兼容的。可能要求一個旋量場是外爾旋量，即正手征，也是實數的馬約拉納旋量。在馬約拉納表示中，是虛數。一般地，馬約拉納條件和外爾條件關于維數D=2（模為8）是兼容的。定義了手征的旋量也遵守馬約拉納條件，叫作馬約拉納-外爾旋量。

馬約拉納-外爾旋量在D=10維中具有16個實分量。我們從32個復分量開始，馬約拉納條件使它們實化，而外爾條件消除了總數的一半。正如我們已有的解釋，狄拉克方程意指它們中的8個可以聯系到其余的8個。于是，僅存在8個χ的獨立傳播自由度，剛好組成具有矢量的超多重態。

我們知道，10-維的無質量費米子必須同時是馬約拉納和外爾旋量，這確保了無質量扇區能組成一個超對稱多重態。外爾條件意味著基態旋量是的本征態。將這一條件推廣到任意一個費米子，需要的算符為

它具有性質：

因為因子與～反對易，而中的其他因子與n≠0時的模反對易。由于在中是線性的，所以：

在R扇區中，算符扮演著的角色。于是GSO條件對于物理費米態是

這是下面的偶數G宇稱約束的對應物：

式中，對于物理玻色子

算符分別在費米扇區和玻色扇區代表。

對費米子基態，約減了，手征算符、GSO投影意味著在10-維意義上僅保持無質量費米子的正手征。

在光錐規范中，可能的態是，條件意味著u1和u2是相反手征的馬約納拉-外爾旋量：

這兩個旋量組合給出一個馬約拉納旋量，組成洛倫茲群的不可約巨量表示。

超對稱的必要條件是在每個質量水平上有相等數量的玻色態和費米態。對于無質量態，這遵從式（4.3.57）。外爾投影留下8個物理的無質量費米態，與無質量矢量的傳播模式的數量相同，現在考察玻色態和費米態在每個激發質量水平上存在多少。這是一個組合問題，類似于4.3.5節中玻色弦的計算。我們看到，簡并由給出。在玻色扇區，考慮到G宇稱投影和無質量水平包含1/2單位激發態的事實。作為結果，具有的態的數目由給出，有

回憶G與是相同的，跡的估算是4.3.5節中關于玻色理論的例題的直接推廣。新的特色是跡的因子遍及模，即。因為每個費米態不論是占有還是空閑，這個因子為每個模式給出了。G在中的存在改變了占有態的符號，在每個水平上給出了。故完整的跡是

令ω=x，式（6.3.55）也可寫作：

費米子水平的簡并度由下面相似的方式給出：

而

所以有。這正是GSO所指出的結論，當然該式不是簡化的RNS模型具有超對稱性的一個證明，而是一個必要條件。這個投影稱為GSO投影。在關于的公式中不存在因子，因為無質量費米子基態對應于N=0。執行跡給出了：

現在我們要問：在每個質量水平上，是否真的存在等量的玻色子和費米子？需要的恒等式是

該恒等式已經在1829年被雅可比證明。能夠證明，每個表達式的展開式為

6.3.4　作用量的局域超對稱形式

到現在為止，我們已經將形式上具有世界片超對稱性的超弦公式化了，但是我們希望把這一切放在一個完美的邏輯基礎之上。對于玻色弦，維拉宿條件產生于庫侖規范的具有兩維協方差的拉格朗日；對于超對稱弦，超-維拉宿約束產生于庫侖規范的兩維拉格朗日，它具有局域超對稱性及一般的協方差。

不能直接將費米子耦合到廣義相對論中，因為D-維中的廣義坐標變換通過GL(D,R)變換來變換玻色場，而GL(D,R)是可逆的D×D實值矩陣群，并不具有有限維的旋量表示。存在洛倫茲群的旋表示，所以旋量如何在洛倫茲變換下變換清晰可見。廣義坐標變換也叫作微分同胚映射，而非洛倫茲變換。這一課題在關于廣義相對論的教科書中都有論述。這里，我們將給出務實的討論。

在D-維流形M上考慮旋量，等價原理意味著在流形的每一點存在一個慣性系。它們能夠看作在流形中的相應點作用在平直切空間。在局域慣性系中，引入標準正交切矢量的基矢。于是，對每個m，是一個切矢量，其中μ是矢量指標。若我們以洛倫茲變換作用于m指標，將修改為新的切矢量的基。這在后面還會進行更全面的討論。的指標μ在M的微分同胚映射下像其他矢量指標一樣變換。洛倫茲指標m僅是切矢量的名稱，所以在M的微分同胚映射下就像一個標量那樣變換。但是的引入包含了在每個時空點的任意選擇，我們可在局域洛倫茲指標m處自由地給出局域SO(D-1,1)變換。引入的優勢在于洛倫茲群SO(D-1,1)承認旋量表示。故旋量指標必須視作局域洛倫茲指標。是標準正交切矢量，意指的流形和閔氏度規的切空間由式（6.3.71）聯系：

