6.2　量子化——舊協變方法

關于物態的超-維拉宿約束的實現和分析方式從本質上看與以前的維拉宿約束的實現和分析方法相同。新的特色是存在兩個扇區，即玻色扇區和費米扇區，需要分別研究。而譜線應該由GSO條件截斷，這兩個扇區由時空超對稱相互關聯。

6.2.1　對易關系和模展開

在協變規范（將在6.3.5節中介紹）中，坐標和的動力學方程由兩維克萊因-戈登方程和自由狄拉克方程，再加上某些約束條件給出。這些坐標的量子化恰是其兩維自由場理論。坐標的分析與第4章中的相同，有

在關于傅里葉系數的對易關系中，這導致：

式中，表示開弦或閉弦的模展開式中任一傅里葉系數。對于后者，存在第二套表示。

費米坐標的量子化同樣容易。關于坐標的正則反對易關系是

這意指在6.1.4節中引入的模滿足：

在后續的討論中，我們描述了一套模和或者和，分別用來描述開弦或者閉弦的右-動扇區。這很容易包括帶有波浪線的左-動閉弦模的振子。

回憶兩種不同類型的弦態，在開弦情形中對應于，加號給出了整數模d振子，而減號給出了半整數模b振子。維拉宿約束的零頻部分給出了質量殼條件，即

式中，常數表示以后將要描述的規范序效應；

或者

式中，

最低質量平方態對應于福克空間的基態，即

或者

上升算符的一次激發，為每m單位增加了的本征值。類似地，上升算符的一次激發，為每r單位增加了的本征值。

在半整數模的情況中，我們選擇一個獨特的非簡并基態是可能的，這個態被認定為零自旋態；在整數模的情況中，由于有振子，選擇一個獨特的非簡并基態是不可能的。遵守反對易關系：

并與M2算符交換。這恰是狄拉克代數，直至歸一化零模為狄拉克度規。若要求狄拉克度規遵守，則按照我們的符號約定和度規約定，有

在每個質量水平上，物態必須提供形如式（6.2.11）的表示，特別是福克空間的基態應該是式（6.2.11）的不可約表示。克利福德代數，即（6.2.11）的表示理論人所共知。不可約表示對應于SO(1,9)旋量。因此，給出整數模d振子的邊界條件必須給出費米弦。具有整數模或者半整數模的世界片旋量分別稱為費米（或者R）扇區和玻色（或者NS）扇區。正如在玻色子情形中，沿著弦的動量和角動量密度，弦可以描述為與整體對稱性相聯系的諾特流。對T=1/π，我們發現：

按照模展開式洛倫茲生成子的顯示可以通過在式（6.2.13）中插入和的模展開式來給出。守恒荷由下式給出：

式中，

和

是玻色弦理論中的守恒荷。也有來自費米子模的貢獻：

在形成的過程中，我們只是把洛倫茲代數的對易表示簡單地加在一起。

6.2.2　超-維拉宿代數和零點能

本節主要研究開弦的費米物質場ψ，所有結果可以直接應用到閉弦理論中。為費米物質場ψ在(1+1)-維世界片上建立兩種復坐標系，即

在閔氏時空中，玻色弦的普里亞科夫作用量為

式中，T是弦張力；M為弦掃出的二維世界片面積；是世界片上的獨立度規；時空度規表示為；。在Z坐標系下，共形規范的普利亞科夫作用量簡化為

經典方程與量子理論相對應的方程為

式中，表示平均值。X的共形規范乘積定義為

該定義保證了。關于產生算符、湮滅算符的共形規范乘積約定用符號╪╪表示，幽靈態b與c的共形規范乘積與產生算符、湮滅算符的共形規范乘積滿足：

:b(z)c(z'):=╪b(z)c(z')╪+1/z'

（6.2.23）

費米物質場在W坐標系中滿足周期條件，所以可進行傅里葉展開，即

可以證明d和b滿足的對易關系分別是

據此，d和b可分別視作世界片上費米子的產生算符、湮滅算符，并定義真空態：

我們用世界片上的產生算符、湮滅算符表示Z坐標系下的維拉宿生成元。在R扇區和NS扇區中，維拉宿生成元分別是

式中，會產生常數，可用維拉宿代數作用于相應分支的真空態得

超弦的世界片作用量在Z坐標系下寫作：

由式（6.2.30）可得，能量-動量張量算符為

超流為

相應的生成元為

由上述各式不難驗證下述維拉宿代數。

在NS扇區：

在R扇區：

所以，超-維拉宿代數在NS扇區與在R扇區具有基本相同的代數關系。上述結果只考慮了費米物質場，若考慮幽靈場，則它們在Z坐標系中的洛倫茲展開式為

它們的對易關系為

幽靈場在Z坐標系中的維拉宿生成元為

因為涉及算符次序，可由維拉宿代數作用在相應扇區的幽靈真空態上而得出：

如果同時考慮X、Ψ、bc和βγ，則系統的總中心荷為零。

按照公式

可以求出系統的零點能，即

在光錐規范下，物理自由度為D-2=10-2=8，系統的總中心荷，系統的零點能為

這兩種結果完全相同。由光錐規范給出的玻色弦零點能是a=-(26-2)/24=-1，每個周期玻色自由度的零點能為-1/24。同理可得，每個反周期性的費米自由度的零點能為-1/48；每個周期性的費米自由度的零點能為1/24；每個反周期性的玻色自由度的零點能為1/48。在給定零點能之后，正則量子化對赫爾伯特空間的真正物態的要求是

