2.1　狹義相對論

1905年，愛因斯坦在法文科學雜志《物理年鑒》上發表了論文《論動物體的電動力學》，標志著狹義相對論的誕生。

2.1.1　兩個基本假設和洛倫茲變換

狹義相對論有如下兩個基本假設。

①狹義相對性原理：一切相對做勻速直線運動的慣性系，對于描寫運動的所有物理規律是等價的，或者說在所有慣性系中物理定律具有相同的形式。例如，在相對做勻速直線運動的慣性系E和中，牛頓第二定律可以分別寫作如下格式。

在慣性系E中：。

在慣性系中：。

n個自由度體系的拉格朗日方程可以分別寫作如下格式。

在慣性系E中：。

在慣性系中：。

②光速不變原理：真空中的光速在任何慣性系中、沿任何方向都是恒定的，與光源的運動狀態無關。注意，這一原理僅適用于慣性系，并且條件是在真空中。

洛倫茲變換公式為

其逆變形式為

式中，。令

則有

一般宏觀物體的運動速度遠小于光速，可令=0，則

這正是伽利略坐標變換公式。由式（2.1.4）可得

再求導，得，即。

2.1.2　尺鐘效應

長度收縮效應和時鐘變慢效應統稱尺鐘效應，長度收縮效應的公式是

慣性系的三維坐標軸與慣性系E的對應坐標軸平行且方向相同。初始時刻其坐標原點與O重合，慣性系以速度v沿x軸正向運動。長度為的一根木棒沿軸水平放置，相對慣性系靜止不動，其左、右端點在慣性系的軸上的坐標分別為、，在慣性系的x軸上的坐標分別為、，則木棒在慣性系中的長度為

將洛倫茲變換公式代入式（2.1.6），得

設木棒在慣性系E中的長度為L，L=，則由式（2.1.7）可得

式（2.1.8）可以表示物體在運動方向上的長度收縮。

時間也是相對的。設地球靜止，以太空船在地球的初始位置為原點，以太空船離開地球的方向為x軸正向，建立三維直角坐標系。若太空船運動的速度為u，則由洛倫茲變換可得太空船中的時間間隔，以表示為

式中，表示靜止坐標系中的時間間隔，可得

2.1.3　速度變換公式

對洛倫茲變換公式，即

求微分，得

式中，u是運動坐標系相對于靜止坐標系沿x軸的運動速度。令

分別為運動坐標系3個坐標軸上的速度分量，而

分別為靜止坐標系3個坐標軸上的速度分量，則兩個坐標系之間的速度變換關系為

如果u<<c，則β=0，，由此可得到牛頓理論的速度變換公式。

2.1.4　聲波和光波的多普勒頻移

當聲源與聽者之間存在相對運動時聽者聽到的聲波頻率發生變化的現象叫作聲波的多普勒效應。聲源頻率等于聲源單位時間內發出的波長數，而聽者聽到的聲波頻率等于聽者單位時間內接收到的波長數。設聲源和聽者分別以速度在靜止介質中沿同一直線做同向運動。聲波的波速為V，波長為，則聲波在t時間內的傳播距離為Vt，波個數為n=Vt/。當聲源以速度運動時，這n個波位于(V-)t的距離內，波長。因為聽者同向運動的速度為，故聲波相對于聽者的速度為V-。由于波速V等于波長乘以頻率，所以聽者聽到的聲波頻率為

由式（2.1.12）可見，當聲源和聽者都不動時，f=；當聽者向遠離聲源的方向運動時，聽者聽到的聲波頻率變小，發生紅移，反之聽者聽到的聲波頻率變大。

光波是電磁波，具有波粒二象性。設慣性系E相對靜止，慣性系沿著x軸正向以速度U運動。它們的坐標軸兩兩平行且方向一致?，F在有光子沿著與x軸成θ角的方向射去。在慣性系E中，光子能量為，動量為，其中是光子頻率；在慣性系中，光子能量為，動量為。若將光子的動量投影在坐標軸上，則在慣性系E中有

在慣性系中有

依據洛倫茲變換公式可以導出兩個慣性系中能量、動量變換關系，即

把能量、動量相關公式代入上式中的第四式，得

或者

2.1.5　相對論動力學

1．動力學基本方程

相對論動力學基本方程為

式中，；為動量對時間的變化率；m為相對論質量，其是速度的函數，即。

2．動量定理

由式（2.1.15）得

式（2.1.16）表明，物體動量的增量等于力的時間累積效應。

3．相對論質量

上文中提到，相對論質量m是速度的函數，其具體表達式為

證明：設慣性系和E的坐標軸對應平行，相對于E沿x軸正向以速度v運動。在慣性系E中質量為m的A球與靜止的質量為的B球發生對心碰撞（m=），碰撞之后A球與B球的共同速度為。由動量守恒定律得

在慣性系中的觀測者看來，在這一碰撞過程中，質量為的A球靜止，質量為m0的B球以速度v沿x軸負向運動，并與A球發生碰撞，碰撞之后A球和B球的共同速度為。由動量守恒定律得

由式（2.1.18）得

由式（2.1.19）得

已知速度變換公式為

將式（2.1.20）和式（2.1.21）代入式（2.1.22），得

化簡，得

4．動能定理和質-能關系式

由相對論動力學基本方程，即式（2.1.15）得

考慮

對后面的式子微分，得

所以可得

兩邊積分，得

即

式（2.1.24）又稱為質-能關系式，表明物質與能量在一定條件下可以相互轉化。