我們使用作為的逆變符號，而用作為的行列式。具有比D(D-1)/2更多的分量，對應于它的反對稱部分。然而這許多附加的局域對稱性，即局域洛倫茲變換，是同時引入的，所以傳播模式純數是不變的。

類似于楊-米爾斯勢或者聯絡，我們必須引入旋聯絡，即局域洛倫茲變換的規范場。在由參數描述的無窮小洛倫茲變換下，旋聯絡的變化是

引入伽馬矩陣，它遵守標準狄拉克代數。旋量的局域洛倫茲變換的法則是

這里用記號表示總的反對稱之積。特例是。旋量的協變導數為

協變導數的意義是的變換法則不包括參數Θ的導數，它像張量那樣變換。

在彎曲空間，引入伽馬矩陣：

狄拉克旋量和馬約拉納旋量在引力背景中的作用量是

在廣義相對論中，度規張量是協變常數，式（6.3.71）表明，的逆變是度規的平方根，于是自然要求的逆變是協變常數。實際上，若的逆變的協變導數如果不是零，則廣義相對論中沒有類似的量。因此要求：

可以看到該方程唯一地確定旋聯絡。黎曼曲率張量可以定義為楊-米爾斯場的強度，該強度由旋聯絡組成，即

事實上，式（6.3.78）的等號右邊是一個最多由度規的兩個導數確定的張量。由于旋聯絡由式（6.3.77）的度規確定，所以必須是黎曼張量。

作為多足蟲形式應用的非平凡例子，我們主要評論N=1時4-維時空中的超引力。這個理論除包含標架場和旋聯絡之外，還包含具有一個旋量指標A和一個矢量指標μ的拉瑞塔-施溫格場。該場的作用量為

式中，，是曲率標量；κ是引力耦合常數，即普朗克長度。4-維時空中的狄拉克矩陣寫作。這一作用量具有廣義坐標不變性和局域洛倫茲不變性，并且局域超對稱。令其不變的超對稱變換為

剛才描述的理論是第一個被發現的超引力理論，這項發現開辟了新的研究領域，該理論在超弦理論的發展中扮演著十分重要的角色。

6.3.5　超弦作用量及其對稱性

要想推導式（6.1.2）中伴隨庫侖規范作用量的約束，需要更基本的作用量。通過進一步分析發現，必須將一個“標架場”和一個拉瑞塔-施溫格場，即兩分量馬約拉納旋量，以及一個世界片矢量合并。世界片上的再參量化不變性，即兩維坐標不變性和局域洛倫茲不變性，可利用下式替換式（6.1.2）而得以實現：

由費米統計可以證明，旋聯絡對旋量項無貢獻，故可以用替代。S2也不具有局域超對稱性。式（6.1.23）是具有ε的σ和τ的不受限函數，在該式變換下我們得到一個正比于的變異，其中是6.1.1節中引入的超流：

現在，根據“諾特方法”引入超對稱規范場——引力子。它具有超對稱變換：

式中，α是矢量指標；承載著額外的旋指標。上面得到的變異可以通過調整式（6.3.75）中的χ來平衡：

在式（6.3.84）中，的變化給出了一個附加項，其形式為

這可以通過將另一項添加到形如式（6.3.86）的作用量上來取消：

完整的作用量在下述局域超對稱變換下不變：

關于這個結果，有幾點值得注意：對于D>2，不像超引力理論，場不存在動能項；愛因斯坦-赫爾伯特作用量～是一個可以添加的正比于歐拉特性的拓撲不變量；對引力子，完全不存在動能項；兩維超對稱變換的對易子給出了其他具有場關聯系數的局域對稱性組合，在超引力理論中也一樣。

除上面描述的對稱性之外，還有兩種S的局域對稱性：一種是玻色弦中遇到的局域外爾或者共形對稱性的擴展。保留S不變性的外爾變換是

另一種是局域費米子對稱性，由下式給出：

式中，η是任意馬約拉納旋量，其證明需要借助等式實現。總之這些對稱性意指S是個“超共形”理論。

現在我們能夠利用公式化協變規范選擇給出超-維拉宿約束方程的推導。這種選擇可以簡單地導出場方程和約束條件。先對經典理論提供分析，然后在下一節的量子內容中重新考慮。

總之存在4種局域玻色對稱性：兩種世界片再參量化局域玻色對稱性，一種局域洛倫茲局域玻色對稱性，一種外爾標量局域玻色對稱性。在這種規范中，作用量簡化了式（6.1.2）的整體超對稱性，運動方程恰是

其必須通過場的運動方程進行評估，而在規范中評估。

最后的方程是能量-動量張量和超流，其在世界片上為0：

這些是超-維拉宿約束方程，可由基本的規范不變性推導出來。