3 如何對只有本人才知道的信息進行推斷？

通過飛機的引擎聲辨別機種

章魚哥以僅僅3.7%的驚人概率猜中了球賽的比賽結果，當我們聽到這則新聞的時候，可能沒有人會認為“章魚是通過可靠信息才猜中的”。但是，如果猜中比賽結果的是人呢？比如，某位紳士說“把我的眼睛蒙上，僅憑引擎聲，我就能辨別飛機的機種”，然后開始聽聲音辨機種。飛機的引擎聲里可能有某種一般人無法辨識的差異，所以當這個人連續猜中機種之后，我們就會說：“這個人的確有本事，他沒有唬人。”

不僅是猜飛機，鐵路迷們估計也能通過聽火車聲音分辨出不同車型的火車。

紅茶先還是牛奶先？猜猜看!

接下來，我要給大家講一個例子。

這是一個統計學里非常有名的故事，被稱為“紅茶夫人”。

英國有一位貴婦說：“奶茶的調制順序對風味有很大的影響，把紅茶加進牛奶里與把牛奶加進紅茶里，喝起來口味會完全不同。我能品出一杯奶茶是先倒的紅茶還是先倒的牛奶。”此言一出，身邊的紳士小姐們便開始議論紛紛。

絕大部分人都覺得這滑稽可笑：“這兩種混合方式的化學成分有什么差異嗎？紅茶加入牛奶里和牛奶加入紅茶里味道會有什么不同嗎？真是莫名其妙，開玩笑的吧！”

其中有一位紳士表現出了興趣，他提議說：“這可真是一個有趣的話題啊，我們不妨來試一試。”他認真地設計了實驗步驟，包括要準備多少杯紅茶、按照什么順序給這位貴婦喝等。這位紳士就是統計學的鼻祖羅納德·費希爾。

貴婦所說的究竟是真是假？她是確有這本事還是在開玩笑？這里就涉及“旁觀者如何根據觀察進行判斷”的問題（本書采用與費希爾不同的思考方式）。

啟示就來自章魚哥拉比奧。

旁觀者如何進行判斷?

：這個故事有趣吧。大和，你怎么看？

：學姐你先告訴我，思考這個紅茶故事有什么用處？

：有什么用處？你可真是性急啊！它可以運用到諸如設計安保系統或者AI聲控等復雜的工程上。但是，如果不懂其中的原理的話，就什么用處都沒有了。究竟有什么用，我們待會兒再說，先回到紅茶的話題上。

如果只用一杯紅茶來做實驗，那么貴婦不管是說真話還是撒謊，都只是一個二選一的問題，也就是說，回答正確的概率是1/2（50%）。想必“紅茶夫人”也不會為了賭這1/2的概率接受挑戰。

那么，連著做兩次實驗呢？她回答正確的概率就變成1/2×1/2=1/4，即25%了。就算這樣，也有可能在4次里有1次碰巧猜中，這還遠不能說服那些確信“這不可能是真的”的紳士小姐們。

那就連猜3次好了，猜中的概率變成1/2×1/2×1/2=1/8，即12.5%。3次嫌少就繼續猜第4次吧，概率變為1/6，即6.25%；連續5次猜中的概率為1/32， 即3.125%。6次、7次、8次呢？

究竟要做多少次實驗、連續猜中多少次才能讓人們相信她是真的有這個本事”呢？有沒有一個好的判定方法能為這無休無止的實驗做一個了斷呢？

非數學證明？

：如果是我的話，連續3次或4次猜中是先倒的紅茶還是先倒的牛奶，我就會折服了：“哇，調制順序不一樣，真的味道就不一樣哎，貴婦沒有撒謊！”那么，實際上究竟連續猜中多少次才能得到人們的認可，這需要通過數學方式來證明。

：哈哈！你在說什么呀？數學證明？那是不可能的。就算用最新的傳感器測試出了奶茶味道的不同，這里面仍然有一個問題，那就是，“貴婦是真的通過嘗出了味道的異同做出的判斷，還是隨便說說的”，對此我們該如何辨別？

最終，“是真的還是假的”，只有貴婦自己才知道，第三者是不可能“證明”什么的！ 我想說的是，要找一個能從外部進行判別的方法。

：啊？這個我們怎么可能通過外觀來分辨呢？只有貴婦本人才知道吧。

有沒有一個被多數人“認可的界限”？

的確，正如大和所說，只有本人才知道的真偽，要讓我們這些旁觀者來進行正確與否的判斷，實在是太難了。或者說，這是不可能的。就算用上測謊儀，也不一定能百分之百判斷正確。

那可如何是好？

：我們可以用“畫線思維”。我再給你們一點提示，我們可以用“概率”來思考。“紅茶夫人”的故事，你們會不會覺得像是在做一個猜謎游戲？而這也正是現代統計學初始階段的重要主題。

