2.4 量子場論基礎
2.4.1 拉格朗日作用量
量子場論用于描述各種粒子的性質、運動和變化,及其相互作用和轉化。它描述粒子的主要參數是時空坐標(t,x,y,z)。時空中產生和湮滅的粒子表現為量子性的場,而粒子的相互作用表現為場的耦合,粒子的不同特性表現為場的對稱性和變換性。所以量子場論是關于粒子體系的動力學模型。
在構造粒子體系的動力學模型時,應遵循下述原理。
(1)量子性原理。微觀粒子無不具有量子性,而描述粒子的場量是算符,這些算符應該遵守一定的對易關系。
(2)相對性原理。微觀粒子的運動速度接近光速,量子場方程應滿足洛倫茲變換下的協變性和時空中的對稱性。
(3)定域規范不變性原理。粒子間在通過交換規范粒子傳遞相互作用時應遵循定域規范不變性原理。
(4)可重整化原理。任何量子場論的模型都是可重整化的。
(5)內部空間對稱性原理。假定粒子的內部空間是由特定的、對稱的場構成的。
(6)對應性原理。當粒子數為1時應能給出量子力學的結果。
閔氏空間是平直空間,空間線元是

或者

(2.4.1)
式中,,是閔氏度規。物理量對坐標的逆變微商和協變微商分別寫作:

(2.4.2)
兩矢量的內積為

(2.4.3)
達朗貝爾算符為□=;能量-動量矢量為
。
系統的拉格朗日作用量為

(2.4.4)
它是一個洛倫茲不變量。式中,L是拉格朗日密度,是一個標量。拉格朗日函數為

(2.4.5)
設坐標的變化為,
,所以雅可比式為

此外,場量的變化為,L亦隨之變化,即

式中,用表示坐標不變時的變分,即
,
。
所以拉格朗日作用量的變分為

最后可得

(2.4.6)
在時空的邊界顯然有,
=0,故式(2.4.6)等號右邊的后兩項為零,而
L/
L/
也應為零。由此可得場的運動方程,即拉格朗日方程為

(2.4.7)
與場變量共軛的正則動量定義為

(2.4.8)
哈密頓量定義為

(2.4.9)
式中,是哈密頓密度。哈密頓正則方程為

(2.4.10)
其與拉格朗日方程等價。1918年諾特證明了一個重要定理:若場的連續變換保持作用量不變,則存在與變換相對應的守恒流
,使
,守恒流不隨時間變化,預示著存在一個守恒荷Q:

(2.4.11)
2.4.2 標量場的量子化及規范變換
若是實標量場,則為了量子化,應先寫出其拉氏密度,即

(2.4.12)
式中,的波動方程正是克萊因-戈登方程,即

(2.4.13)
其解為

(2.4.14)
正則動量為

(2.4.15)
哈密頓密度為

(2.4.16)
根據正則量子化規則可得它們的正則對易關系為

式(2.4.13)的通解為

(2.4.17)
式中,相加的兩項中第二項是第一項的厄米共軛,并且是正頻項,
是負頻項,且

(2.4.18)
顯然有

(2.4.19)
可以證明和
都是洛倫茲協變的。
若是復標量場,則為了量子化,也應先寫出其拉氏密度,即

(2.4.20)
L顯然是的泛函,
為互相獨立的場變量,其拉氏方程分別為

(2.4.21)

(2.4.22)
與共軛的正則動量分別為

(2.4.23)
場的哈密頓密度為

(2.4.24)
根據正則量子化規則,場算符具有下述對易關系:

(2.4.25)
協變對易關系為

可將復標量場表示為

(2.4.26)
則有

(2.4.27)
若場量為復數,則可展開為平面波:

(2.4.28)
式(2.4.28)并不要求正頻項與負頻項互為厄米共軛。可以解出:

(2.4.29)
易得其對易關系為

(2.4.30)
因為是兩個獨立變量,所以
和
描述的是兩種玻色子。
由于在系統的邊界處場量為零,由高斯定理和克萊因-戈登方程得哈密頓量為

(2.4.31)
設保持時空平移不變性,則場的能量-動量密度矢量為

(2.4.32)
對于ν=0和ν=1,2,3,分別有

(2.4.33)

