推薦序一

我指導的學生張國強（筆名昍爸）2008年在中國科學院計算技術研究所獲得博士學位后，到南京師范大學工作，現在是該校計算機學院的教授，還獲得過“百名青年領軍人才”榮譽。他在讀中學時曾獲得全國數學聯賽一等獎、江蘇賽區第一名，高考數學滿分。2016年，他在微信上開設公眾號“昍爸說數學與計算思維”（昍bamath），給中小學生和數學愛好者講解數學思維，受到廣泛好評。2020年，中國婦女出版社邀請他寫了一本科普著作《給孩子的數學思維課》，并約我寫序，我欣然同意。因為給大人們看的數學科普著作不少，而給孩子們傳播數學思維和計算思維的書尚不多見，所以這本書值得推薦。

奧數在中國曾經牽動千家萬戶，因為奧賽的佼佼者不僅可以高考加分，而且可以免試進入清華、北大等重點高校。無數家長逼著孩子上課外奧數班，多數孩子在被灌輸的“難題”“怪題”中沒有體會到鉆研數學的樂趣，反而感到苦不堪言，因為他們沒有從奧數教育中培養出數學思維的興趣，更沒有產生強烈的好奇心。其實，奧數的本意并不是在課堂教育之外超前學習更多的數學知識，也不是學一些對付“腦筋急轉彎”的“套路”，奧數與數學課堂教育的目的都是培養學生的數學思維能力。我相信，如果按照《給孩子的數學思維課》一書中所介紹的方法去教奧數或者上正規的數學課，孩子們對數學一定會產生濃厚的興趣。

我上初中的時候，似懂非懂地讀了一本封面已泛黃的書《科學概論》。書中講了一個有趣的故事：很久以前埃及有個殘暴的國王，他每天都要殺一個人，殺人之前要被殺者講一句話，如果講的是真話就要被砍頭，如果說假話就要被絞死。一句話非真即假，因此沒人能逃脫被殺的命運。然而有一個聰明人，他講了一句話：“我是被絞死的。”這樣國王砍他頭不行，絞死他也不行，只好把他放了。這個故事講的是“數理邏輯”，我讀完這個故事后覺得太神奇了，當時就想長大了一定要研究這門學問。后來，我幾經波折終于還是做了計算機與人工智能研究的工作，這個工作與數理邏輯有很密切的關系。我感受到，小時候的興趣和好奇真的可以受益一輩子。

《給孩子的數學思維課》這本書最大的特點是匯集了在生活中培養數學思維的案例，把抽象的數學思維方法講得明明白白、引人入勝。用一個班36個學生同年同月同日生的可能性高于80%的“生日悖論”解釋了概率思維；從三刀能將生日蛋糕切成多少塊提煉了抽象思維；從報數游戲和漢諾塔游戲中總結出逆向思維和遞歸思維；書中還有許多有趣的生活案例分別闡述了整體思維、極限思維、對稱思維，等等。這些思維方式都是數學的真諦，數學思維能力的培養比死記硬背數學公式、用題海戰術對付考試重要得多。

人類是群居的動物，天性傾向于隨大流和聽信他人。數學思維并不是人的本能，只能靠后天刻意培養才能習得。多數家長只關心孩子學到了多少知識，一些很吸引眼球的電視節目也多半是表現天才青少年驚人的記憶能力，但在互聯網如此發達、信息觸手可及的今天，記憶能力已顯得不那么重要，掌握科學思維方法比熟記很多知識更有價值。完整的科學思維體系是螺旋式上升的循環：觀察事實—用邏輯推出結論—批判性看待結論并對其進行調整—尋找新的事實。對于中小學生而言，最核心的教育是培養孩子的品格，包括對未知世界發自內心的好奇心、勇于嘗試新事物的熱情、審辨性的獨立思考（critical thinking）。《給孩子的數學思維課》旨在播下數學思維的種子，讓孩子們知道，書本之外還有更豐富的世界，鼓勵他們主動將生活中遇到的現象與書本知識聯系起來。數學源于生活，又要回到生活中去，再高深的數學最終還是要融入科學實踐、生產實踐和社會實踐中去，離開了人類的實踐活動，燦爛的數學之花必將枯萎。

嚴格地講，數學是以不可證偽的公理為基礎的學科，不屬于自然科學，（可以證偽是自然科學的基本屬性）而是形式科學，但數學思維和一般的科學思維有許多共同之處。數學思維和科學思維不是冷冰冰的說教，而是有“溫度”的，這種溫度就是“情感”。情感是人對客觀事物所持的態度體驗，特別是對人類社會需求的態度體驗。著名數學家丘成桐先生說過：“中國的理論科學家在原創性上還是比不上世界最先進的水平，我想一個重要的原因是我們的科學家人文的修養還是不夠，對自然界的真和美感情不夠豐富。”回顧科學發展史可以發現，在解決關鍵的科學問題時，科學家的主觀感情起著極為重要的作用，這種感情是科學發現的原動力！如果一個年輕人對自己要鉆研的學問懷有濃厚的感情，就不但能“獨上高樓，望盡天涯路”，還能“衣帶漸寬終不悔”。高尚情感的養成與人文教育密切相關，有志于科學研究的年輕人不但要重視數學思維的訓練，還要重視人文素質的培養。

20世紀80年代我在美國普渡大學讀博士時，普渡大學計算機系曾做了一次“計算機學者的成就與中小學基礎教育的相關性調查”，跟蹤與溯源調查結果表明：計算機系畢業生取得成就的大小與他是否及早接觸計算機相關性不大，即計算機從娃娃抓起的學生沒有明顯優勢，而與中學的語文和數學成績有較強的相關性。人們很容易理解計算機與數學強相關，但往往不太理解為什么與語文強相關。美國沒有單獨的語文課，語文課包括閱讀、寫作、溝通等一系列課程。閱讀拓寬視野，啟迪思維；寫作使人邏輯清晰，思想深刻；溝通強調傳遞思想的理性和效率。這些素質不僅是對計算機學者的要求，而且對其他科研領域同樣重要。美國SAT考試（相當于我國的高考）只考閱讀、寫作、數學三科，可見對語文教育的重視。我國最近幾年才取消高考文理分科，許多中學生還是重理輕文。中學是基礎教育，要重視全面發展，防止過早學科化和專業化。世界上許多大科學家都是文理兼備，如愛因斯坦、玻爾、普朗克等。著名物理學家李政道，數學家丘成桐、蘇步青等都有很高的文學修養。在數學和物理領域均有杰出成就、創立了超弦M理論又獲得過菲爾茲獎的愛德華·威騰 (Edward Witten) 教授，被學術界譽為“當代的牛頓”，他讀本科時是歷史學專業的學生。因此，有志于增強數學思維能力的中學生要自覺地提高自己的人文素養，培養浩然之氣。

中國工程院院士

第三世界科學院院士

中國計算機學會原理事長