我們在前文中說過，統計學大致分為“描述統計學”和推斷統計學”，現代統計學以推斷統計學為中心。推斷統計學以總體中的部分（樣本）為基礎，用隨機抽樣的數量特征信息來推斷總體的數量特征，從而做出具有一定可靠性保證的估計或檢驗。

這個話題我們到后文中再說，總之，還是先來聽聽兩個人的對話吧。

：現代統計學初始階段的重要主題？這么難的問題啊？我覺得對我來說就是猜謎。學姐，給點提示吧。

：好吧。首先要認識到根本就沒有百分之百猜對的情況。那我們是不是可以退而求其次，找一個讓大多數人都能接受的妥協點，也就是考慮一個能預計出的結論。

：妥協點？這的確跟數學沒啥關系了哈。

：就是大多數人都能接受的點。比如，如此小概率發生的事情，那就絕對不是“偶然事件”或“碰巧”了，必須得相信！也就是大多數人都能接受的一個程度，我們來定一下這個度吧。

：這個是人為決定的嗎？這么勉強，好意外哦。

：如果連續20次都猜對了，那概率就是百萬分之一了，這可是一個天文數字哦！這種情況，你還能說是偶然嗎？

：一百萬次才有一次正確？這樣的話誰都不會否認“紅茶夫人有真本事”了。百萬分之一，這概率也太低了，想要猜中一次的確是太難了。

：百萬分之一的概率，大和你應該承認“紅茶夫人”的本事了吧？那么，如果是萬分之一的概率呢？你還會這么想嗎？

：是的，萬分之一的概率，我也信。其他人也會這么想吧。

：那么，1%的概率呢？也信？好吧，那多大的概率你才會認為不是偶然、不是碰巧，而是憑本事的判斷呢？

：這個嘛， 10%？也就是10次里有1次猜對，呃，這好像要求有點兒太低了哈。那就5%吧，當出現20次里才有1次猜對的情況時，我會認為“偶然”的可能性很低。

“5%=20次里有1次猜對”的概率，就好像讓20人抽阿彌陀簽（日本常見的抽簽游戲），給其中唯一抽到簽的那個人發獎金，或者讓他在宴會上表演一樣，概率很低。下面就是一幅阿彌陀簽圖，相鄰的平行線間任意各畫兩條橫線。

詳細說明就此省去，不過，當阿彌陀簽的橫簽只有一根或者兩根的時候（這種情況很常見），如果事先知道一頭一尾數字對應的那根簽中簽的概率比較高的話，也許在實際抽簽時能有一定幫助哦。

是不是偶然，取決于這5%？

：5%嗎？從常識上來講是這樣的，統計學里也的確有一條5%的誤差線。所以，如果發生5%以內非常小概率的事情，我們就不認為這是偶然和碰巧了。相反，發生大于5%概率的事件，我們就會考慮這是偶然。

：哦哦，我明白了！4連中（1/16）的話，概率是6.15%，高于5%；5連中（1/32）的話，概率是3.125%，低于5%。這的確是非常嚴格的界定啊！如果在破5%之前出現了錯誤，“紅茶夫人”可能會為自己找個借口吧。www：她可能會說：“哈哈，開個玩笑罷了。英國紳士們都不知道這是在開玩笑嗎？”

與5%誤差線相對應，也可以說，只要是沒有進入95%的概率范圍即可。在“紅茶夫人”一例中，我們只是單方面考慮了她是否猜中，如下左圖，這在統計學里被稱為“單向檢驗”。

如果把持續偏差的小概率事件也一并考慮進去，那么，雙誤差率合為5%，這就是“雙向檢驗”了。是采用雙向檢驗還是單向檢驗，在判斷上會有截然不同的差異出現（本書不涉及“檢驗”內容）。

如果“紅茶夫人”連續5次（3.125%）猜中，從單向檢驗的角度來看（5%），的確可以認定“紅茶夫人”所言的正確性；但從雙向檢驗的角度來看，因為其概率為3.125%，沒有進入2.5%范圍，所以，如果再猜一次沒有猜中的話，她就不會被認可（“紅茶夫人”的例子里采用的是單向檢驗，不算嚴格）。

到底是采用單向檢驗還是雙向檢驗？哪種檢驗方法更合適？這在我們最初畫誤差線時，就有必要事先決定好。

不過，需要知道的是，無論概率多么低，都會有偶然連續命中的可能。所以，世上沒有100%的正確率，也沒有絕對的正確，這就是統計學的觀點。

總結

雖然沒有絕對，但我們可以定一條被大多數人接受的誤差線，統計學通常把這條誤差線畫在5%。