(2.4.34)
將式(2.4.33)和式(2.4.34)合并,可得

(2.4.35)
對復數場規范變換為

(2.4.36)
式中,γ為實數。規范不變性要求拉氏密度不變。由

(2.4.37)
可得

(2.4.38)
式(2.4.38)中應用了滿足的拉格朗日方程。令式(2.4.38)為零,可得4-維流矢量連續方程為

(2.4.39)
對于復標量場,4-維流矢量為

(2.4.40)
將連續性方程寫作,可得守恒荷為

(2.4.41)
守恒荷與場的對應關系為

(2.4.42)
規范不變原理要求場方程在定域規范變換下形式不變,為此對作用于的算符進行變換,即

(2.4.43)
式中,是協變微商。若變換為
,則

(2.4.44)
而復標量場的拉氏密度變為

(2.4.45)
如果場具有定域規范不變性,則必存在一個與之相互作用的場,如此引入的場叫作規范場。規范場是一種在粒子內部空間平衡相位變化的相位場。
2.4.3 麥氏場
麥氏場即電磁場。若場具有定域規范不變性,場方程在第二類規范變換
下形式不變,則必存在與它耦合的規范場
滿足下述規范變換:

(2.4.46)
這種變換稱為場的規范變換。若
為復數場,則式(2.4.46)表示的變換僅是相位變而矢量長度不變的幺正變換。生成變換的算符可以互易的變換群稱為阿貝爾群,而生成變換的算符不能互易的變換群稱為非阿貝爾群。幺正變換群屬于阿貝爾群,相應的U(1)規范場又稱為阿貝爾規范場。
例如,由反對稱張量所表示的麥克斯韋拉格朗日密度為

(2.4.47)
其在洛倫茲變換下不變,相應的場正是人們熟悉的麥克斯韋電磁場,這是一個阿貝爾規范場。麥克斯韋電磁場方程為

(2.4.48)
對場的附加條件叫作規范條件,常用的規范條件有洛倫茲規范、庫侖規范和輻射規范,它們的數學表達式分別為

(2.4.49)
為了探討電磁場的角動量,考慮場繞z軸轉過γ角,則場點由x到達
,坐標變換為

(2.4.50)
若繞
軸轉過α角,繞
軸轉過β角,則變換矩陣分別為

(2.4.51)
3次連續轉動的總轉動矩陣為上述3個矩陣之積。當α為無窮小時,總轉動矩陣為

(2.4.52)
若令,則式(2.4.52)為

式中,,是角動量算符,有

(2.4.53)
其對易關系為

(2.4.54)
式中,是3-維3階反對稱張量。
為研究矢量場的自旋本征態,將角動量矩陣[式(2.4.53)]作用于空間坐標,得的共同本征態為
,
的本征值為
。其中,
=
,分別是x軸、y軸、z軸方向的單位矢量。
矢量場是4-維矢量,其空間部分
是3-維矢量,其變換為

(2.4.55)
拉朗朗日密度L在空間轉動時守恒。由諾特定理得,而

(2.4.56)
將其代入守恒流密度公式,并對μ求和,得

(2.4.57)
式中,圓括號中正是場的動量密度。故式(2.4.57)可寫作:

(2.4.58)
式中,,是軌道角動量密度;
,是自旋角動量密度。式(2.4.58)表明,軌道角動量密度與自旋角動量密度之和構成的場的總角動量守恒。
與正則坐標共軛的正則動量的時間分量為零,即
。正則動量不為零的只有空間分量
,因為
。場算符僅有
和
,二者的對易關系為

(2.4.59)
為了將洛倫茲規范正則量子化,把電磁場的拉格朗日密度L修改為

(2.4.60)
當λ=1時,式(2.4.60)可簡化為

(2.4.61)
所以與共軛的正則動量為

(2.4.62)
正則化量子條件為

(2.4.63)
與正則坐標共軛的正則動量為

(2.4.64)
正則對易關系為

(2.4.65)
2.4.4 旋量場
實克萊因-戈登場僅有1個分量,復克萊因-戈登場有2個分量;麥克斯韋場有4個分量,是1階張量;旋量場有4個復分量,構成4-維復空間。首先考慮外爾方程:

