2.2　廣義相對論基礎

1915年愛因斯坦向普魯士科學院提交了科研論文《萬有引力方程》，標志著廣義相對論的誕生。

2.2.1　廣義相對論的基本假設

廣義相對論源于狹義相對論的兩個困難。

①慣性系何在？慣性系是相對于絕對空間靜止或做勻速直線運動的參考系。但是狹義相對論認為時間和空間都是相對的，根本不存在絕對空間。地球是一個近似的慣性系，太陽是比地球更加近似的慣性系，而銀河系是比太陽更加近似的慣性系。那么要到哪里去尋找嚴格意義上的慣性系呢？

②在狹義相對論中，麥克斯韋電磁理論和動力學方程皆可寫成洛倫茲協變形式，但萬有引力定律無法寫成洛倫茲協變形式，故不能將其納入狹義相對論的理論框架。

廣義相對論建立在下面兩個基本原理的基礎上。

①局域等效原理。在處于均勻的恒定引力場影響下的慣性系中所發生的一切物理現象，可以和一個不受引力場影響但以恒定加速度運動的非慣性系內的物理現象完全等效。所謂等效，是指引力和慣性力等效，引力質量與慣性質量具有完全等價性。按照等效原理，愛因斯坦把狹義相對性原理推廣為廣義相對性原理，即物理定律的形式在一切參考系（包括慣性系和非慣性系）中都相同，或者說引力場和慣性力場在無窮小范圍內的物理效應不可區分。物體的運動方程就是該參考系中的測地線方程。測地線方程與物體自身的固有性質無關，只取決于時空局域幾何，而引力正是時空局域幾何性質的表現。

②廣義相對性原理。一切參考系都是平權的，物理定律在任何參考系中的形式不變。廣義相對性原理將狹義相對論的光速不變原理從慣性系推廣到任意參考系，包括非慣性系。非慣性系中普遍存在的慣性力不存在相應的反作用力。

2.2.2　愛因斯坦場方程和運動方程

根據局域等效原理、廣義相對性原理和馬赫原理，愛因斯坦猜想引力是一種幾何效應，應該表現為時空彎曲。在數學中，引力效應應該用度規張量和仿射聯絡來表示時空曲率。因此，方程的一邊應該是物質的能量-動量張量，另一邊應該是描述時空幾何的張量，所以有

式中，k是比例常數。

在4-維彎曲時空中，物質的能量-動量張量為

式中，(k=1,2,3)，是3-維空間的能量密度矢量；ε，是3-維空間的能量密度標量；(i=1,2,3)，是3-維空間的動量密度矢量。能量-動量張量是對稱張量，它有10個分量，所以中，等式左邊的時空幾何張量也應該對稱，并且也應該有10個分量。那么哪個量可以滿足上述條件呢？曲率張量不可以，曲率標量R也不可以，因為它們的分量個數不是10。唯有愛因斯坦張量，即

可以。式中，是黎曼空間的里奇張量，

它具有對稱性，即，并且滿足里奇恒等式；是度規張量。所以愛因斯坦構造的引力場方程，即愛因斯坦場方程為

若考慮宇宙項，則愛因斯坦場方程變為

20世紀20年代哈勃發現宇宙在膨脹；1998年索爾·珀爾馬特、布萊恩·施密特與亞當·里斯從用哈勃太空望遠鏡拍攝的557張宇宙照片中發現宇宙在加速膨脹。驅動宇宙加速膨脹的神秘力量可能就是愛因斯坦場方程中的宇宙項，這也是人們正在探索的暗物質和暗能量。

