02　嬰兒天生會計數

剛出生的嬰兒是否對算術有抽象的認識呢？這個問題似乎很荒謬。直覺告訴我們，嬰兒是初始的生命體，除了學習能力，他們沒有其他任何能力。但是，如果我們的研究假設是正確的，那就意味著人類天生具有理解數量的能力，這種能力通過進化傳承下來，引導著人類學習數學。兒童在一歲半左右會進入語言大發展時期，一些心理學家稱之為“詞匯爆發期”，在此之前，這種原數模塊（protonumerical module）便已準備就緒，它將會影響兒童的數詞學習。因此，在生命的第一年，嬰兒應該能夠理解部分算術知識。

皮亞杰的理論

直到20世紀80年代早期，人們才對嬰兒的數字能力這一課題展開實證研究。在此之前，建構主義主宰著發展心理學，人類在生命的第一年就能理解算術概念這種觀點是不可想象的。根據建構主義創始人皮亞杰在50多年前首次提出的理論，邏輯和數學能力是通過觀察、內化和抽象外部世界的規律在嬰兒頭腦中逐步構建的¹。剛出生的嬰兒，其大腦就是一張白紙，沒有任何概念性的知識，基因沒有賦予這個生命體任何抽象的信息來使其理解即將步入的生存環境。他們僅有一些簡單的感知和動作裝置，以及普遍的學習機制，這個機制逐漸利用主體與外界環境的互動來組織自己。

根據建構主義理論，在生命的第一年，兒童處于“感覺運動”（sensorimotor）階段：他們會通過5種感官來探索周圍的世界，并通過動作來控制環境。皮亞杰認為，這一階段的兒童一定會注意到某些顯著的規律，比如，消失在遮屏后面的物品會在遮屏落下后重新出現，兩個物體相撞不可能相互滲透，等等。在這些發現的引導下，嬰兒會對他們所生存的世界逐漸形成一系列更為精煉和抽象的心理表征。根據這個觀點，抽象思維的發展是一系列逐級遞進的心理功能的展開，這就是心理學家能夠識別和區分的皮亞杰理論中的各階段。

皮亞杰及其同事對嬰兒的數字概念如何發展做了很多思考。他們認為，數字就像世界上任何其他抽象表征一樣，一定是在與外部環境進行感覺運動的交互作用的過程中形成的。這個理論的大意是：一個人在出生時沒有任何先驗的算術概念，他需要經過多年的仔細觀察才能真正了解數量是什么。通過不斷地操控客體的集合，他們最終發現，客體移動或者改變外觀時，數量是唯一不會改變的屬性。下面是西摩·佩珀特（Seymour Papert）在1960年對這個過程所做的描述²：

對嬰兒來說，客體甚至是不存在的；要把經驗整合成事物必須建立一個最初的結構。這里需要強調的是，嬰兒發現客體的存在并不是像探險家發現山川那樣，而是像一個人發現音樂一樣：這個曲子他已經聽了很多年，但是之前這段聲音對他而言只是噪聲。“發現了客體”之后，他們還需要經歷很長的時間來學會分類、系列化、總結，并最終了解數字。

皮亞杰和他的許多合作者收集了很多證據證明幼童沒有算術理解力。比如，如果你在衣服下藏一個玩具，10個月大的嬰兒不會去尋找它。皮亞杰認為，這個發現意味著嬰兒認為看不見的物體是不存在的。皮亞杰把這種現象稱為“客體永久性”（object permanence）概念的缺失。它是否表明嬰兒完全不了解他們所生活的環境？如果嬰兒沒有意識到他們看不到的物體仍然存在，那么他們怎么能夠了解更抽象、更易逝的數字概念呢？

