01　會算術的“天才”動物

從18世紀開始，有關自然歷史的一些書中就流傳著這樣一則故事：

一只烏鴉將它的巢筑在一座塔上，而這座塔坐落在一個貴族的領地上，于是這個貴族就想將這只烏鴉射下來。但是每當貴族接近那座塔時，那只烏鴉就會飛到射程之外，一旦這個貴族離開，它又會重新回到自己的巢穴。貴族請他的鄰居幫忙，兩個獵手一起進入那座塔，之后他們中的一個離開了。但是烏鴉并沒有掉入這個陷阱，而是一直等到第二個人離開才返回自己的巢穴。后來，貴族又請來3個人、4個人、5個人幫忙，這些計謀都沒有蒙蔽這只聰明的鳥兒。每一次，這只烏鴉總能等到所有的人都離開才飛回巢穴。最后，6個獵手一起進入了那座塔，當他們中的第五個離開時，烏鴉自信地飛了回來，畢竟它不是那么擅長計數，最終它被第六個獵手射落。

這個故事真實可信嗎？沒有人知道。我們也不清楚這是否和數字能力有關：據我們所知，鳥類能夠記住的是每個獵人的相貌，而不是獵人的數量。但是，我引用這個故事是因為它很好地說明了動物的算術能力，而這正是本章要討論的主題。首先，在許多嚴格控制的實驗中，鳥類和其他動物物種不需要經過特殊的訓練就能表現出感知數量的能力。其次，這種感知并不是非常精確，隨著數字的增大，這些參與實驗的動物的感知準確率會下降，這就是為什么故事中的那只烏鴉混淆了5和6。最后，也是最滑稽的，這則故事告訴我們，達爾文提出的自然選擇的理論也同樣適用于算術領域。如果那只烏鴉可以數到6，那么它可能就不會被射中了！在許多物種中，估計捕食者的數量和兇殘程度，量化和比較兩種食物源的收益，這都是生死攸關的大事。這樣的進化觀點能夠幫助我們理解一些科學實驗，它們能夠揭示動物進行數字計算時的復雜過程。

一匹名叫漢斯的馬

在20世紀初，一匹名叫漢斯（Hans）的馬登上德國報紙¹的頭條。它的主人威廉·馮·奧斯滕（Wilhelm Von Osten）可不是一名普通的馬戲團馴獸師，受到達爾文觀點的影響，他熱衷于證明動物的智力水平。他用十多年的時間教他的馬學習算術、閱讀和音樂。雖然訓練的效果過了很久才體現出來，但是最終卻大大超出了他的預期。這匹馬似乎擁有極高的智力，它可以解決算術問題，甚至可以拼出單詞！

馮·奧斯滕常常會在自家院子里向眾人展示聰明的漢斯的能力。人們在漢斯的前面圍成一個半圓，并向馴馬師提出一個算術問題，比如：“5加3等于多少？”馮·奧斯滕會在漢斯面前的一張桌子上擺上5件物品，在另一張桌子上擺上3件物品。在仔細審“題”之后，漢斯就會以蹄子敲擊地面的方式來回答問題，敲擊的次數與兩數相加的和相同。然而，漢斯的數學能力遠不止在這種簡單的技藝上所表現的。對一些由觀眾口頭提出或用數字符號寫在黑板上的算術問題，漢斯仍能夠輕松地解決（見圖1-1）。漢斯還能解決兩個分數相加的問題。比如“2/5+1/2”，它會先敲擊9下，再敲擊10下，給出9/10的答案。據說，即便是“28的約數有哪些”這樣的問題，漢斯也能夠給出非常準確的答案：2、4、7、14和28。顯然，漢斯對數字知識的了解已經遠遠勝過了那些聰明的小學生！

1904年9月，一個專家委員會對漢斯的技藝進行了深入徹底的調查，著名的德國心理學家卡爾·斯圖姆夫（Carl Stumpf）也是委員會成員之一。他們最終得出結論：漢斯的技藝是真實的，并不存在欺騙性。然而，這個籠統的結論并沒有使斯圖姆夫的學生奧斯卡·芬格斯特（Oskar Pfungst）感到滿意。在馮·奧斯滕的幫助下——這位主人確信他的天才馬具有極高的智力，芬格斯特開始對漢斯的能力進行系統的研究。芬格斯特的實驗，即便拿現在的標準來看，也是嚴密和富有創造力的典范。他的研究假設是：漢斯對數學根本一無所知，因此，一定是主人自己，或是人群中知道答案的某人，在漢斯敲擊到正確數字的時候給了它隱蔽的信號，從而使它停止敲擊。

為了證明這個假設，芬格斯特設計了一個方法，將漢斯對問題的認識與主人對問題的認識區分開來。他將之前的程序進行了微小的調整：主人可以看到用很大的印刷體寫在題板上的簡單加法算式，之后題板會轉向漢斯，使得它能夠看見問題并解答。然而，在實驗中，有時芬格斯特在向漢斯展示問題之前會暗中調換加法算式，比如，主人看到的是“6+2”，而實際上漢斯要嘗試解決的問題是“6+3”。

在經過一些后續的細節控制之后，這項實驗的結果非常明確。每當主人知道正確答案時，漢斯就能得出正確答案，而當主人不知道正確答案時，漢斯則會給出錯誤答案。另外，漢斯所給出的錯誤答案通常就是主人所期待的數字。顯然，是馮·奧斯滕自己，而不是漢斯，得出了不同算術問題的答案。但是漢斯究竟是怎樣知道要在何時停止敲擊的呢？芬格斯特最終推斷，漢斯真正驚人的能力在于它能夠捕捉到主人頭部和眉毛的微小動作，而這些動作通常表明停止敲擊的時機。事實上，芬格斯特一直確信這位馴獸師是誠實的。他相信那些信號的發出完全是無意識的，而并非故意所為。即便馮·奧斯滕不在場，馬也能繼續給出正確的答案：顯然，當敲擊到正確的數字時，漢斯能夠感受到觀眾的情緒中增長的緊張感。即便發現了漢斯能夠利用哪些身體線索，芬格斯特也不能阻斷人們與它進行無意識交流的所有方式。

芬格斯特的實驗對“動物智力”的論證提出了嚴重質疑，同時也對那些像斯圖姆夫一樣自稱專家卻盲目認同這一論點的人的能力提出了質疑。確實，今天的心理學課堂中仍在講授“聰明的漢斯現象”，它仍然象征著實驗者的預期和干預可能對心理實驗結果產生的不良影響，不論這種預期和干預多么微乎其微，不論實驗對象是人還是動物。從歷史層面來看，漢斯的故事在塑造心理學家和動物行為研究者的批判性思維方面起了重要的作用，它讓人們注意到嚴謹的實驗設計的必要性。一個很難被注意到的刺激，比如眨眼，都可以影響動物的表現。因此，一個設計良好的實驗必須避免一切可能的失誤源。這一教訓尤其被行為主義者很好地接受了。比如斯金納（Skinner），他做了大量的工作，致力于發展動物行為研究的嚴謹實驗范式。

