6.1　經(jīng)典理論

玻色弦的作用量在共形規(guī)范中是

這是兩維自由場理論。弦的坐標是，在D-維時空中傳播。如果我們希望推廣玻色弦理論，可以用更一般化的兩維場理論取代式（6.1.1）。最簡單的可能是，這個更普遍的理論可能又是自由場理論。我們試圖一般化式（6.1.1），而不是試圖歸納出它可以通過何種固定的保形規(guī)范得到再參量化不變的拉格朗日量，這可能是令人驚訝的。事實證明，推廣式（6.1.1）要比猜測容易得多。這一推廣的關(guān)鍵在于我們能夠?qū)ふ液线m的再參量化不變的拉格朗日量。

因此，我們有了在式（6.1.1）中引入更多自由場的想法。這些自由場將物理地對應(yīng)內(nèi)部自由度，而這些自由度對于沿著弦的傳播是自由的。各種選擇都值得深思，如可以引入自由費米場。大寫字母A,B,C表示世界片的旋量指標，如果兩個手征都被包括，則兩維時空中的旋量指標A有兩個取值，如果你要沿著這個方向思考，就必須確定Ψ是狄拉克費米子還是馬約拉納費米子，以及Ψ是否承載了額外的量子數(shù)。令人驚奇的是，很少有選擇會導(dǎo)致有趣的理論。但是這樣做就要引入一個D終端，即馬約拉納費米子，這是一個洛倫茲群SO(D-1,1)中用矢量表示的變換終端。于是，我們考慮拉格朗日量：

式中，ρα表示兩維狄拉克矩陣。符號γμ和Γμ分別為4-維和D-維時空伽馬矩陣，其基礎(chǔ)是

它們遵守反對易關(guān)系：

在此基礎(chǔ)上可知，Ψ的兩個分量為

我們已經(jīng)選擇了ρα為純虛數(shù)，故狄拉克算符iρα是實數(shù)，即要求世界片旋量的分量是實數(shù)，這在狄拉克代數(shù)的表示中是有意義的。這樣一個兩分量的實旋量正是馬約拉納旋量。符號照例表示。

馬約拉納旋量遵守許多重要的恒等式，這些恒等式與狄拉克旋量不相容。例如，對馬約拉納費米子，就是，不需要取的復(fù)共軛或者厄米共軛，因為不管怎樣總是實數(shù)。因此與是一樣的。由于是反對稱矩陣，若和都是反對易變量，則最后的表達式關(guān)于和對稱，在這種情況下有

這種操作是典型的，是在兩維時空中處理馬約拉納旋量時出現(xiàn)的。

式（6.1.2）中存在幾個問題。首先，引入反對易場似乎有點違背常理，該反對易場變換為SO(D-1,1)的一個矢量-玻色子的表示形式。這一選擇意味著在時空意義上映射玻色子到玻色子，映射費米子到玻費米子。雖然這與玻色統(tǒng)計定理并不沖突，但是這是違反直覺的。反過來，式（6.1.2）是兩維場理論，不是一個時空場理論，而在兩維世界片變換之下變換為一個旋量，與通常的自旋統(tǒng)計關(guān)系完全一致。正確地說，在(1+1)-維中不存在自旋，但是存在兩維洛倫茲群，或者局域洛倫茲群。它是否有意義，取決于兩維場在兩維洛倫茲群之下怎樣變換。根據(jù)自旋統(tǒng)計理論，在兩維的局域量子場理論中一個反對易場必須具有半整數(shù)洛倫茲量子數(shù)。從世界片的觀點看，洛倫茲群SO(D-1,1)僅具有內(nèi)部對稱性，自旋和統(tǒng)計學(xué)定律關(guān)于反對易場是否應(yīng)轉(zhuǎn)換為矢量或者旋量并沒說什么。盡管不矛盾，但洛倫茲量子數(shù)對于的分配如此令人驚訝，我們稍后對此進行探討。

確實存在一個更緊迫的問題：要將式（6.1.2）理解為兩維量子場理論。我們回憶，玻色子坐標中等價的τ的對易關(guān)系是。洛倫茲度規(guī)不是正數(shù)，因此式（6.1.1）中振子創(chuàng)建了錯誤的度量方式，或者“幽靈”。很幸運，式（6.1.1）具有一個無窮維的對稱性代數(shù)，即維拉宿代數(shù)，這種代數(shù)可用于消除D=26維中的幽靈。為了使式（6.1.2）有意義，我們不得不面對前面的關(guān)于費米子的類似問題。由式（6.1.2）我們能夠?qū)①M米子簡化為等價于τ的對易關(guān)系：