皮亞杰的其他觀察結果似乎表明，兒童要到4歲或5歲時才能理解數字概念。在此之前，兒童不能通過皮亞杰所謂的“數量守恒”（number conservation）測試。首先，實驗者向兒童展示6個玻璃杯和6個瓶子，它們之間的間隔相同，杯子與瓶子各占一排。此時，如果問兒童玻璃杯多還是瓶子多，他們會回答“一樣多”。顯然，兒童是根據兩排物品的一一對應關系來解決這個問題的。接下來，實驗者將玻璃杯的間隔加大，這樣玻璃杯那排就比瓶子那排長。顯然，這項操作對數字本身沒有影響。但是，當實驗者重復上一個問題時，兒童普遍回答玻璃杯比瓶子多。他們似乎沒有意識到移動客體并沒有改變客體的數量。心理學家據此認為他們沒有“數量守恒”的概念。

即使兒童通過了數量守恒的測試，建構主義者仍然認為他們并不具備多少算術概念。對于七八歲的兒童而言，一些簡單的數字測試仍然很容易就能難倒他們。比如，實驗者向他們展示由6朵玫瑰和2朵郁金香共8朵花組成的花束，然后問他們：是玫瑰花多還是花多？大多數兒童會回答玫瑰花比花多！于是皮亞杰肯定地得出結論：在推理能力形成之前，兒童缺乏最基本的集合論（set theory）知識。許多數學家認為，集合論的知識是算術的基礎，他們似乎不知道子集來自原集合，子集的元素不可能多于原集合。

皮亞杰的發現對我們教育系統的影響很大。他的結論向人們傳達了一種悲觀的態度，并讓教育者采取觀望的教育策略。這個理論宣稱，兒童以固定的成長節奏逐步達到皮亞杰階段論中的每一個階段。在六七歲之前，兒童沒有為算術“做好準備”。因此，較早地進行數學教育是徒勞的，甚至是一種有害的嘗試。如果過早向兒童講授數學，兒童會在頭腦中歪曲數字概念，因為他們不能真正理解，只能依靠死記硬背的方式來學習。而如果不明白算術是什么，兒童就會對數學學習產生強烈的焦慮。根據皮亞杰的理論，最好從學習邏輯和排序起步，因為這些概念是習得數字概念的前提。這就是為什么即便是在今天，大部分學前班的兒童在學習計數之前，必須花費大量時間來堆積大小不一的方塊兒。

這種悲觀的理論合理嗎？我們已經知道老鼠和鴿子能夠在客體的空間布局發生改變的情況下識別物體的數量，我們也已經知道黑猩猩會自發地從兩者中選擇數量較多的那一個。人類兒童四五歲時會在算術方面比其他動物落后如此之多，這是否可信呢？

皮亞杰的錯誤

現在我們知道，皮亞杰建構主義的這部分內容是錯誤的。顯然，幼童在算術方面確實有很多要學習的地方，他們對數字的概念性認識也確實是隨著年齡的增長和教育的深入而逐漸提升的。但是，即使他們剛剛出生，也并不是完全沒有對數字的真正的心理表征！只是我們需要使用適合他們年齡的研究方法來進行測試。皮亞杰所推崇的測試沒有能夠反映兒童真正的能力。其中最主要的缺陷在于，這一測試依賴實驗者和幼小的被試之間的開放性對話。兒童是否真的理解了所有問題？最重要的是，他們對問題的理解是否與成年人對問題的理解一樣？有多種理由讓我們對此給出否定的答案。運用類似于動物實驗的情境，用非語言的方式對兒童的思維進行探測時，他們表現出相當強的數字能力。

以經典的皮亞杰數量守恒實驗為例。早在1967年，在著名的《科學》雜志上，美國麻省理工學院心理學系的杰柯·梅勒和湯姆·貝弗（Tom Bever）發表文章，證明這項測驗的結果會隨背景和兒童動機水平的改變而發生根本性的變化³。他們為2至4歲的兒童設計了兩種實驗。在第一種實驗中，實驗者將彈珠排成兩排，與傳統的數量守恒測試情境相似，其中較長的一排只有4枚彈珠，而較短的一排有6枚彈珠（見圖2-1）。當詢問兒童哪一排有更多的彈珠時，大多數3到4歲的兒童都會錯誤地選擇更長但是彈珠數量更少的那排。這和皮亞杰的經典實驗中被試兒童的發現并無二致。