在式（6.2.45）中，僅包含物質場X和Ψ，而不包含幽靈場。其中R扇區的方程類似于狄拉克方程，同樣可得扇區中的零點能。最后得到開弦物理激發態的能譜是

閉弦的能譜計算過程與開弦的能譜計算過程相似，僅超-維拉宿代數等具有獨立的左、右兩套能譜，閉弦激發態的能譜也由左行波和右行波共同給出：

6.2.3　玻色子發射頂點算符

頂點算符用于構建超弦譜生成代數的物態算符，在方法上很像玻色弦。可以考慮三種情況：第一，來自玻色弦的特殊殼-上玻色態的發射；第二，來自費米弦的特殊殼-上費米態的發射；第三，來自玻色弦的物理殼-上費米態的發射，玻色弦轉化成費米弦，反之亦然。要證明無鬼定理，只需要證明在玻色扇區和費米扇區都不存在幽靈就足夠了，沒必要將玻色子算符轉換成費米子算符；反之亦然。所以在證明無鬼定理時不需要構造一個譜生成代數。

我們由玻色態開始考慮玻色子發射。由4.2.3節可知道，物理頂點算符必須具有共形維數J=1，這樣零-動量分量才能將物理態映射到物理態。對于當前的問題，這一結論無須更改，但是欲映射物理態到物理態，算符必須與進行交換。

給定一個候選頂點算符V=V(r=0)，設存在另一個算符Ｗ，它對每個r∈Z+1/2，有

注意，要求算符V獨立于r，我們限定了Ｗ的選擇。當Ｗ是玻色算符時（世界片上），條件合適；當Ｗ是玻色-費米子算符時，需要由反對易子代替。由于

遵守

根據定義

以及共形自旋J算符的定義，有

當且僅當Ｗ具有共形維數J=1/2時，V具有共形維數J=1。

例1，考慮

對=1具有共形維數J=1/2，它是基態超光子在玻色扇區的質量殼條件。相關的頂點算符是

或者

式（6.2.56）中的頂點算符顯然具有共形維數J=1，因為每個因子都有共形維數J=1/2，并且它們互換。于是，V是關于超光子基態發射的合適的頂點算符。

例2，第一激發態是由福克-空間態描述的一個無質量矢量，其極化為，動量為κμ。輔助條件意味著·κ=0這個態是物理的。為了構造該態發射的頂點算符，考慮

對于κ2=0，按照要求這個算符具有共形維數J=1/2。對應的頂點算符為

在式（6.2.60）中，因為算符積定義良好，所以具有共形維數J=1，對于物理發射頂點算符滿足所有需要。式（6.2.60）表明，頂點算符正是和構成的反對易算符，而式（6.2.56）表明頂點算符正是和構成的對易算符。

算符就是某種運算方法或操作程序的定義，是指一個函數空間到另一個函數空間的映射。對任何函數進行的某項操作都是一個算符，如乘方、開方、偏導、積分、階乘等。頂點算符代數是共形場論及物理領域中十分重要的一種代數結構，它與數學、物理淵源深厚，應用廣泛。這類代數存在3種類型：維拉宿代數，仿射李代數，頂點算符代數。

頂點表示的結構定理：頂點模是所有模的直和，其中μ取遍集合Г，而每個子模同構于——模和B*-模的張量積。

態和頂點的兩種類型可以根據它們是否包括奇數或者偶數的Ψ激發態進行區分。若Ｗ是世界片上或者Ψ中的玻色算符，則對易子[Gr,W]給出費米子的頂點算符V，如式（6.2.56）所示；若Ｗ是世界片上或者Ψ中的費米算符，則反對易子{Gr,W}給出玻色子的頂點算符V，如式（6.2.60）所示。弦態被費米頂點算符V發射或者吸收，對應于福克空間態具有偶數的b振蕩子激發態，稱為態的“奇G宇稱”；弦態被玻色頂點算符V發射或者吸收，對應于福克空間態具有奇數的b振蕩子激發態，稱為態的“偶G宇稱”。

看起來很奇怪，玻色子發射能夠用費米子算符來描述。這里的算符僅在兩維世界片上是費米子算符。事實上，我們被迫截斷頻譜到偶宇稱扇區。這具有從頻譜中消除超光子的優點。

來自費米弦（R扇區）的玻色子發射可由同樣的方法描述。改變邊界條件使得費米弦與玻色弦的區別不能影響頂點算符的局域形式。這些邊界條件僅影響Ψ(r)是否要展開為半整數模，正如在式（6.2.58）中或者在整數模中，根據

在聯系V到Ｗ的公式中，玻色扇區的算符Gr也必須用費米扇區的Fm代替。由此可見，頂點算符代數與共形場論密切相關。頂點算符代數等價于一個共形場論的手征代數。1988年，Frenkel等三人（FLM）提出頂點算符代數必須滿足三個條件：第一，中心荷等于24；第二，不存在權為1的元素；第三，該頂點算符代數是它自身的唯一不可約模。二維共形量子場簡稱共形場，該場是由適當的黎曼面構成的一種代數結構的線性射影，或者是一個由具有退化厄米形式的局域凸拓撲矢量空間H和黎曼面構成的張量范疇到由H生成的張量范疇的射影。