然而，漢斯這個典型案例也對心理科學的發展產生了很多負面的影響。它使得人們對整個動物數字表征的研究領域充滿質疑。具有諷刺意味的是，每當有人證明動物的數字能力時，科學家們就會挑起眉毛，就好像在給漢斯提供解題線索似的。人們總會有意無意地將此類實驗與漢斯的故事聯系起來，它們即便不被認定為是偽造的，也會被質疑設計存在缺陷。這其實是一種不合理的偏見。芬格斯特的實驗只是證明了漢斯具有數字能力是一種巧合，并沒有證明動物不可能理解算術的某些方面。在很長一段時間內，科學家們只是系統地尋找一些實驗偏差來解釋動物行為，而完全不去考慮“動物擁有初始階段的計算知識”這一假設。當時，即便是最有說服力的結果也不能說服任何人。一些研究者甚至傾向于認為動物有一種神秘的能力，例如“節奏辨別”的能力，而不愿意承認動物可以對客體集合進行計算。簡言之，科學界往往在倒洗澡水的時候，將嬰兒也一起倒掉了。

在引入一些最終得到所有人（除了那些最多疑的研究者）信服的實驗之前，我想以一則現代故事來結束漢斯的故事。即便是在今天，對馬戲團動物的訓練用的也是與漢斯那時一樣的把戲。如果你曾經在一場表演中看到動物將數字相加、能拼寫單詞，或是做類似的令人驚奇的事情，你完全可以確定，這些行為就像漢斯的行為一樣，依靠的是馴獸師和動物之間的隱蔽交流。我要再次強調，這種交流并不一定是有意的。馴馬師通常是由衷地對他的“學生”的天賦確信無疑。幾年前，我在一份瑞士本土的報紙上看到一篇有趣的文章。一位記者拜訪了吉勒（Gilles）和卡羅琳（Caroline），他們飼養的一只名為普佩特（Poupette）的貴婦犬似乎在數學上表現出超凡的天賦。圖1-2中是普佩特自豪的主人，他正將一系列寫在紙上需要相加的數字展示給他那位忠實而聰明的伙伴。普佩特用爪子拍打主人的手，用拍打的次數表示確切的數字。當拍到正確的次數時，它會舔主人的手，在此過程中它沒有出現一次錯誤。據它的主人說，這只天才的貴婦犬只接受了很簡短的訓練就有了這種能力，這使他相信了輪回或類似的超自然現象。然而，這位記者敏銳地發現，當拍到正確數字時，這只狗能夠從主人的眼皮或是手部的微小動作中獲得提示。所以這確實是一種輪回：聰明漢斯的策略進行了一次輪回，在一個世紀之后，普佩特對其進行了一次驚人的重現。

老鼠“會計師”

在漢斯事件之后，一些著名的美國實驗室開始對動物的數學能力展開研究。這類項目大多失敗了，然而，德國著名動物行為學家奧托·克勒（Otto Koehler）的研究卻取得了一些成就²。在他訓練的烏鴉中，有一只名為雅各布（Jacob）的學會了在一些容器中選出鉆有5個孔的那個蓋子。因為在不同的實驗輪次中，5個點的大小、形狀和位置是隨機改變的，所以這種表現只能被解釋為“此烏鴉對數字5有精確的認知”。但是，克勒團隊的這項成果影響甚微，一方面是因為其大部分的研究結果只是在德國發表，另一方面是因為克勒的同事認為，他并沒有排除所有可能的失誤源，如實驗者間的無意識交流或嗅覺線索。

在20世紀五六十年代，美國哥倫比亞大學的動物心理學家弗朗西斯·梅希納（Francis Mechner）與艾奧瓦大學的約翰·普拉特（John Platt）和大衛·約翰遜（David Johnson）一起，采用了一種令人信服的實驗范式，我在這里粗略地介紹一下³。實驗者將一只被暫時剝奪了食物的老鼠安置在封閉的盒子中，盒子里有A和B兩根操作桿。操作桿B與一個機械設備相連，這個設備可以給出少量的食物。然而，這個獎賞系統并不是即時的。老鼠需要重復地按壓操作桿A，只有按壓到n次時，它才能在按下操作桿B時得到食物。如果這只老鼠過早地按壓操作桿B，它不僅不會得到任何食物，而且還會受到懲罰。在不同的實驗中，光線可能會消失幾秒，或者計數器會被重置，此時老鼠必須從頭開始對操作桿A進行n次按壓。

在這個不同尋常的實驗中，老鼠的表現怎樣呢？起初，通過反復嘗試，它們發現，當按壓了幾次操作桿A后再按壓操作桿B，食物就會出現。逐漸地，它們對按壓次數的估計越來越精確。最后，在訓練結束時，老鼠對實驗者選擇的數字n都有非常合理的認識。那些需要先按壓4次操作桿A才能得到食物的老鼠確實按了大約4次。那些需要按壓8次的老鼠，也一定會按壓大約8次，依此類推（見圖1-3）。即便要求的按壓次數是像12和16這樣的大數字，聰明的老鼠“會計師”也能夠按壓到正確的次數！

其中有兩個細節值得一提。第一，老鼠按壓操作桿A的次數會略高于所要求的最低值——5次而不是4次。但是，這是一個極其理性的策略。它們過早地按壓操作桿B會受到懲罰，所以為了安全起見，它們寧愿多按1次操作桿A，也不敢少按1次。第二，即便是在受到大量的訓練之后，老鼠的行為仍舊不怎么精準。最理想的策略是精確地按壓4次操作桿A，然而老鼠通常會按4次、5次或者6次，在一些實驗中，它們甚至會按壓3次或者7次。它們的行為絕對不是“數字化”（digital）的，而且在每一個實驗輪次中都會有變化。事實上，其變化范圍會隨著老鼠所估計的目標數字的增大而擴大。當目標按壓次數是4時，老鼠的按壓次數在3次到7次之間；而當目標次數是16時，老鼠的按壓次數就會在12次到24次之間變化，跨度很大。看來，老鼠的估計機制相當不精準，與我們的數字計算器完全不同。

到了這個階段，許多人可能會懷疑我是否過早地認定老鼠擁有計數能力，以及我們是否真的找不到對老鼠行為的更為簡單的解釋。首先我要申明的是，“聰明的漢斯”效應不會對這類實驗產生影響，因為老鼠被單獨安置在籠中，而且所有的實驗過程都由自動化的機械設備所控制。那么，老鼠是真的對操作桿的按壓次數敏感，還是它們估計了從實驗開始到停止按壓的時間，或是利用了其他與數量無關的參量？如果老鼠以特定的頻率按壓，比如每秒1次，那么上述行為可能要用對時間的估計來解釋，而不能用對次數的估計來解釋。當按壓操作桿A時，老鼠可能會依不同情況等上4秒、8秒、12秒或16秒再去按操作桿B。比起“老鼠可以數出自己的動作次數”這一假說，這樣的解釋顯得更為簡單，盡管估計持續時間與估計數字實際上是同樣復雜的操作。

為了駁斥這種有關時間估計的解釋，梅希納和洛朗斯·格夫雷基安（Laurence Guevrekian）⁴采取了非常簡單的控制方法：他們讓老鼠的食物被剝奪程度產生差異。當老鼠真的很餓時，它們急于盡快得到食物獎勵，所以會更快地按壓操作桿。然而，這種頻率的增加對它們按壓操作桿的次數沒有任何影響。被訓練按壓4次的老鼠，其壓桿表現仍在3次到7次的范圍內，而要求按壓8次的，仍然會按壓8次左右，對其他數字也同樣如此。按壓數的平均值和結果的離散程度都沒有隨著按壓頻率的增加而改變。顯然，是數字參數而非時間參數促成了老鼠的行為。

