2.3　量子力學基礎

2.3.1　基本原理

量子理論的提出至今已超過百年，從量子力學到量子場論的整個理論體系建立在基本假設的基礎上，主要有以下幾個假設。

（1）所有微觀粒子的運動狀態都由相應的歸一化波函數描述。

（2）薛定諤方程、克萊因-戈登方程、狄拉克方程是微觀粒子的波函數隨時間t演化所必須遵循的。

（3）微觀粒子的力學量用線性厄米算符來描述。

（4）力學量算符之間的對易關系實現了力學量的量子化。

（5）全同粒子的波函數具有對稱性，費米子的波函數具有反對稱性，玻色子的波函數具有對稱性。

以上假設全都得到了實驗驗證。

愛因斯坦根據光電效應實驗提出的光電效應方程為

式中，是光電子的能量，其中是光子頻率；，是光子的初動能；A是電子擺脫金屬引力到達金屬表面所做的脫出功。光電效應證明了微觀粒子具有粒子性，而電子的干涉、衍射證明了微觀粒子具有波動性，所以微觀粒子具有波粒二象性。德布羅意據此給出的物質波公式為

式中，E和P分別是物質的能量和動量，表明物質具有粒子性；和分別是物質的頻率和波長，表明物質具有波動性。物質波的平面波波長為

玻恩于1926年給出物質波的統計解釋：物質波是一種概率波，空間中某處物質波波函數振幅的平方與該處粒子出現的概率成正比。

根據盧瑟福提出的原子的核式結構模型，玻爾提出了電子繞核運轉的軌道定則和定態假設。軌道定則指出，電子只能在某些軌道上繞核運轉，這些軌道是分立的且具有特定的半徑，因而電子具有特定角動量，即

定態假設指出，電子在某個軌道上具有一定的能量，處于穩定運動狀態，并且電子從一個軌道躍遷到另一個軌道時原子將吸收或放出特定頻率的輻射，即

原子核外的電子分布遵守下述量子數規則。

（1）主量子數n=1,2,3,…，它決定電子在原子中的能量：

（2）角動量量子數l=0,1,2,…,n-1，它決定軌道角動量：

（3）磁量子數，它決定電子繞核運轉的動量矩的空間取向：

（4）自旋量子數，它決定電子自旋角動量的空間取向：

由此可見，電子在原子核外的分布遵守泡利不相容原理：在一個原子系統內，兩個或兩個以上的電子不能具有完全相同的量子數。

薛定諤首先寫出了物質波的波函數：

在體積元dV=dxdydz內發現粒子的概率為

而在全空間內發現粒子的概率顯然是1。

微觀粒子由于具有波粒二象性，所以具有一個重要性質，即測不準關系：

說明在微觀世界里，對偶物理量不可能同時準確測量。式中，普朗克常量，是微觀世界中一個重要的常數。

2.3.2　泊松括號

量子場的定義：這里的場是指具有無窮多個自由度的力學體系，包括標量場、狄拉克場、電磁場等。在這些力學體系中，高階微擾修正出現的發散問題難以解決。在電磁理論中發散問題源于電子質量和電荷的重新定義，為此引入了重整化。此外，任意形式的引力場中都可能造成氫原子的能級微擾，具體計算也需要重整化。

作用量是物理系統中的能量與時間的乘積。在經典力學、量子力學、經典場論和量子場論中，作用量具有不同的數學表達形式。最小作用量原理是指自然界中的所有自由物理系統總是自發地沿著作用量為極值（極大值、極小值）的路徑運動。這里的路徑為物理路徑、變化過程或演化方向。若用S表示作用量，表示作用量的變分，則最小作用量原理為

系統作用量S為

式中，表示拉格朗日作用量，其定義為

如果用和分別表示正則坐標和正則速度，則是關于和的函數，即。具體地，對于單自由度系統，有歐拉-拉格朗日方程，即

證明：

由式（2.3.1）、式（2.3.2）得

所以得

對于多自由度系統，將式（2.3.4）推廣，得

推導正則關系：因為，所以有

定義哈密頓量為

則有

式中應用了。由此可得

P和q組成一組正則共軛變量，式（2.3.8）是它們所滿足的正則關系。

定義泊松括號為

則正則運動方程為

若都用表示，則式（2.3.8）中的兩個方程可以合并為

對于多自由度的情況，如果函數，則

而多自由度情況下的正則運動方程為

將式（2.3.13）代入式（2.3.12），得

令為多自由度情況下的泊松括號，則式（2.3.14）可簡化為

如果不顯含t，則。

泊松括號具有下列性質。

（1）若C為常數，則?！。?）。

（3）。?。?）。

（5）?！。?）。

（7）。

（8）。

2.3.3　量子算符

算符，即運算符號。乘方符號、開方符號及高等數學中的微積分符號等都是算符。在經典物理中，算符就是“作用”；在計算機科學中，算符就是“操作”，如“輸入”“刪除”“復制”“粘貼”等。