這一反對易關(guān)系是泊松括號關(guān)于格羅茲曼變量的量子版本。常見的問題出現(xiàn)在新的外觀中。由于η00=-1，類時費米子創(chuàng)建了錯誤的度量狀態(tài)，猶如“類時”玻色子。維拉宿坐標式（6.1.2）可能就像純粹的玻色子模型一樣，足以消除由產(chǎn)生的錯誤測量模式。但是，為了解決關(guān)于的類似問題，我們不得不尋找新的對稱和新的約束。這里的約束對費米子的作用就像維拉宿條件對玻色子的作用一樣。事實證明，可以采取這一步驟。新的對稱是指超對稱，或者更準確地說是指超共形對稱。

6.1.1　整體世界片超對稱

式（6.1.2）的新對稱乍一看令人驚奇，但論證起來并不困難。令ε表示獨立于σ和τ的常數(shù)的反對易無窮小馬約拉納旋量。式（6.1.2）中的作用量S在無窮小變換

下不變。這些變換混合了玻色坐標和費米坐標，稱為超對稱變換。超對稱變換的代數(shù)基礎(chǔ)是兩個超對稱變換的對易子給出了一個空間轉(zhuǎn)換。所謂空間轉(zhuǎn)換，是指弦世界片的轉(zhuǎn)換。為了看清楚這一點，考慮：

式中，

在(1+1)-維時空中式（6.1.10）對馬約拉納費米子很重要，。同樣地，有

這里要求遵守狄拉克方程，式（6.1.11）可由式（6.1.2）推導(dǎo)出來。

利用式（6.1.2）和關(guān)于超對稱變換的式（6.1.8），可以推導(dǎo)出超流和能量-動量張量公式。進行這項工作，最有效的方法就是使用4.1.3節(jié)中描述的奈特方法。例如，考慮超對稱變換式（6.1.8），若ε為一個常數(shù)，則式（6.1.8）會離開作用量S不變；若ε不是常數(shù)，則式（6.1.8）不會離開作用量不變。但是其變化的形式為

式中，Jα是守恒的奈特流，如同4.1.3節(jié)中已經(jīng)解釋的。應(yīng)用式（6.1.8），這一過程給出超流公式：

為了以后方便，式（6.1.13）已經(jīng)進行了歸一化。應(yīng)用變換，給出能量-動量張量公式：

從運動方程出發(fā)可以核查式（6.1.13）、式（6.1.14）是否守恒。能量-動量張量無跡，恰如純玻色理論。所以依據(jù)光錐分量，，超流的某些分量也消失，因為它遵守類似的約束，即

猶如兩維時空中的情況，有恒等式。

6.1.2　超空間

式（6.1.2）是一個在普通兩維空間的Σ弦世界片上公式化了的兩維場理論。超對稱能夠在兩維超空間中通過公式化的理論體現(xiàn)出來，其中世界片坐標σα可通過增補兩個格拉斯曼坐標θA組成一個兩分量的馬約拉納旋量。反對易坐標，確實不難使用。一個通常的函數(shù)Yμ在超空間中為

該函數(shù)在很大程度上取決于超空間中的玻色坐標和費米坐標。這類函數(shù)叫作超場。式（6.1.16）是以θ為方冪的完整的冪級數(shù)展開式，因為θ的反對易性意指任何多于它們中的兩個的積都要消失。超場Yμ結(jié)合和形成新場Bμ，其用途并不明顯。

現(xiàn)在解釋超空間如何生成了超對稱。超對稱由生成子

表示在超空間中。引入任意反對易參數(shù)εA通常是方便的，εA是超對稱變換的無窮小參數(shù)，其不是與而是與一起工作的。后者生成了超空間坐標的轉(zhuǎn)換，即

以這種方法實現(xiàn)的超對稱使得超空間可以像幾何變換那樣進行變換。超荷Q也能夠用于定義坐標變換，根據(jù)

由于

顯然有

式中，已在式（6.1.10）中給定，沒有使用運動方程。以分量形式展開式（6.1.19），并且使用兩維菲爾茲關(guān)系式，即

給出：

如果令，則式（6.1.23）簡化為早先的變換公式，即（6.1.8），對應(yīng)于最初的Bμ缺失且為零的公式。由于輔助場Bμ的角色，超對稱代數(shù)的閉集特性沒有使用過去的運動方程就已經(jīng)實現(xiàn)了。