美國布朗大學的拉塞爾·丘奇（Russell Church）和沃倫·梅克（Warren Meck）進行的一項較新的實驗表明，老鼠自發地對事件的次數和持續時間給予同等程度的關注。在丘奇和梅克的實驗⁵中，實驗者通過一個放置在鼠籠中的揚聲器播放一串聲音。一共有2個聲音序列，序列A由2個音組成，一共持續2秒；序列B由8個音組成，持續8秒。老鼠需要辨別這兩段聲音。每放完一段聲音，兩根操作桿會被插入籠子中。為了得到食物獎勵，老鼠在聽到序列A時，必須按下左邊的操作桿，而聽到序列B時，必須按下右邊的操作桿（見圖1-4）。

幾個初步實驗表明，處于這種環境下的老鼠很快就學會了按壓正確的操作桿。顯然，它們可以利用兩個截然不同的參數來辨別A和B：序列的總持續時間（2秒和8秒），或是音數（2個和8個）。那么，老鼠關注的是持續時間、音數，還是兩個都關注？為了尋找答案，實驗者設計了一些測試聲音序列，其中一些聲音序列的持續時間固定而音數不同，而另外一些則是音數相同但持續時間不同。在第一種類型中，所有的序列都持續4秒，每個序列由2至8個音組成。在第二種類型中，所有的序列都由4個音組成，每個序列持續時間為2至8秒不等。在所有這些測試中，不論按壓哪根操作桿，老鼠都能夠得到食物獎勵。研究者的目的是想了解，在排除了獎勵的影響之后，這些新刺激對老鼠來說意味著什么。因此，這個實驗測試的是老鼠將先前習得的行為泛化至新環境的能力。

結果一目了然。在持續時間和數量方面，老鼠都能很容易地將習得行為進行泛化，以應對新的情況。當持續時間固定時，它們仍會在聽到2個音時按壓左邊的操作桿，在聽到8個音時按壓右邊的操作桿。反過來，當音數固定時，它們會在聽到持續時間為2秒的聲音序列時按壓左邊的操作桿，聽到持續時間為8秒的聲音序列時按壓右邊的操作桿。那么對于2到8之間的其他數，老鼠的表現如何呢？老鼠似乎會把呈現的刺激關聯到最接近的已習得的刺激量。因此，在聽到一個全新的、由3個音組成的序列時，老鼠會做出與聽到2個音時一樣的反應，當序列由5個或6個音組成時，其反應會與聽到8個音時相同。奇怪的是，當序列由4個音組成時，老鼠無法決定應當按壓哪根操作桿。對于老鼠來說，4就是數字2和8之間的主觀中點（subjective midpoint）！

需要注意的是，在訓練過程中，老鼠并不知道它們會在后續的實驗中進行持續時間不同還是音數不同的測試。因此，這個實驗表明，當一只老鼠聽到一段旋律時，其大腦會自發地同時處理持續時間和音數。如果你認為這個實驗運用了條件反射的原理，是實驗者或多或少教會了老鼠怎樣計數，那就大錯特錯了。實際上，實驗中的老鼠擁有最高級的視覺、聽覺、觸覺和數字知覺的硬件條件。條件反射只是教動物將它一直擁有的知覺能力（比如對刺激持續時間、顏色或是次數的表征），與新的動作（比如按壓操作桿）聯系起來。數字并不是外部世界中的一個復雜參數，它不比其他所謂客觀參數或物理參數（比如顏色、空間位置或持續時間）更抽象。事實上，既然動物已經具備了相應的腦模塊，那么計算一個集合中客體的近似數目理應與感知其顏色和方位一樣簡單。

我們現在知道，老鼠和其他許多物種一樣，都會自發地關注各種數量信息：動作、聲音、閃光、食物的數量⁶。例如，有研究者已經證明，當試驗者讓浣熊在一些裝有葡萄的透明箱子之間進行選擇時，它能學會只選取裝有3顆葡萄的箱子，而忽略裝有2顆或4顆葡萄的箱子。同樣，在迷津任務中，無論通道間的距離有多遠，老鼠都能夠通過條件反射訓練，選取左側第4條通道。其他的研究者教會了鳥在一組連通的籠子中選出它們發現的第5顆種子。另外，在一些情況下，鴿子能夠估計自己啄擊目標的次數，比如，它們能夠辨別45次啄擊和50次啄擊之間的差異。最后再舉一個例子。一些動物，包括老鼠，能夠記得在特定環境中受到獎勵和懲罰的次數。美國普渡大學的卡帕爾迪（Capaldi）和丹尼爾·米勒（Daniel Miller）的一個精妙實驗表明，當老鼠獲得兩種不同的食物獎勵時，比如葡萄干和谷物，它們同時記住了三則信息：它們吃的葡萄干數和谷物數，以及總的食物種類⁷。總的來說，算術能力在動物世界相當普遍，根本算不上特殊能力。它在幫助動物生存方面的優勢是顯而易見的。一旦老鼠記住了它的藏身之處是左側第4條通道，那它在迷津一般的黑暗巢穴中就會移動得更快；松鼠在發現了長著3顆堅果的樹枝時，會放棄長著2顆堅果的樹枝，這樣它就更有可能安全過冬。

動物的計算有多抽象

對于老鼠來說，按壓2次操作桿、聽到2個聲音、吃2粒種子，能否讓它們意識到這些事件都是數量“2”的實例呢？或者它們能否發現來源于不同知覺通道的數字之間的聯系呢？在不同知覺通道和動作形式之間對數量進行概括的能力是數量概念（number concept）的重要組成部分。舉一個極端的例子，我們假設一個兒童在看到4件物品時能夠穩定地說出數詞“4”，但在聽到4個聲音或跳了4下時可能會隨機地在數詞“3”“4”和“9”之間選擇一個。雖然這個兒童在面對視覺刺激時有出色的表現，但是我們仍然不能認為這個兒童有“4”的概念，因為掌握這個概念就意味著能夠將其運用到各種不同的通道情境中。事實上，一旦兒童掌握了一個數量，他們立刻就能夠用它計算玩具車的數量，數出小貓叫了幾聲，或者能用它計算弟弟干了幾件壞事。對于老鼠來說，情況又是怎樣的呢？它們的數學能力是局限于某種知覺通道，還是抽象的？

鑒于對動物多通道知覺泛化的研究成功的很少，所有答案都只是嘗試性的解釋。不過，丘奇和梅克⁸已經證明，老鼠對數量進行表征時，是將其看作一個抽象參數的，而不是局限于聽覺或者視覺等某一特定的知覺通道。他們再一次將老鼠放入一個有兩個操作桿的籠子中，但是這次同時使用了視覺和聽覺刺激序列。由于此前的學習，老鼠會條件反射地在聽到2個音時按壓左邊的操作桿，聽到4個音時按壓右邊的操作桿。這次，它們又被訓練在看到2次閃光時按壓左側操作桿，看到4次閃光時按壓右側操作桿。實驗的關鍵在于，這兩種學習經歷在老鼠的腦中是怎樣編碼的。它們會將這兩種經歷作為兩項不相干的知識儲存在腦中嗎？或者，老鼠學會了抽象的規則，比如“2是左，4是右”？為了尋找答案，兩位研究者在一些實驗輪次中將聲音和閃光混合起來同時展現給老鼠。他們驚奇地發現，當他們同時呈現1個音和1次閃光，總共2個事件時，老鼠會立刻按下左側的操作桿，而當他們呈現2個音和2次閃光所組成的總共4個事件時，老鼠會按壓右側的操作桿。動物們可以將它們的知識類推到全新的情境中。它們對數量“2”和“4”的概念并不僅僅體現在低層次的視知覺和聽知覺中。