然而，在第二種實驗中，梅勒和貝弗的策略是將彈珠換成美味的食物（巧克力豆）。兒童不需要回答復雜的問題，而是可以選擇兩排中的一排并馬上吃掉它們。這一程序的優點在于回避了語言理解的障礙，同時增加了兒童選擇物品更多的那一排的動機。確實，使用巧克力豆進行測試時，大多數兒童都選擇了兩排中數量較多的那一排，即使物品列的長度和數量是矛盾的。這項測試展現了一個令人震撼的結果：兒童的計算能力與他們對巧克力豆的喜愛同樣不容忽視！

雖然這個結果與皮亞杰的理論矛盾，但是3至4歲的兒童能夠選出數量更多的一排巧克力豆可能并不令人驚訝。在梅勒和貝弗的實驗中，不論是使用彈珠還是巧克力豆，2歲左右的兒童都表現優異，只有年齡較大的兒童才會在彈珠數量守恒測試中失敗。兒童數量守恒測試成績似乎在2至3歲期間暫時下降了。但是3至4歲兒童的認知能力顯然不低于2歲兒童。因此，皮亞杰的測試不能夠衡量兒童真實的數字能力。因為某些原因，這些測試會迷惑年長的兒童，使得他們比弟弟妹妹表現更差。

我認為事實是這樣的：3至4歲的兒童以不同于成年人的方式來理解實驗者的問題。問題的措辭和背景誤導了兒童，讓他們以為自己需要判斷物品列的長度而不是物品的數量。在皮亞杰的原始實驗中，實驗者將完全相同的問題問了兩遍：“兩者是相同的嗎？哪一排有更多的彈珠？”他第一次提出這個問題的時候，兩排彈珠完全一一對應，再一次提問時，彈珠列的長度被改變了。

面對這兩個連續的提問，兒童會怎么想呢？讓我們假設兒童完全明白兩排彈珠數量是相等的。他們一定會奇怪為什么大人會將無關緊要的相同問題重復兩次。事實上，問一個對話雙方都知道答案的問題違反了一般的對話規則。面對這個內在矛盾，兒童可能會認為，雖然從表面上來看第二個問題與第一個問題完全相同，但其意義卻完全不同。可能孩子們的腦海中會有如下的推理：

如果大人將一個問題重復了兩遍，那一定是因為他們在期待一個不同的答案。但是相對于前一種情境，唯一發生了變化的就是其中一排物品的長度。因此，新的問題一定與長度有關，雖然它看上去與數量有關。我猜我最好根據長度而不是根據數量來回答。

3到4歲的兒童完全可以實現這個嚴密的推理過程。事實上，這類無意識的推理是理解許多句子的基礎，包括兒童能夠創造和理解的那些句子。我們每天都會進行上百次類似的推斷。理解一句話需要透過字面意思去獲得說話者本來的意圖。在許多情況下，一句話的實際含義可能與字面的意思完全相反。我們談及一部好的電影時會說：“不賴啊，不是嗎？”當我們問“你能把鹽遞過來嗎”時，我們肯定不滿足于對方僅僅回答一聲“能”。這些例子證明，我們常常會根據對方的意圖進行無意識的復雜推理，進而重新解釋我們聽到的句子。我們有理由認為，兒童在測試中與成人對話時，會進行相同的推斷過程。事實上，這個假設看起來很有道理，因為梅勒和貝弗發現正是三四歲的兒童無法通過數量守恒的測試。根據意圖、信念和對他人的理解進行推理的能力恰好在這一時期開始形成，這種能力被心理學家稱為“心理理論”（theory of mind）⁴。