菲爾茲是加拿大數(shù)學(xué)家，菲爾茲獎相當于數(shù)學(xué)界的諾貝爾獎，華裔數(shù)學(xué)家丘成桐、陶哲軒曾獲得該獎。式（6.1.22）中的都是格拉斯曼坐標。

現(xiàn)在，令為某個超場。在超對稱之下，其變換定律是

這類超場的積以同樣的方式變換。例如，

這是因為是超空間中的一階微分算符，它遵守萊布尼茲規(guī)則：

這是一階微分算符的特性。式（6.1.25）確保乘積像式（6.1.25）中的超場那樣變換。超場是超空間的一個函數(shù)，這類函數(shù)之積當然也是這類函數(shù)。

我們利用超空間寫出超對稱變換，即式（6.1.23）下的拉格朗日不變量。為此，首先需要所有導(dǎo)數(shù)算符在超對稱變換，即式（6.1.23）下不變，即

這就是已知的超空間協(xié)變導(dǎo)數(shù)。協(xié)變導(dǎo)數(shù)D關(guān)于Q反對易，即

式（6.1.27）表達了協(xié)變導(dǎo)數(shù)D的基本性質(zhì)。協(xié)變導(dǎo)數(shù)之間遵守下列反對易關(guān)系：

如果目標客體Y在超對稱之下像一樣變換，則式（6.1.27）確保協(xié)變導(dǎo)數(shù)DAY以同樣的規(guī)則變換。故超場的協(xié)變導(dǎo)數(shù)也是超場。

將在超對稱空間中保持不變的作用量公式化的一項基本要求是，在超空間中必須有一個積分度量。自然的選擇是使積分遍及“全部”超空間，即

式中，d2θ是對費米子的標準貝雷辛積分，其遍及普通函數(shù)的反對易坐標，即

在5.1.1節(jié)中介紹過路徑積分遍及反對易幽靈坐標的情況，我們正在使用的是無窮維貝雷辛積分。該積分挑出系數(shù)θ1θ2，由于，所以

與普通的玻色積分一樣，對任意的V，貝雷辛積分能夠進行分部積分，即

這是因為θ的導(dǎo)數(shù)消除了兩個θ中的一個，另一個積分因貝雷辛規(guī)則消失。

式（6.1.30）的基本性質(zhì)是在超對稱下不變。令Y為任一超場，并令

則S在超對稱變換下不變。理由是，在寫出

以及Q的顯式后，我們發(fā)現(xiàn)式（6.1.35）在分部積分中消失了。因為要利用分部積分，我們當然希望式（6.1.33）與普通玻色子的分部積分一樣。

現(xiàn)在回到原來的問題，基本超場在SO(D-1,1)的矢量表達中是一個D-連音轉(zhuǎn)換。現(xiàn)在我們知道如何為超場構(gòu)建無窮對稱拉格朗日函數(shù)。我們的興趣是

為了評估θ積分，首先注意：

式（6.1.37）和式（6.1.38）中應(yīng)用了式（6.1.22）。式（6.1.37）中的D由式（6.1.27）定義，是D的共軛，是由式（6.1.16）定義的超空間中的一般函數(shù)。于是，中包含下述關(guān)于θ的二次項：

使用式（6.1.32）的積分規(guī)則，作用量可展開為分量，給出：

在該作用量中，因為根據(jù)場方程有Bμ=0，故簡單地設(shè)置Bμ為0是合理的，然后可以忽略它。

6.1.3　約束方程

迄今為止，我們討論的唯一對稱性就是整體對稱變換，式（6.1.8）給定了恒定的超對稱參數(shù)ε。世界片坐標的恒定變換在討論中含蓄地存在。同樣，由于兩個整體超對稱QA的對易子是平移的，因此在討論中也隱含世界片坐標的恒定平移。量子理論中的變換是世界片坐標σ和τ的變換，但是玻色弦理論中σ和τ的變換是由兩個維拉宿生成子L0和生成的。我們必須將QA展開為無窮維-分量“超對稱”。

由式（6.1.2）推導(dǎo)出的費米運動方程是簡單的兩維狄拉克方程：

它必須由邊界條件補充。在由式（6.1.3）給出的的基礎(chǔ)上，式（6.1.41）分解成關(guān)于的一對上、下分量的解耦了的分量方程，即

于是和可分別描述右-動模和左-動模。通過在世界片上引入光錐坐標和，兩維狄拉克作用量可以寫為解耦形式和。在這些變量中，式（6.1.2）的費米部分變?yōu)?/p>