在量子力學中，為了精準地描述微觀粒子的狀態和性質，人們創造了許多算符，主要有狄拉克算符和對易算符。

1．狄拉克算符

狄拉克做學術研究最鮮明的特點是大膽假設、充分想像。

狄拉克以和表示態矢量，分別叫作刃矢和刁矢，如刃矢A寫作，刁矢B寫作。和的標積（也稱內積）表示為

式中，是在Q表象中的分量排成的列矩陣，即；是在Q表象中的分量排成的行矩陣。所以有

若=0，則稱兩態矢量正交。的歸一化條件為

態矢量可以直接進行相加和數乘運算的空間稱為線性空間，即有且滿足加法交換律、加法結合律，以及存在使成立，并且，其中α為復數。

態矢量可以展開為完備本征函數系之和，即

式中，，所以有

為了將態矢量投影到基矢上，先定義投影算符，即

投影算符將態矢量變成基矢方向上的分量，即

本征函數的封閉性定義為

如果本征函數是連續的，則在坐標表象中寫作：

在動量表象中寫作：

如果本征函數是分立而又連續的，則

狄拉克算符作用于態矢量，得到一個新的態矢量。

的本征值為λ的本征值方程為

薛定諤方程為

其相應的矩陣形式為

平均值公式為

2．對易算符

為了與泊松括號的表示相區別，我們以方括號[　]表示對易算符。

1）對易子的定義及基本對易關系

兩個算符之積定義為，表示先以算符作用于波函數，再以算符作用于。一般而言，。令，則。類似地，有

如果定義為對易子或對易算符，則當=0時，稱算符對易；否則稱算符不對易。由對易子的定義可得

若w(x)為x的任意函數，f(x,y,z)是任意可微函數，則可以證明

同理可得

以上各式即可表明基本對易關系。

2）對易子的一般恒等式

3）角動量算符

將角動量變成算符，其3個分量的算符為

角動量與坐標的對易關系為

角動量分量之間的對易關系為

式（2.3.28）、式（2.3.29）和式（2.3.30）可以統一寫作：

此外，有

總之，角動量與坐標、坐標與動量、角動量與動量，以及角動量與角動量的對易子可分別概括為

式（2.3.31）表明，如果算符具有共同的完備本征函數系，則它們對易，即

反之則它們不對易。

4）簡諧振子的表示

在經典理論中，簡諧振子的拉格朗日量為

式中，。

正則動量為

系統的哈密頓量為

拉格朗日方程為

正則運動方程為

考慮一維簡諧振子的量子化問題，其位移和動量分別為，則系統的拉格朗日量為

式中，。將拉格朗日量L代入拉格朗日方程，可得簡諧振子的動力學方程為

式中，負號表示簡諧振子的受力方向總與其位移方向相反。簡諧振子的正則動量為

因為是一維簡諧振子，故按照平面坐標展開，簡諧振子的角動量（矢量表示）為

式中，k表示角動量J與諧振平面垂直。J不顯含時間，有

由此可見，系統的角動量守恒，若無空氣阻力和摩擦，振動將永遠持續進行。若以算符表示，則有

簡諧振子的哈密頓量為

式中，。顯然，簡諧振子的位移q和動量p互為正則共軛變量。若把q、p、拉格朗日量L和哈密頓量H都看作算符，則可定義湮滅算符和產生算符：

湮滅算符可消滅一個動量為的標量粒子；產生算符可產生一個標量粒子。

考慮正則坐標q和正則動量p的關系式，即

可得湮滅算符和產生算符的對易關系為

簡諧振子的哈密頓量可以用湮滅算符和產生算符表示為

式中，，是粒子數算符。若N的本征態為，本征值為n=0,1,2,…，則對應的本征態為，其中為基態，滿足歸一化條件。因而正交歸一本征態是

則本征方程可以寫作：

簡諧振子的能量為

5）泊松括號與對易子的關系

泊松括號反映了物理正則量之間的關聯和差異性，全同粒子之間的差異為零；對易即交換，對易子為零意味著兩個算符等價。

設所有力學量都具有對應的算符，引入對易關系，即

則算符在態ψ中的平均值為

對時間t求導，應該對被積函數中的3個因子分別求導，即

因為，所以有

定義算符：

比較式（2.3.42）和式（2.3.43），得

式（2.3.44）是算符的運動方程。將式（2.3.44）與式（2.3.15）進行比較，得

采用自然單位制，得

這就是對易子與泊松括號的關系式。

例1　求證。

證明：有三種方法可以證明該式。第一，先證，再證。

依據可得。

第二：由得

第三：直接依據得

粒子數算符具有如下幾個性質。

（1）。

證明：依據對易子性質，即及，得

（2）。

證明：

怎樣將經典力學量量子化呢？首先，確定經典力學系統的哈密頓量H；其次，尋找所研究的物理量F與哈密頓量H的泊松括號；最后，按照泊松括號與對易子的關系式直接將經典力學量量子化。