在同時使用2個音與2次閃光的實驗中，老鼠的特殊表現十分值得注意。要知道，在訓練過程中，老鼠通常是在聽到2個音或看到2次閃光后按壓左側操作桿從而得到獎勵的。因此，聽覺刺激“2個音”和視覺刺激“2次閃光”都與按壓左側操作桿相關。然而，當這兩種刺激同時呈現時，老鼠卻按下了與數量“4”相聯系的操作桿！為了讓大家更好地理解這個發現的重要性，我們可以把它與另一個實驗相比較。在這個實驗中，老鼠被訓練為看到正方形（另一種刺激為圓形）時按壓左側操作桿，看到紅色（另一種刺激為綠色）時也按壓左側操作桿。那么當老鼠看到1個紅色的正方形，即兩種刺激結合起來時，我敢打賭，它們一定會更加堅決地按壓左側的操作桿。為什么在面對聲音和閃光組合的刺激與形狀和顏色組合的刺激時，它們的表現不一樣呢？這個實驗說明，在某種程度上，老鼠“知道”，數與數相加和形狀與顏色相加的方式并不相同。1個正方形加上紅色就成了1個紅色的正方形，但是2個音加上2次閃光卻不能引發對“2”這個數更強的感受。確切地說，老鼠的腦似乎可以領會蘊含在“2+2=4”中的算術基本法則。

動物具有抽象的加法能力的最好例證或許來自美國賓夕法尼亞大學的蓋伊·伍德拉夫（Guy Woodruff）和戴維·普雷馬克（David Premack）所做的研究⁹。他們證明了黑猩猩能夠進行簡單的分數運算。在他們的第一個實驗中，黑猩猩的任務十分簡單：只要在2件物品中選出與給定物品外觀相同的那一個，黑猩猩就能得到獎勵。例如，實驗者向黑猩猩展示一個盛有1/2杯藍色液體的玻璃杯，黑猩猩就必須從2件物品中選出與此相同的物品。也就是說，盛有1/2杯液體的玻璃杯是正確的選擇，因為另一個玻璃杯中的液體占了3/4杯。黑猩猩很快就掌握了這個簡單的外觀匹配任務。接著，決策變得越來越抽象：實驗者仍然向黑猩猩展示一個盛有1/2杯液體的玻璃杯，但選項變成了1/2個蘋果和3/4個蘋果。從外觀上看，兩個選項均與樣例相去甚遠，然而黑猩猩仍能夠選擇1/2個蘋果，顯然是1/2杯液體和1/2個蘋果在概念上的相似性使它做出了這個決定。對分數1/4、1/2、3/4的測試都同樣取得了成功：這只黑猩猩知道一整個餡餅的1/4與一整杯牛奶的1/4具有相同的意義。

在最后的實驗中，伍德拉夫和普雷馬克證明了黑猩猩甚至能夠對2個分數的加法進行心算：當樣例由1/4個蘋果和1/2杯液體組成時，面對一整個圓盤和3/4個圓盤，它們中的大部分選擇了后者，這比完全隨機所預期的概率要高很多。顯然它們對兩個分數進行了心算，與分數的加法運算“1/4+1/2=3/4”沒有什么不同。據推測，它們并沒有像我們一樣使用復雜的符號計算法，但是它們顯然直覺般知道這些比例該怎樣相加。

最后說一則關于伍德拉夫和普雷馬克研究的軼事。起初，他們研究手稿的標題是“黑猩猩的原始數學概念：比例和數量”（Primitive mathematical concepts in the chimpanzee: proportionality and numerosity），一個編輯錯誤導致了它在科學期刊《自然》上的標題變成了“靈長類動物的數學概念”（Primative mathematical concepts）⁽⁶⁾！雖然這屬于無心之失，但是這個改動并不是完全錯誤的。事實上，用“原始”（primitive）一詞來描述這種能力是不恰當的。如果primative在這里指的是“靈長類動物所特有的”（specific to primates），那么這個新詞用在這里就顯得十分恰當，因為這種對分數進行相加的抽象能力至今還沒有在其他物種中發現過。

另外，加法并不是動物在數字運算方面的全部本領，比較兩個數量的多少是更為基礎的能力，而且這種能力確實在動物中普遍存在。實驗者向黑猩猩展示兩個放著幾小塊巧克力的托盤¹⁰，第一個托盤上有兩堆巧克力，其中一堆有4塊，另一堆有3塊。第二個托盤上也有兩堆巧克力，一堆有5塊，還有1塊巧克力被單獨放置。實驗者會給黑猩猩足夠長的時間來仔細觀察這個情境，然后讓它們選擇一個托盤并吃掉托盤上的東西。你認為黑猩猩會選擇哪個托盤呢？大多數情況下，沒有經過訓練的黑猩猩會選擇放置巧克力總數更多的那個托盤（見圖1-5）。貪心的靈長類動物必須自發地計算第一個托盤上巧克力的總數（4+3=7）和第二個托盤上巧克力的總數（5+1=6），最后得出7大于6的結論，從而認為選擇第一個托盤有更大的優勢。如果黑猩猩不會做加法，而是滿足于選出單堆巧克力塊數最多的托盤，那么情況就不應該是這樣，因為第二個托盤上由5塊巧克力組成的那堆比第一個托盤上的任意一堆都多，盡管第一個托盤上巧克力的總數更大。顯然，將兩數相加和之后進行比較的操作都是其做出成功選擇所必需的。

雖然黑猩猩在從兩個數量中選擇較多數量時有非常好的表現，但它們仍會出錯。這類錯誤向我們提供了非常重要的線索，使我們能夠了解它們所采用的心理表征的本質¹¹。若兩個數量有顯著不同，比如2和6，黑猩猩幾乎不會出錯，它們通常會選擇數量多的。但當兩個數量越來越接近時，它們的表現會越來越差。當兩個數量只相差一個單位時，只有70%的黑猩猩做出了正確的選擇。這種錯誤率和兩個數量差距之間的穩定依存關系被稱為距離效應（distance effect）。它通常伴隨大小效應（magnitude effect）產生。當數量差距相同時，數量越多表現就越差。黑猩猩在得出“2>1”的判斷時沒有任何困難，即便這兩個數量只相差一個單位。但是，當它們比較2和3、3和4等較多的數量時出錯率就會提升，數量越多，錯誤率越高。除了黑猩猩外，相似的距離效應和大小效應在許多任務和許多物種中均被發現，包括鴿子、老鼠，以及海豚。沒有一種動物能夠逃離這些行為法則——包括人類。

為什么距離效應和大小效應的存在具有重要的意義？因為它們再一次證明了動物不能對數量進行數值性或離散性的表征。只有開始的幾個數字——1、2和3，能夠被準確地識別。數量一旦變多，判斷就會變得模糊。數量內在表征的變異性與表征數量的大小成正比。這就是為什么當數量變多時，動物就很難區分數量n和相鄰數量n+1。但是，我們不能由此認為，老鼠或者鴿子的腦不能處理數值大的數量。事實上，當數量間距足夠大時，動物仍能夠成功地辨別和比較數值很大的兩個數量，比如45和50。動物對大數表征的不精確性使它們無法識別49和50在算術上的區別。

