6.4　現(xiàn)代協(xié)變量子化

超弦的RNS模型可以通過4.4節(jié)中描述玻色弦的相同技術進行量子化。這里，除了先前得到的超對稱，還有與局域世界片超對稱相關的玻色子幽靈。當正確地包含了整個超-維拉宿代數(shù)時，就可正確地選擇維數(shù)和基態(tài)質(zhì)量。因為分析方法類似于我們在玻色子情形已經(jīng)提供的方法，所以這里我們只是摘要式地寫出來。

6.4.1　法捷耶夫-波波夫幽靈

在5.1.1節(jié)中我們證明了遍及度規(guī)的路徑積分能夠被一個保形因子?和再參量化坐標取代。只要給定的度規(guī)能夠通過局域尺度變換和再參量化變換的固定參考度量來實現(xiàn)，這就是可能的。對屬g>0的世界片，僅用這種方法不可能推導出所有度規(guī)。例如，以泰希米勒爾參數(shù)的有限數(shù)目為特征的度規(guī)不能以這種方法實現(xiàn)。泰希米勒爾參數(shù)，即泰希米勒爾空間的參數(shù)，是共形開林矢量。若我們僅發(fā)展幽靈坐標和BRST對稱性，決定臨界維數(shù)，則這種復雜化可以忽略。

第5章涉及局域再參量化不變性的洛倫茲規(guī)范引出了反對易幽靈坐標，它們分別具有共形維數(shù)2和-1。我們將從曾經(jīng)遵從的路徑中推導出幽靈作用量。可被規(guī)范的經(jīng)典陳述意味著它總能以形式

表示，并要求具有合理的邊界條件。故可在從到η和ε的路徑積分中改變變量，之后丟棄“積分遍及η和ε”這一條件。這并非意味著引力子在兩維超引力作用中的存在是沒有時間的。變量從到η和ε的改變引出了一個雅可比，它又能表達為幽靈路徑的積分。

在歐氏世界片情形中，洛倫茲群是SO(1,1)或者SO(2)，我們采用后一種的說法。SO(2)有單獨的生成子，叫作W，而SO(2)表示給出的W的本征值叫作自旋。我們感興趣的表示是W的整數(shù)值或者半整數(shù)值。引力場的矢量指標α對應于自旋±1，還有一個旋量指標A，對應于自旋±1/2。總之，有4個分量，即±1，±1/2，它們的組合分別是3/2，1/2，-1/2，-3/2。式（6.4.1）中的規(guī)范參數(shù)η和ε都是具有自旋±1/2的兩分量旋量。例如，其微分算符有分量。所以式（6.4.1）可以更詳細地寫作：

我們可以拋棄式（6.4.2）中的第二個和第三個方程，因為我們真正感興趣的是第一個和第四個方程。在變量從到的變化中，出現(xiàn)的雅可比是

式中，的上標意味著要被看作一個算符，它將自旋1/2映射到自旋3/2上。為了把它表示為行列式，我們引入指定的自旋場和，并寫作：

由于和是反對易對稱的幽靈場，或者是出現(xiàn)在式（6.4.3）中的行列式的逆，所以它們必須是對易場。同樣，在變量從到的變化中，出現(xiàn)的雅可比是

式（6.4.5）具有新的對易幽靈和。場稱為超-共形幽靈。

的兩個分量組成一個旋量。的兩個分量組成一個矢量-旋量，該量受制于約束：

實際上，式（6.4.6）的等號左邊是一個具有自旋±1/2的兩分量旋量。式（6.4.5）和式（6.4.6）中的幽靈作用量可以重新表達為協(xié)變形式：

在規(guī)范中，運動方程意指右-動，而其他分量左-動。

我們專注于右-動分量，同時抑制中的3/2和-1/2，可得共形幽靈的能量-動量張量：

以及β-γ系統(tǒng)的幽靈流：

根據(jù)模展開式：

由表示的對易關系是

式中，γ是厄米算符；β是反厄米算符。幽靈坐標對超-維拉宿生成子的貢獻遵從關于的公式。總之，幽靈的貢獻是

以及

容易證明，表示中的c和b分別具有共形維維數(shù)-1和2，γ和β分別具有共形維數(shù)-1/2和3/2。對易子

具有異常

由于α和d振子的貢獻是

因此，對于D=10和a=0，異常消除。由于雅可比恒等式也被抵消。在玻色扇區(qū)有

6.4.2　BRST對稱

按照慣例，在約束的代數(shù)中用結構常數(shù)寫出冪零BRST荷，如同5.2.1節(jié)中所描述的，這個方法對于分級代數(shù)也適用。由超-維拉宿代數(shù)使用慣例，得

證明在D=10和a=0時，有點復雜。作為簡單核查，我們注意：

式中，Ln和Fn代數(shù)中奇異性的缺失與Q的冪零性相一致。將同樣的分析應用于玻色扇區(qū)，在這個扇區(qū)中具有明顯的替代關系：Fm→Gr，γm→γr，βm→βr，α=0→a=1/2。存在復雜的與玻色子并不共享的費米扇區(qū)，在這個扇區(qū)中γ和β振子具有零模，對福克空間的基態(tài)給出一個無限簡并度。這個簡并度具有重要含義。

6.4.3　維拉宿異常的協(xié)變計算

本節(jié)我們描述維拉宿異常的協(xié)變計算，類似在5.2.1節(jié)中對玻色子的討論。討論很容易，因為所有必要的公式都已在該部分及后面的關于玻色化的公式中得出。我們已知的理論有10-維玻色子，10-維費米子，共形幽靈b和c，以及超-共形幽靈γ和β。在5.2.2節(jié)中我們注意到，可以給定一對反對易自由度，如b和c，能量-動量張量族。一對反對易自由度具有同樣的外爾奇異性，如玻色子的。費米子有10個反對易自由度，全部具有共形自旋1/2，或者與先前討論過的那些比較其能量-動量張量，它們有κ=0。另外，b和c具有κ=3，貢獻了-26個玻色子的異常。關于超-共形幽靈γ和β怎么樣呢？將它們的能量-動量張量與5.2.2節(jié)中討論過的進行比較，有κ=2。我們必須記住，超-共形幽靈的自由度是可交換的，與5.2.2節(jié)中討論過的反對易自由度截然相反。因此，對給出維拉宿異常的，在計算單圈圖時它們沒有費米統(tǒng)計的減號，而對5.2.2節(jié)中的費米統(tǒng)計計算起到了重要作用。所以它們給出了+11而不是玻色子貢獻的-11。于是，總共形異常是10+5-26+11=0，這就證明了在10-維時空中異常不存在。