2.3.4　描述微觀粒子的方程

1．薛定諤方程

薛定諤方程是量子理論中最基本的方程。自由粒子的能量和哈密頓量分別是。由于，所以自由粒子的薛定諤方程為

考慮粒子在勢場V中的哈密頓量是，可得一般的薛定諤方程為

薛定諤方程的相對論形式用來描述自旋為零的粒子，遵循相對論的能量-動量關系，即

考慮相對論質量，有

2．克萊因-戈登方程

克萊因-戈登方程為

它用來描述自由介子，其推導過程如下：

消去速度因子，可得到能量-動量關系式，即

由，由，將其代入上式得

引入算符，則有4-維達朗貝爾算符，即

令，這時克萊因-戈登方程具有簡單的形式，即

(W2-κ2)Ψ=0

（2.3.51）

3．狄拉克方程

對開方，得

以代替式（2.3.52）中的能量和動量，得

考慮勢場V，有

由易得

設，則有

對等號兩邊式子取平方，得

令系數滿足下面的關系式：

注意，此處的都是算符，下面的泡利矩陣和狄拉克矩陣也是算符。

令，則式（2.3.55）中的式子可以概括為一個公式：

滿足式（2.3.56）的兩個算符具有反對易關系。

泡利為描述電子的自旋角動量曾經建立了3個2×2矩陣和2個輔助矩陣：

不難證明，泡利矩陣具有下述性質：

顯然，若把也視作矩陣，則它們與泡利矩陣具有類似的性質。由于存在4個未知的反對易量，所以應該是4×4矩陣而非2×2矩陣。為此狄拉克將2×2的泡利矩陣擴展為4×4的矩陣：

并且構造了新矩陣：

將對應的矩陣與相乘，恰好是，即

按照矩陣乘法，不難驗證仍然遵守反對易關系，它們稱為狄拉克矩陣。例如，因為

所以其余同理可證。

有了狄拉克矩陣，可求。自由粒子的能量-動量關系已設為

并且已知

所以得

即

這就是自由粒子的狄拉克方程。該方程給出了微觀世界的重大信息。第一，世界上除了存在負電子，還存在正電子。第二，物質世界是對稱的。第三，考慮電子的相對論性效應，給出的氫原子能級的精細結構與實驗結果精確吻合。第四，揭示了負能級的存在。

2.3.5　量子力學與廣義相對論的矛盾

概括地說，量子力學和廣義相對論之間存在六大矛盾。

（1）廣義相對論認為，引力是由于時空彎曲而呈現的一種幾何效應，無法量子化；量子力學則認為，所有力包括引力都產生于玻色子的交換過程，如光子的交換導致電磁力，弱規范玻色子W±、Z0的交換導致弱相互作用力，膠子的交換導致強相互作用力，這些力不可能幾何化。

（2）廣義相對論承認確定性，認為只要測量手段足夠精確，粒子的位置、速度、角速度、動量等物理量都能精確測定；量子力學則認為，不確定性是粒子的固有性質，位置和動量的乘積、時間和能量的乘積遵守不確定關系，不可能精確測定，一切過程的發生都是隨機的，大量測量結果遵守概率統計規律。

（3）廣義相對論認為，物質可以無限分割，質量分布是連續的；量子力學則認為，物質存在分割的極限，構成星系、沙粒、分子、原子的基本單元是夸克、電子之類的48種費米子和光子之類的14種玻色子，存在最短長度和最短時間。

（4）廣義相對論認為，宇宙中的一切都是客觀存在，這個世界可以被觀測和描述，并且這種觀測和描述對客觀存在沒有任何影響；量子力學則認為，觀測者對世界的測量會影響客觀存在。

（5）廣義相對論認為，不論是宏觀天體還是微觀粒子，其運動速度都存在上限，即光速；量子力學則認為，信息的傳播是瞬時的、超光速的。

（6）廣義相對論的時空背景是用黎曼幾何描述的彎曲時空；量子力學的時空背景是用歐幾里得幾何或閔可夫斯基幾何描述的平直時空。