雖然受到內部不精確性的限制，但是我們仍然可以通過許多例子證明動物的確擁有實用的數學工具。它們能夠將兩個數量相加，并自發選出兩者中較大的那一個。我們有必要對動物的這種能力感到驚訝嗎？試想一下，這些實驗還會有其他結果嗎？當一只饑餓的狗面對一整盤和半盤同款食物進行選擇時，它們難道不會自然地選擇數量更多的那盤嗎？它若不選一整盤食物，結果可能是災難性的，這種行為并不合理。恐怕對于所有生物來說，選擇兩份食物中較多的那一份都是生存的先決條件之一。在進化過程中，動物形成了收集、儲存和捕獲食物的復雜策略，因此，許多物種擁有“比較兩個數量的多少”這種簡單能力也不應當令人感到驚訝。心理比較的算法很可能在更早以前就出現了，甚至很可能在進化過程中被徹底改造了許多次。畢竟，即便是最原始的有機生命體也必須永無止境地尋找最適宜的環境：最多的食物，最少的捕食者，最多的異性配偶，等等。生命體為了生存，必須不斷地做出最優的選擇，而為了選擇最優，就必須學會比較。

我們還需要了解進行此類計算和比較的神經機制。鳥、老鼠和靈長類動物的腦中存在微型計算器嗎？它們是怎么運作的？

蓄水池隱喻

老鼠是如何知道“2+2=4”的呢？鴿子又是如何比較45次和50次啄擊的呢？根據我的經驗，這些從動物身上得出的結論經常會引發懷疑、嘲笑甚至憤怒，尤其當聽眾是數學教授時！在西方社會，從歐幾里得和畢達哥拉斯時期開始，數學就被視為人類成就的頂峰。我們將其視作一種至高的技能，需要通過不懈的教育才能獲得，或者需要具有一種與生俱來的天賦。在許多哲學家看來，人類的數學能力由語言能力衍生而來，所以，認為沒有語言功能的動物能夠計數是匪夷所思的，更不用說它們能對數量進行計算。

在這一背景下，我之前講述的關于動物行為的觀察都極有可能被單純地看作意料之外、離經叛道的科學結論。沒有理論框架的支持，這些研究結果會被孤立起來，雖然它們不同尋常，但畢竟不是定論，因而仍不足以質疑“數學＝語言”的想法。簡單地說，為了打破這種現象，我們需要一個能夠明確解釋“為什么沒有語言也可以計數”的理論。

幸運的是，這樣的理論是存在的¹²。事實上，我們熟知的一些機械設備與老鼠的表現極其相似。例如，所有汽車都配備有計數裝置，用以記錄從車輛首次上路開始累計的里程。這種計數裝置最簡單的形式就是一個齒輪，每增加一公里就向前滾動一個槽位。原則上，這個例子解釋了一個簡單的機械設備是如何記錄累計數量的。那么，為什么生物系統就不能使用相似的計數原則呢？

汽車計數器（car counter）的例子并不完美，因為它使用的數量符號系統極有可能是人類獨有的。為了解釋動物的算術能力，我們應該尋找一個更為簡單的比喻。想象魯濱孫被困在孤島上，孤獨又無助。為了便于討論，我們假設一次頭部的重擊使他喪失了語言能力，以致他不能運用數詞來進行計數或計算。那么，在現有條件下，魯濱孫該怎樣找到替代品來構筑一個近似的“計算器”呢？實際上，這比想象的要簡單。假設魯濱孫在附近發現了一口泉，他用一根大圓木建成一個蓄水池，并把它放置在泉水旁。水不直接流到蓄水池中，而是由一根竹管導入其中。在這個以蓄水池為核心的基礎設備的幫助下，魯濱孫將能夠進行計數、加法運算和近似數值大小的比較。這個蓄水池使他能夠像老鼠或鴿子一樣大體上掌握算術技能。

假如一艘載著食人者的獨木舟正在向魯濱孫的孤島上駛來，當魯濱孫用望遠鏡看到這一切時，他該如何利用他的“計算器”來記錄食人者的人數呢？首先，他必須將蓄水池清空。其次，每當一個食人者登陸，魯濱孫便將一些泉水引到蓄水池里。在此過程中，每一次引水的持續時間是固定的，并且水流量始終保持穩定。這樣就可以保證每一個食人者登陸時，流入蓄水池中的水量基本是固定的。最后，蓄水池的總水位等于單次引水的水位的n倍。此時，最終的水位就可以作為登陸的食人者總數量n的近似表征，因為水位僅取決于所記錄事件的次數。其他參數，比如事件的持續時間、事件的間隔等，對水位都沒有影響。因此，蓄水池最后的水位就等同于登陸食人者的數量。

通過標記蓄水池的水位，魯濱孫就能夠記錄有多少食人者上了岸，他在之后的計算中可能會用到這個數量。比如第二天，第二批食人者來了。為了估計食人者的總人數，魯濱孫要先往蓄水池中注水，使水位達到前一天的標記處，然后每當一個新來的人上岸，他就會像之前那樣往蓄水池中引入固定量的水。在完成這項操作之后，蓄水池中的水位達到了新的高度，這個高度代表了來到島上的兩批食人者的總數。通過在蓄水池中刻上不同的標記，魯濱孫可以把這些計算結果永久地記錄下來。

第三天，一些食人者離開了這座島。為了估算他們的數量，魯濱孫清空了蓄水池，重復上述程序，每離開一個人他就加一些水。他意識到代表離開人數的水位線遠低于前一天的標記。通過比較兩次的水位，魯濱孫得出了一個讓他煩惱的結論：已經離開的食人者的人數極有可能少于前兩天上岸的食人者的總人數。總之，魯濱孫用他簡陋的設備完成了計數、簡單加法運算和比較計算的結果，這個過程正如前述實驗中的動物所做的那樣。

這樣的累加器存在一個明顯的不足：盡管數量是離散的，但它們卻是由連續量——水的高度來進行表征的。鑒于所有物理系統固有的可變性，在不同的時間，相同的數量可能由蓄水池中不同的水量來表示。例如，我們假設水流量不是固定的，而是在每秒4～6升之間變化，平均每秒5升。如果魯濱孫引了0.2秒的水，那么被引入的水量平均為1升，然而實際水量會在0.8升和1.2升之間變化。因此，如果他對5個個體進行了計數，那么最后水量會在4到6升之間，鑒于對4個或6個個體計數也可以達到同樣的水位，所以魯濱孫的計算器不能夠準確地辨別4、5、6這3個數量。如果6個食人者登陸，然后其中5人離開了，魯濱孫可能會因為漏算了其中一人而面臨危險。這正是我在本章開頭所描述的故事中烏鴉所面臨的情況！魯濱孫能夠更好地分辨差距較大的數量，這就是距離效應。這個效應會隨著數量的增大而越來越顯著，即大小效應，它同樣是動物行為的特征。

可能有人會認為我所描述的魯濱孫并不十分聰明。為什么他不使用石子，而是使用不精確的水面高度來計數呢？每數一個物品就向碗里放一顆石子，可以幫助他離散而精確地表征數量。運用這種方法，即便面對復雜的減法也能夠避免錯誤。但是魯濱孫的工具在這里是用來模擬動物的腦的，至少老鼠和鴿子的神經系統不能使用離散的標記來計數。神經系統在本質上就是不精確的，也不能夠精確地記錄已經數過的每項個體。因此，面對越來越大的數量，誤差也越來越大。