(2.4.66)
式中,是待定系數。式(2.4.66)是一階偏微分方程,等號兩邊同乘以算符
,得

(2.4.67)
令b=0,,式(2.4.67)變為

(2.4.68)
式(2.4.68)是二階旋量方程。再令,其中
是泡利矩陣,詳細介紹參閱第1章。顯然,
。最后可得

(2.4.69)
式(2.4.69)就是外爾方程。
外爾方程的解滿足達朗貝爾方程,所以外爾場描述以光速運動的無質量粒子。再者,泡利矩陣出現在外爾方程中,空間旋轉不變性要求它們構成一個3-維空間矢量,而它們又與自旋為1/2的角動量成正比:

(2.4.70)
所以外爾場的兩個分量構成的內部空間是粒子的自旋空間,描述自旋為1/2的粒子。此外,外爾方程有平面波解,故有
,
叫作粒子的螺旋度,
分別表示粒子處于右旋態和左旋態。
從物理觀點看,無質量粒子不可能通過參考系的洛倫茲變換把一個慣性系中的左旋態變成另一個慣性系中的右旋態,螺旋性守恒。左旋光子與右旋光子由麥氏方程統一描述,而質量為零、自旋為1/2的左旋粒子和右旋粒子由兩個外爾方程分別描述。這是質量為零、自旋為1/2的粒子與光子的最大區別。
由空間反射變換和時間反演
都可得外爾方程不變性的條件為

(2.4.71)
若同時進行空間反射P和時間反演T,則外爾方程的形式不變。
為了實現正、反粒子變換,因為,所以對外爾方程取復共軛再乘以
,得

(2.4.72)
場的變換是

(2.4.73)
式中,是模為1的常數,
;C是反幺正算符。與式(2.4.69)相比,式(2.4.72)等號右邊相差一個負號,
描述與
螺旋性相反的粒子。式(2.4.73)和相應方程的變換式(2.4.69)→式(2.4.72)是質量為0、自旋為1/2的正、反粒子的變換。粒子在空間反射P變換下變號,在正反粒子C變換下也變號,故在CP變換下不變號。外爾方程在CP變換下具有不變性。
自由粒子的狄拉克方程描述正、反兩種有質量、自旋為1/2的粒子,質量為0時簡化成外爾方程。兩外爾方程皆為耦合方程,它們可以合寫為一個方程:

(2.4.74)
因為是4×4的厄米矩陣,σ是2×2的泡利矩陣,所以式(2.4.74)是4分量旋量方程,叫作自由粒子的狄拉克方程。在狄拉克表象中,式(2.4.74)為

(2.4.75)
還可以寫成相對論協變形式:

(2.4.76)
式中,。
2.4.5 狄拉克方程的變換性質
現在推導狄拉克方程的相對論協變條件。在洛倫茲變換下,旋量空間的變換為

(2.4.77)
式中,A是4×4的幺正矩陣;是4分量旋量。以A作用于式(2.4.75)的第一式且代入
,得

(2.4.78)
要求式(2.4.78)與式(2.4.75)的第一式具有同樣的形式,則可以得到狄拉克方程的相對論協變條件:

(2.4.79)
在正規洛倫茲變換下,利用無窮小正規洛倫茲變換,即

(2.4.80)
4×4的幺正矩陣A可寫作:

(2.4.81)
將式(2.4.81)代入式(2.4.79),并略去的二次項,得

(2.4.82)
根據矩陣的反對易性和反對稱性得
。于是可得

(2.4.83)
由此可證明狄拉克方程在洛倫茲變化下的協變性。
狄拉克旋量場的拉格朗日密度為

(2.4.84)
由它給出的狄拉克旋量方程及其共軛是

(2.4.85)
按照正則量子化規則,與正則坐標共軛的正則動量是
,由此可寫出旋量場算符正則對易關系。但是,這樣得到的對易關系是坐標空間中玻色子產生算符與湮滅算符的對易關系,系統的態矢量對兩個粒子的交換保持不變。粒子數密度算符
的本征值并無什么限制,這與實驗結果不符。
2.4.6 路徑積分
牛頓力學有3種表述方式:①牛頓三定律。基本概念是力、質量和加速度,動力學方程為牛頓第二定律。②拉格朗日形式。基本概念是廣義坐標、廣義速度、拉格朗日函數,動力學方程為拉格朗日方程。③哈密頓正則形式。基本概念是正則坐標、正則動量、哈密頓函數,動力學方程為哈密頓正則方程。量子理論也有3種表述形式:薛定諤創立的波動力學,海森伯創立的矩陣力學,以及費曼創立的路徑積分形式。
我們知道,因為,所以
。由此可得