式中，已刪除了指標μ。式（6.1.43）表明，我們可以令=0，討論僅具有右-動費米子的兩維拉格朗日量。兩維手征算符實際上具有的特征態(tài)（精確地說，），因此，設(shè)定=0意味著只需要一個正手征的旋量場。式（6.1.42）和玻色方程0=可用一種更易懂的方式寫出來，即闡明為什么在玻色子和費米子之間存在對稱性：

式中，僅是關(guān)于的兩個函數(shù)；僅是關(guān)于的兩個函數(shù)。超對稱是之間或之間的對稱，它們遵守同樣的方程。考慮到正手征模和負手征模的解耦，世界片超對稱流和能量-動量張量如果用正手征模和負手征模來寫的話，注定要簡化。事實上，如果把式（6.1.13）中的超流寫成光錐分量的形式，則自然是兩分量旋量的兩個分量。按照式（6.1.15），僅有正手征旋量分量非零或者僅有負手征旋量分量非零。將非零旋量的兩個分量簡單地記作是方便的，有

它們明顯守恒，即

但是它們生成什么代數(shù)呢？利用等價的τ對易子或者反對易子

我們能夠容易地計算代數(shù)：

更精確地，式（6.1.48）出現(xiàn)在正式操作或者泊松括號中。在量子力學(xué)中，存在一個異常項。這里T++和T--是能量-動量張量的光錐分量，有

現(xiàn)在我們用公式來表示約束方程，它能消除與和類似的類時分量。回顧玻色子情況，借助維拉宿約束T++= T--=0，的類時分量消除在26-維時空中。我們把希望寄托在超-維拉宿約束上：

可以肯定，這種猜想和我們關(guān)于玻色理論的系統(tǒng)討論有很大不同。事實上，在玻色子情形中我們推導(dǎo)出的維拉宿條件由拉格朗日規(guī)范不變的庫侖規(guī)范產(chǎn)生。在超對稱情形中，我們僅有假設(shè)的式（6.1.50）。超-維拉宿約束式（6.1.50）通過兩維超引力拉格朗日的庫侖規(guī)范能夠推導(dǎo)出來，但是過程十分復(fù)雜。

6.1.4　邊界條件和模展開

本節(jié)的任務(wù)是分析可能的邊界條件，并闡述無約束理論。所以所涉及的理論比純玻色子理論更復(fù)雜。

時空坐標滿足與玻色弦理論相同的自由波動方程，而邊界條件對應(yīng)于開弦或閉弦，最終的正則模展開也與以前的完全一樣。對于費米坐標，表面項在拉格朗日量的變化中產(chǎn)生，并獲得歐拉-拉格朗日方程。這些表面項的消失要求在開弦的每一端點消失。通過令每一端點，進而，這一要求可得到滿足。不失一般性，我們令

現(xiàn)在，另一端的相對符號變得有意義了，需要考慮兩種情況。第一種為

而狄拉克方程的模展開變?yōu)?/p>

式中，求和遍及所有整數(shù)n。第二種為

所以，模展開變?yōu)?/p>

式中，求和遍及所有半整數(shù)模r。對整數(shù)模，使用符號m或者n；對半整數(shù)模，使用符號r或者s。于是，r-1/2和s-1/2是整數(shù)。式（6.1.52）及整數(shù)模給出了對弦態(tài)時空費米子的描述；式（6.1.55）及半整數(shù)模給出了對玻色態(tài)的描述。當然，這些玻色態(tài)不同于第4章玻色弦理論中的那些玻色態(tài)。

當的每個分量在邊界條件下分別具有周期性或者反周期性時，閉弦的表面項消失。于是

或者

以及

或者

這4個式子是關(guān)于費米子和玻色子閉弦的模展開式，它們是當邊界條件為周期性或反周期性時表面項消失的的每個分量表示，對應(yīng)于左-動模和右-動模的不同配對，存在4種不同的閉弦扇區(qū)：NS-NS，NS-R，R-NS，R-R。第一種扇區(qū)和第四種扇區(qū)描述玻色閉弦態(tài)，而另外兩種扇區(qū)描述費米子的閉弦態(tài)。

超-維拉宿算符是由Tαβ和Jα的模給出的。對開弦，有一套獨立的Lm定義，即

對費米生成子代數(shù)，在R的邊界情況下定義

或者在NS的邊界情況下定義

在閉弦情況中，存在兩套超-維拉宿生成子。其中一套由T++和J+的模給出，而另一套由和的模給出。