雖然這里以一種非正式的方式描述了蓄水池模型（accumulator model），但它實際上是一個非常嚴密的數學模型，它所表達的數量大小和數量距離之間的函數關系能夠精確預測動物行為的差異¹³。因此，蓄水池的比喻有助于我們了解，為什么老鼠在每個實驗輪次中會有不一樣的表現。即便是在經過大量的訓練以后，一只老鼠也無法精準地按壓4次操作桿，但是它能夠在不同實驗輪次中按壓4次、5次或6次。我認為，這是因為老鼠從根本上就不能像人類一樣，用一種離散的方式來分別表征數量。對于一只老鼠來說，數量就是一個近似的大小，隨時在變化，如同聲音的持續時間一樣轉瞬即逝，也像色彩飽和度一樣隱晦難懂。即便同一個需要識別的聲音序列被播放兩次，老鼠也不能夠知覺到確切的聲音數，而只是在腦內的“蓄水池”中形成上下波動的水位。

當然，蓄水池只是一個生動的比喻，它僅展現了一個簡單的物理設備如何詳盡地模仿動物算術。老鼠和鴿子的腦中沒有水龍頭和容器，那么我們是不是可以認為，腦中的神經系統可能擁有與蓄水池模型中的元件相似的功能？這個問題仍然沒有定論。目前，科學家們才剛剛開始了解各種藥物對某些參數的影響。比如，向老鼠體內注射某種有迷幻作用的物質似乎會加快內部計數¹⁴。被注射了這種物質的老鼠在聽到4個聲音組成的序列時，會做出聽到5個或者6個聲音時的反應，似乎往“蓄水池”中注水的速度因為這種物質而加快。每數一個個體，引入蓄水池的水量都要比之前的量多，從而導致最終水位變高。這就是為什么輸入4會得到輸入6時的反應。然而我們仍不了解這種物質導致的加速效應所作用的腦區，相應的腦回路更是個謎。

數量探測神經元

盡管我們并不了解負責數量加工的腦回路，但是對神經網絡的模擬卻可以被用來推測可能的腦回路組織形式。神經網絡模型（neural network models）是一種能夠在傳統的數字計算機上運行的算法，可用于模擬真實腦回路中可能的運算方式。當然，與真實神經元網絡的極度復雜性相比，這種模擬通常已經將其大大簡化了。在大多數計算機模型中，每一個神經元被簡化為一個數位單元，其活動的輸出水平在0和1之間變化。興奮單元通過不同權重的聯結方式激發或抑制臨近以及更遠的單元，這正是真實神經元間突觸聯結的模擬物。在每一步中，每個模擬單元都把來自其他單元的輸入信息累加起來，而該單元是否被激活則取決于累加的總數是否超出閾限值。這種對真實神經細胞的模擬是粗略的，但是其核心屬性被保留了下來：許多簡單的數學運算需要多個回路中的神經元同時參與其中。大多數神經生物學家認為，“大規模的并行加工”這一屬性是腦能夠在短時間內運用相對緩慢和不可靠的生物硬件進行復雜運算的關鍵。

神經元并行加工（parallel neuronal processing）的方式可以被用于加工數量嗎？在巴黎巴斯德研究所的神經生物學家讓-皮埃爾·尚熱的幫助下，我提出了一個實驗性的模擬神經網絡模型，是有關動物如何從環境中快速和并行¹⁵地提取數量的。我們的模型提出了老鼠和鴿子都可以解決的簡單問題：當視網膜接收到不同大小的輸入、耳蝸接收到不同頻率的聲調時，模擬神經網絡能否計算出視覺和聽覺客體的總數？根據蓄水池模型，每接收一次輸入之后向內在累加器添加固定的量，就可以計算出這個數量。困難之處在于，要利用模擬神經網絡來完成這個任務，并要得到一個與視覺對象的大小、位置無關，與聽覺對象的持續時間無關的數量表征。

我們設計了一個可以把視覺輸入的大小進行標準化的回路來解決這個問題。這個網絡會探測到對象投射在視網膜上的位置，并為該位置上的每個對象分配數量大致相等的活躍的神經元，而不考慮對象的大小和形狀。這個標準化的步驟十分重要，因為它使網絡能將每一個對象記為“1”，而不論其大小。就像我們會在后文中看到的那樣，對哺乳動物而言，這樣的運算很可能是由后頂葉皮層的回路來完成的，它主要負責對物品位置進行表征，而不考慮物品的確切形狀和大小。

我們也對聽覺刺激做了相似的處理。不考慮接受刺激的時間間隔，聽覺輸入在一個記憶存儲器中進行累加。一旦完成了大小、形狀和呈現時間的標準化，估計數量就變得簡單了——只需估計標準化的視覺地圖上和聽覺存儲器中總的神經元活動即可。這個總數等同于蓄水池中水的最終高度，它提供了一個合理可靠的估計數值。這個模型的求和操作是由一組單元負責的，這些單元集合了所有潛在的視覺和聽覺單元的激活。在特定情況下，這些輸出單元只有在接收到的總激活值落入特定范圍時才會放電，這個范圍因神經元而異。因此，每個模擬神經元就如同一個數量探測器（numerosity detector），只有在看到近似某個數量的對象時才會做出反應（見圖1-6）。例如，網絡中的一個單元在呈現4個對象時優先做出反應——4個視覺物塊，4個聲音，或者2個視覺物塊加2個聲音。這個單元極少對呈現3個或5個對象的情境做出反應，在其他情況下則更不會有反應。所以這個神經元就如同一個針對數量4的抽象探測器。此類探測器可以完整地覆蓋整條數軸，每一個探測器對應某一個近似值，而當數量逐漸增大時，對應的精確性就會下降。由于模擬神經元同時處理所有的視覺和聽覺輸入，數量探測器陣列的反應速度很快——它們能夠并行加工整個視網膜上的所有信息，并估算4個物品的集合數量，而不用像計數那樣一個一個地數。

令人驚嘆的是，科學家在動物腦內不止一次地發現了上述模型中提出的數量探測神經元。在20世紀60年代，美國加州大學歐文分校的神經科學家理查德·湯普森（Richard Thompson）在他的實驗中向貓展示了一系列聲音或閃光，并記錄下貓的大腦皮層中單個神經元的活動¹⁶。一些細胞只有在某一特定數量的事件發生時才會被激活。例如：一個神經元在任意6個事件發生后做出反應，不論是6次閃光、6個短音還是6個長音。感覺通道似乎并不重要——神經元顯然只關注數量。不同于電子計算機，它并不以全或無的離散方式來反應，相反，它的激活水平在5個項目之后開始增長，在6個項目時達到頂峰，在更多項目出現時下降。這種反應屬性與我們模型中的模擬神經元十分相似。在貓的腦皮層中的這一小塊區域內還記錄到許多類似的對不同數量做出反應的神經元。

因此，動物腦中可能存在一個特異性的腦區，其作用與魯濱孫的蓄水池相同。湯普森的研究在1970年刊登在了著名的《科學》雜志上，遺憾的是，這個研究并沒有得到后續的關注。我們仍然不知道動物腦中的數量探測神經元是否以我們在模型中所預期的方式聯結，或者貓是否會通過其他方式來提取數量。毫無疑問，只有那些敢于運用現代神經元記錄工具繼續探索動物算術的神經元基礎的神經生物學家，才能最終找到答案¹⁷。

模糊的計數

如果累加器模型是正確的，那么無論神經元具體如何執行，我們都能得到以下兩個結論：第一，動物能夠計數，因為每當一個外部事件發生時，它們的內部計數器就會增加1個單位。第二，它們的計數方式與人類的不同。動物的數量表征是模糊的。