利用后牛頓近似法可得式（2.2.4）及式（2.2.5）中的比例常數，所以完整的愛因斯坦場方程為

如果忽略宇宙項，并且令，則可得到真空引力場方程，即

這時，說明沒有物質的引力場仍然可以存在，時空仍可彎曲。

如果考慮宇宙項，并且令，則引力場方程為

由引力場方程可以求出粒子在彎曲時空中的運動方程。設粒子系統為非相對論理想流體，其能量-動量張量為

式中，ρ是粒子的相對靜止質量；是4-維速度。式（2.2.9）滿足守恒定律，所以粒子遵循的動力學方程為式（2.2.8），它滿足比安基恒等式，即

2階逆變張量的散度為

利用式（2.2.11），可以變為

即

對式（2.2.13）進行體積分，得

利用高斯定理，式（2.2.14）中間項的積分為

于是式（2.2.14）可簡化為

質量守恒的連續性方程為

消去因子1/，然后積分得

對第二項應用高斯定理，注意在積分邊界處ρ=0，可知該項積分為零。首先考慮到，則式（2.2.17）在隨動局域慣性系中為

式中，，為粒子的靜質量，于是式（2.2.15）變為

即，也就是

式（2.2.19）正是粒子在引力場中的運動方程，它可以化成短程線方程，即

2.2.3　廣義相對論的預言及觀測證據

（1）光線偏折。根據廣義相對論，質量使時空彎曲，而物體在彎曲的時空中做慣性運動。遠處的恒星發出的光線在途經大質量天體附近時不再沿直線傳播，而是向大質量天體偏折，天體質量越大，使光線偏折的角度越大。遠處的恒星發出的光線在傳播到地球途中經過太陽附近時將發生偏折。愛因斯坦預測光線的偏折角為。1919年5月29日愛丁頓帶領考察隊到非洲幾內亞灣的普林西比和巴西的索布拉爾進行觀測，獲得的3組數據分別是。由此可見，觀測均值與理論值高度吻合。

（2）水星軌道近日點的進動。開普勒定律告訴我們，行星繞太陽運轉的軌道是橢圓形的，該橢圓有兩個焦點，太陽位于其中一個焦點處。所以行星繞太陽運轉的軌道有一個近日點和一個遠日點。近日點和遠日點都是進動的。水星軌道近日點沿軌道的進動的觀測值為/百年，而按照牛頓定律計算出的理論值為，理論值與觀測值相差。愛因斯坦根據廣義相對論計算出的理論值與按照牛頓定律計算的理論值的偏差是。這證明了廣義相對論是比牛頓定律更精確的理論。

太陽系內除水星軌道近日點的進動之外，另外的七大行星及彗星和小行星軌道的近日點也存在進動現象。例如，地球軌道近日點的進動為/百年，金星軌道近日點的進動為/百年。怎樣按照廣義相對論計算水星軌道近日點的進動呢？方法有多種。莫子杰、陳浩于2015年給出的PLK方法可求出行星軌道周期及行星軌道近日點進動角分別為

對于水星，每百年繞太陽運轉415周，其軌道近日點進動角為

（3）引力紅移。大質量恒星發出的光的振動周期比同種元素在地球上發出的光的振動周期長，即大質量恒星發出的光的振動頻率較小，向紅光波段移動，這種現象叫作引力紅移。2010年馬勒、彼得斯和朱棣文通過物質波干涉實驗高精度地證明了引力紅移效應。

對于弱引力場，光子質量可看作常數，愛因斯坦推導出的引力紅移公式為

史瓦西由廣義相對論引力場方程求得的引力紅移公式為

包學行于1976年提出微積開概念。2012年6月他從微積開理論出發，對白矮星、中子星等強引力場中的引力紅移給出的公式為

式（2.2.23）可化作引力紅移的一般形式，即

（4）黑洞。根據廣義相對論，恒星上既有由內部輕元素聚變成重元素而產生的自內向外的輻射壓，也有自外向內的引力。當這兩種力相等時，恒星處于相對穩定狀態。

當恒星的輻射壓不足以平衡自身引力時，就會出現引力塌縮，從而使星體半徑減小，這一過程會因為費米簡并壓的存在而停止，這時的星體稱為白矮星。對于質量超過1.4倍太陽質量的白矮星，費米簡并壓不足以抗衡引力塌縮，星體半徑會進一步減小，質子、電子合并生成中子和中微子，出現中子簡并壓抗衡引力，這時的星體稱為中子星或脈沖星。質量大于3.2倍太陽質量的中子星將繼續出現引力塌縮，形成黑洞。黑洞具有強大的引力場，事件視界就是黑洞的邊界。黑洞的內部空無一物，其中心稱為奇點。接近黑洞的任何星際物質都將被它吞噬，就連光線也不例外。白矮星、中子星和黑洞都已被天文學家發現。1971年美國自由號人造衛星發現銀河系中心的巨型黑洞。

1916年史瓦西通過求解愛因斯坦場方程，得到一個球對稱真空解。1967年約翰·阿奇博爾德·惠勒提出關于黑洞的科學概念；1969年羅杰·彭若斯提出宇宙監督假設；1972年霍金等人提出黑洞熱力學四定律，并在1974年將量子場論應用于黑洞研究，證明了黑洞存在熱輻射；1996年安第·斯楚明格和伐發運用弦理論計算出了黑洞的熵。2005年3月中國學者王永久出版了學術巨著《黑洞物理學》；北京師范大學的趙崢教授在2014年12月出版了專著《看不見的星：黑洞與時間之河》，在2016年4月再版了專著《黑洞的熱性質與時空奇異性》。

（5）引力波。愛因斯坦關于引力波的預言已被證實。2016年人們利用LIGO探測到大麥哲倫星系方向13億光年外的一對雙星黑洞因為合并而導致的引力波爆發。這次引力波爆發的能量級別相當于3個太陽質量，造成LIGO的干涉條紋發生了微小變化。這是人類首次直接探測到引力波。