(2.4.86)
這就是高斯積分。對式(2.4.86)中的求n次導數,得

(2.4.87)
因此的均值為

(2.4.88)
由式(2.4.86)可得有源高斯積分為

(2.4.89)

(2.4.90)
n-維實空間中的高斯重積分是

(2.4.91)
式中,,是n-維矢量;k是n×n階矩陣。線性變換
要求x
k
x
,即k=s
,dets=(detk)
,這要求k是對稱矩陣,即
。作換元積分
,然后代入雅可比行列式dets=(detk)
,得

(2.4.92)
根據泛函理論可以證明量子場論中心等式,即

(2.4.93)
以及

(2.4.94)
格拉斯曼代數的核心是一個變量的平方總是等于0,猶如兩個重疊線段的面積為0。這意味著,
,
,表示
兩個代數量成反對易關系。費米子遵守泡利不相容原理,即兩個費米子不能占據同一個量子態,而玻色子則不然,它們“寬容大度”,允許多個玻色子“坐在同一把椅子上”。格拉斯曼代數恰能表達玻色子的這一性質。格拉斯曼數又稱q數,其乘法滿足反對易關系:

(2.4.95)
格拉斯曼積分具有平移不變性,即

(2.4.96)
由式(2.4.95)易得

(2.4.97)
而ξ與的乘積為

(2.4.98)
設格拉斯曼函數是,則有

(2.4.99)
格拉斯曼函數對ξ的積分為

(2.4.100)
比較式(2.4.100)和式(2.4.99)的第一式可以發現,格拉斯曼函數對同一個變量的微分與積分結果相同。
現在可以談論費曼積分了。用量子態或者場代替運動路徑,粒子從A點到達B點,可能的路徑很多,可以認為無限多,那么到底經過了哪條路徑?都有可能!費曼假定,粒子經過不同路徑的概率是相等的,只是相位不同。U(t)表示與路徑 X(t)相應的作用量,寫出概率振幅,然后利用疊加原理對所有路徑上的振幅求和,和的平方便是粒子從A點到達B點的概率。
設系統的哈密頓算符為H,系統的時間演化算符是

(2.4.101)
將時間段分成N部分,
,當N→∞且
時,時間演化算符為

(2.4.102)
坐標表象中的波函數為

(2.4.103)

(2.4.104)
式(2.4.104)稱為躍遷振幅變換函數,表示時刻處于
的系統在t時刻躍遷到q的概率幅度。將式(2.4.102)代入式(2.4.104)的第二式,運用基矢完備性公式,得

(2.4.105)
其中因子可以寫作:

(2.4.106)
這里代入了動量本征態波函數。而H(p,q)定義為

(2.4.107)
把式(2.4.106)代入式(2.4.105)(注意當N→∞,時,
)得

(2.4.108)
式中,

(2.4.109)
式(2.4.108)表示在時間時q(t)和p(t)分別在坐標空間和動量空間跑遍端點
和
之間的所有路徑的一個無限維泛函積分,這是一個路徑積分。
如何根據H(p,q)的表達式對p(t)進行路徑積分呢?請看費曼公式。設

(2.4.110)
則式(2.4.108)變為

(2.4.111)
式中,

(2.4.112)
將式(2.4.112)代入式(2.4.111)得到關于躍遷振幅的費曼公式:

(2.4.113)
式中,

(2.4.114)
費曼公式也可推廣到多自由度情形,這時有

(2.4.115)
費曼公式也可寫作:

(2.4.116)
本章僅介紹了量子場論的基礎,希望讀者在此基礎上進一步研讀。需要重點了解的內容包括散射問題的路徑積分,標量場的路徑積分,費曼圖,旋量場的路徑積分,散射振幅與費曼圖,格林函數的費曼圖,S矩陣,重整化。