人類在計數時，會運用一系列精確的數量詞，不讓錯誤有機可乘。每計入1個項目就會相應地在數量序列中增加1。對老鼠來說可不是這樣，它們的數量像是一個虛擬的蓄水池中不斷變動的水位。不同于人類“+1”的嚴苛邏輯，當老鼠向變化的總數中增加1個單位時，這項操作只能使用模糊的近似值，更像往魯濱孫的蓄水池中加入一桶水。老鼠的情況讓人聯想到《愛麗絲鏡中奇遇記》中愛麗絲遇到的算術窘境：

“你會做加法嗎？”白皇后問道，“1加1加1加1加1加1加1加1加1加1是多少？”

“我不知道，”愛麗絲回答，“我數不清了。”

“她不會做加法。”紅桃皇后打斷了她的話。

盡管愛麗絲可能沒有足夠的時間來口頭數數，但是她應當能夠在一個大致范圍內估計出總數。與此類似，老鼠需要通過非詞語或非數學符號的方式來進行近似計數。人類的口頭計數與動物有很大不同，我們很可能根本不應該討論動物的“數字”概念，因為“數字”一詞通常指離散的抽象符號。這就是為什么當科學家討論動物的數量知覺時，會用“numerosity”（數量）或“numerousness”（數量）這樣的詞而不是“number”（數字）。累加器使動物能夠估計事件的大致數量，但不能夠計算確切的數字。動物的思維只能記住模糊的數量。

難道人類真的無法教動物學會一種數字符號嗎？我們能不能教它們認識一系列與人類的數字符號和數詞類似的離散數字標記，然后讓它們理解這些標記其實代表著確切數目呢？事實上，這類實驗略有成效。在20世紀80年代，日本研究者松澤哲郎（Tetsuro Matsuzawa）教會一只名為Ai的黑猩猩運用隨機安排的一些符號來表示物體集合（見圖1-7）¹⁸。每個用來代替單詞的小圖片占據電腦鍵盤上的一格。黑猩猩可以選擇按任何一格來表示它看到的東西。經過長時間的訓練，Ai學會了運用14種物品符號、11種顏色符號，以及對人類來說意義最為重大的前6個阿拉伯數字。比如，當屏幕上顯示3支紅色鉛筆時，黑猩猩首先會按正方形中有黑色菱形的符號，這個符號表示“鉛筆”，然后它會按下被水平線條貫穿的菱形（表示“紅色”），最后它會按下手寫體數字“3”。

這一系列行為很可能只是機械動作反射的復雜形式。然而，松澤哲郎證明，這些圖案在某種程度上確實能夠起到和文字一樣的效果：將它們組合就可以描述新的情境。例如，如果黑猩猩學會了一個新的符號“牙刷”，它就可以部分地將其運用到新的情景中，比如“5支綠色的牙刷”或者“2支黃色的牙刷”。當然，這種泛化能力的表現仍存在頻繁的錯誤。

從1985年松澤哲郎首次發表研究成果至今，他的黑猩猩Ai在計算方面不斷取得進步。它現在學會了前9個阿拉伯數字，并且對集合計數能夠達到95%的正確率。關于反應時的記錄表明，和人類一樣，Ai會對大于3或4的數字進行串行計數。它也學會了將數字根據大小排序，不過，這項新能力的形成花費了多年時間。

從松澤哲郎的早期實驗開始，至少有3個靈長類動物訓練中心成功地在一些黑猩猩身上重復了數字符號的學習。相似的能力也存在于與人類親緣關系很遠的物種中。經過訓練的海豚能夠將任意物品與精確數量的魚相匹配。在大約2 000次實驗后，它們能夠在兩個對象中選擇代表更多魚的那個對象¹⁹。來自美國亞利桑那州大學的艾琳·佩珀貝格（Irene Pepperberg）教她的鸚鵡亞歷克斯（Alex）學習大量英語單詞，其中包括前幾個數詞²⁰。亞歷克斯在實驗中表現出色，實驗中不需要使用標示牌和塑膠代幣，實驗者可以使用標準英語來陳述問題，而亞歷克斯可以即刻說出可識別的單詞來回答問題！實驗者將一系列物品，如綠色的鑰匙、紅色的鑰匙、綠色的玩具和紅色的玩具，展示在亞歷克斯面前時，它能夠回答“有幾把紅色的鑰匙”這種復雜的問題。當然，此前對它的訓練也持續了很長時間——幾乎有20年。這些實驗的結果證明了數量標記并不是哺乳動物所獨有的。

更新的研究發現，黑猩猩能夠使用數字符號進行部分運算。比如，薩拉·博伊森（Sarah Boysen）教她的黑猩猩舍巴（Sheba）學習簡單的加法和比較運算²¹。舍巴必須先掌握0至9的阿拉伯數字與相應的數量之間的關聯。此類實驗需要極大的耐心。兩年過后，舍巴逐漸能夠接受越來越復雜的任務。在第一個階段，它只需要在棋盤的6個格子中各放上1塊餅干。在第二個階段，實驗者向它展示1至3塊餅干，要求它在一些卡片中選擇點數與棋盤上的餅干數相一致的一張。它由此學會了關注餅干和點的數目，并將點數與餅干數對應起來。在第三個階段，帶點的卡片逐漸被相對應的阿拉伯數字替代。舍巴進而學會了識別數字1、2和3，并且能夠指出與餅干數對應的正確數字。最后，博伊森教舍巴學會了逆向操作：它必須從眾多物品集合中選擇一個數目與指定的阿拉伯數字相匹配的集合。

運用類似的策略，舍巴的知識逐漸擴展到從0到9的整個數字序列。在訓練的最后階段，舍巴已經可以靈活地將數字和對應的數量進行轉換。這種能力被認為是符號認知的核心。符號代表著一種形狀之外的隱藏含義，符號理解意指借助符號的形狀來獲取它的含義，而符號產出則需要根據想要表達的含義重現符號的形狀。顯然，在經歷了漫長而刻苦的訓練之后，黑猩猩舍巴掌握了這兩種轉換過程。

人類符號的一個重要特征是它們能夠組合成句子，句子的意義源于組成它的詞。比如，數字符號能被組合起來用于表示一個等式，如“2+2=4”。舍巴能不能結合多個數字進行符號運算呢？為了尋找答案，博伊森設計了一個符號加法任務。她將橙子藏在舍巴籠子中的不同地點，比如2個橙子藏在桌子下，3個橙子藏在盒子中。舍巴會在可能藏有橙子的地點搜尋，然后它會回到出發點，在幾個阿拉伯數字中選擇一個與找到的橙子總數相匹配的數字。從實驗的第一輪次開始，舍巴就能成功完成任務。接下來是這個實驗的符號版本。這一次，它在籠子中四處尋找時并沒有發現橙子，而是找到了一些阿拉伯數字，比如桌子下有數字2，盒子中有數字4。同樣，當搜尋結束后，它能夠選出它所看到的數字的總和（2+4=6）。這個實驗表明，黑猩猩能夠識別每一個數字，并在心理層面將其與數量相關聯，計算出所有數量相加的結果，最后提取出該結果所對應的視覺形式。沒有哪種動物能夠像黑猩猩一樣擁有如此接近人類的符號計算能力。

即便是那些遠不及黑猩猩聰明的物種，也能夠學會運用數字符號進行初步的心算。比如，由美國佐治亞州立大學的戴維·沃什伯恩（David Washburn）和杜安·朗博（Duane Rumbaugh）訓練的2只恒河猴，名為阿貝爾（Abel）和貝克（Baker），它們表現出一種能夠對阿拉伯數字所代表的數量進行大小比較的非凡能力²²。測試人員在計算機屏幕上給出一對阿拉伯數字，比如“2”“4”，阿貝爾和貝克使用操縱桿來選擇一個數字。之后一個自動分配器會給出相應數量的水果糖，這種水果糖是靈長類動物非常喜歡的食品。如果選擇了數字“4”，它們就能夠品嘗4顆水果糖，而如果選擇了數字“2”，它們就只能得到2顆水果糖，這使它們有很強的驅動力選擇較大的數字。事實上，這個任務與前文中的比較任務十分相似，唯一的不同在于動物不是直接面對食物，而是將阿拉伯數字作為表示食物多少的符號表征。動物需要從記憶中提取出數字符號的意義，即它所代表的數量。

我必須指出，阿貝爾和貝克與舍巴不同，在測試開始前它們沒有接受過任何關于阿拉伯數字的訓練。這就是為什么它們需要通過上百個實驗輪次才能學會穩定地選擇較大的數字。舍巴已經知道數字和數量的對應關系，所以在初次實驗時就能在類似的數字比較任務中做出正確的回答。經過訓練，阿貝爾和貝克也同樣表現出色。當數字間距離足夠大時，它們根本不會犯錯，但是當數字只相差一個單位時，它們會有30%的錯誤率。我們在這個實驗中發現了大家現在所熟知的距離效應，這種效應反映了在數字十分接近時容易產生混淆的傾向。

除了兩個數字的任務，阿貝爾和貝克在面對3個數字、4個數字甚至5個9以內的數字時也能夠成功做出選擇，顯然這兩只恒河猴不可能通過死記硬背記住所有的正確答案。甚至當測試者向它們展示全新的隨機數字集時，比如“5、8、2、1”，它們也能以遠高于隨機的正確率選出較大的數字。

在討論這個主題時，有一個現象值得一提，舍巴在被要求選擇兩個數字中較小的那個時，遇到了困難，出現了奇怪的表現²³。實驗情境十分簡單：舍巴和另一只黑猩猩共同面對兩組食物，當舍巴指向其中一組食物時，實驗者就會把這組食物給另一只黑猩猩，而舍巴則會拿到它并未選擇的那組食物。在這個新情境中，指向數量較少的那組食物更符合舍巴的利益，因為這樣做能讓它得到更多食物。然而，舍巴沒有一次能做出正確的選擇。它仍繼續指向數量較多的那組，就好像選擇較多數量的食物是一種無法抑制的反應。隨后，薩拉·博伊森用對應的阿拉伯數字替代食物實體。在第一輪實驗中，舍巴立即選擇了較小的數字！數字符號拯救了舍巴，讓它可以不受實物的影響。數字符號使它擺脫了不可抑制地選擇較多數量食物的沖動。

動物計算能力的局限

動物表現出的符號計算能力對我們的研究究竟有多大的意義？它會不會只是以高強度訓練為代價的馬戲團把戲，把動物訓練成表演機器，但對我們了解動物的正常能力其實毫無幫助？或者，在處理數學問題方面，動物是否像人類一樣具有天賦？雖無意貶低前述任何一個實驗的重要性，但我們不得不承認，動物對數字符號的心理運算仍舊是一個特殊的發現。雖然我提到了鸚鵡、海豚和恒河猴的實驗，但是除了黑猩猩，我們沒有發現任何一個物種能夠利用符號進行加法運算。即便是黑猩猩，它們的表現與人類兒童相比仍然相當原始。舍巴經歷了多年的反復訓練才最終掌握了數字0至9，但它仍然會在使用數字時頻繁犯錯，所有接受過數字任務訓練的動物都是如此。相反，人類兒童會自發地用手指來計數，通常在3歲之前就能夠數到10，并且他們能夠很快地繼續學習結構更為復雜的多位數。發育中的人腦似乎能夠毫不費力地吸收語言，這與動物不同，動物在接受任何事物之前都需要經過上百次的重復學習。

那么關于動物的算術能力，我們需要記住哪些內容呢？首先，動物擁有一種無可爭議的廣泛的能力，可以理解數量，并進行記憶、比較，甚至對數字進行近似相加。其次，一些特定的物種擁有一種相對稀有的能力，它們能夠將一系列相對抽象的行為，比如指出阿拉伯數字，與數字表征聯系起來。這些行為可能最終會成為數量的標記——符號。一些動物似乎還能學會對代表數量的心理蓄水池的水位標記刻度。長期的訓練使它們能夠記住一些行為：如果蓄水池的水位在x和y之間，要指向數字“2”；如果蓄水池水位在y和z之間，要指向數字“3”；依此類推。這些很可能只是一些條件性的行為，遠不及人類在不同語境下使用數字“2”時所表現出的非凡的靈活性，比如“2個蘋果”“2加2等于4”或是“兩打”。在我們驚嘆動物擁有操縱近似數量表征的能力的同時，也應明白教它們學習符號語言似乎違背了它們的自然傾向。事實上確實如此，動物在野外習得符號這種事情是永遠不會發生的。

人類認知能力在動物界是獨一無二的

進化是一種保留機制。當隨機變異過程中出現了一個有用的器官時，自然選擇會把它傳遞給下一代。事實上，有利品質的保留是生命組織的主要來源。因此，如果黑猩猩擁有一些算術能力，而且老鼠、鴿子和海豚之類的物種也擁有一些數字能力，我們人類很可能也繼承了類似的遺產。我們的腦，就像老鼠那樣，很可能配備有一個像蓄水池一樣的累加器，使我們能夠感知、記憶和比較數量多少。

人類的認知能力與其他動物（包括黑猩猩）的認知能力迥然不同。首先，我們擁有發展符號系統（包括數學語言）的特殊能力。其次，我們的腦擁有語言器官，這使我們能夠表達思想并與同一種族的其他成員分享。最后，基于對過去事件的回顧性記憶以及對未來可能性的前瞻性記憶，我們有能力策劃復雜的行為，這種能力在動物界獨一無二。然而，從另一個層面來看，這是否意味著，我們負責數字處理的大腦硬件也理應與其他動物有很大不同？我在本書中始終堅持一個基本假設：人類對數量的心理表征實際上與老鼠、鴿子和猴子十分類似。與它們一樣，我們能夠很快列舉視覺對象或聽覺對象的集合，將它們相加，并且比較它們的數量。我猜測這些能力不僅使我們能夠快速地計算出集合的數量，而且是我們理解阿拉伯數字這類符號數字的基礎。本質上，我們在進化過程中繼承的數感是更高級的數學能力產生的源頭。²⁴

在下一章中，我們將會仔細考察人類的數學能力，在其中尋找動物的數字理解模式遺留下的蛛絲馬跡。我們研究中的第一個也是最引人注目的線索就是人類嬰兒非凡的算術能力，這種能力在他們坐進教室之前很久便已經存在，事實上，它的存在遠遠早于他們能夠坐起來之時！

不朽的靈魂，經歷了許多次重生，見證了這里和世界各地所有存在的事物，它已經學會了這些事物；無怪乎它能喚起關于德行的記憶，喚起關于所有事物的記憶。

——柏拉圖，《美諾篇》（Meno）