英國愛丁堡大學的兩位發展心理學家詹姆斯·麥加里格爾（James McGarrigle）和瑪格麗特·唐納森（Margaret Donaldson）明確地檢驗了這個假設：兒童在皮亞杰的測試中不能“守恒數量”，是因為他們誤解了實驗者的意圖⁵。在他們的實驗中，一半的輪次按照傳統方式進行，在這些輪次中，實驗者改變某一排的長度，然后詢問：“哪一排更多？”而在另一半的輪次中，長度的改變由一只“泰迪熊”來完成。當實驗者適時地看向其他地方的時候，一只“泰迪熊”意外地闖入并改變了其中一排的長度。然后實驗者轉過頭來并且驚叫道：“哦不！這只愚蠢的泰迪熊又弄亂了所有東西。”只有在這時，研究者才問這樣的問題：“哪一排更多？”這樣設計的原因是，在這種情況下，這個問題顯得十分真誠并且只要根據字面意思來理解就可以。因為是玩具熊弄亂了兩排物品，成人不再知道物品有多少個，因此才會詢問兒童。在這種情境下，大多數兒童并沒有受到物品擺放長度的影響，而是根據數量做出了正確的回答。而在實驗者有意對長度進行改變時，這些兒童卻會根據物品擺放的長度而做出錯誤的回答。這個實驗證明了兩點：其一，即便是兒童也能根據情境對完全相同的問題給出兩種完全不同的解釋。其二，與皮亞杰的結論相反，在有意義的情境下提出問題，兒童能夠給出正確的答案——他們具有數量守恒的概念！

我不想讓這項討論成為一種誤導。我當然不認為兒童未能通過皮亞杰的數量守恒測試是一個沒有價值的現象。相反，這是一個相當活躍的研究領域，仍然吸引著世界上的許多研究者。在上百次實驗后，我們仍然不清楚為什么兒童能夠如此輕易地被不合理的線索欺騙，比如，在他們應該判斷數量多少時卻被物品列的長度所迷惑。一些科學家認為，皮亞杰任務中的失敗反映了前額葉皮層的持續成熟過程，這部分腦區使我們能夠選擇一種策略并且能不受影響地堅持下去⁶。如果該理論被證實，那么皮亞杰的測試就被賦予了新的內涵，它將成為兒童抵抗分心的能力的行為標志。繼續探索這一觀點將是其他書的內容。我在這里提及這個觀點的唯一目的是想告訴讀者，我們現在已經確定了皮亞杰的測試不能反映什么。與皮亞杰的意圖相反，這些測試并不能很好地測出兒童何時開始理解數字概念。

嬰兒也能識別數量

前文所描述的實驗都認為，兒童獲得“數量守恒”能力的時間早于我們以往所認為的年齡，這對皮亞杰所提出的數字能力發展時間表提出了挑戰。但是，它們真的駁倒了整個建構主義嗎？并非如此。皮亞杰的理論比我在前文中以簡要的文字所描述的要巧妙得多，他的理論提供了多種途徑來包容上述研究結果。

比如，他可以這樣反駁：改動過的實驗任務從原始的數量守恒測試中去除了一些容易引發矛盾的線索，它們因此變得過于簡單。皮亞杰十分清楚他的測試會對兒童產生誤導，事實上，這種誤導是有意設置的，這樣物品擺放長度就會與物品數量產生矛盾。在他看來，兒童只有在以純粹的邏輯為基礎判斷出哪排物品的數量較多，反思已經發生的操作的邏輯后果，并且不因物品擺放長度的變化或實驗者提問的措辭方式等無關變化而分心時，他們才算是真正掌握了算術的概念性基礎。皮亞杰認為，抵抗誤導線索的能力也是數字概念認知的重要組成部分。

皮亞杰還可以這樣解釋：選擇更多數量的糖果不需要對數量有概念認知，感知運動協調就能使兒童找出更多的一堆并指向它。他的研究自始至終不停地強調兒童的感覺運動智能，所以他會很高興地接受兒童在早期發展出了“選大”策略。他仍然可能堅持認為，使用這種策略并不需要對其邏輯基礎有所理解；只有在更晚的時候，兒童才能反思他們的感覺運動能力，并發展出對數量的更抽象理解。在聽說奧托·克勒對鳥和松鼠進行數量知覺的研究時，皮亞杰所做出的反應，就是這種態度的典型體現。他相信動物能夠習得“感知運動數量”，而不是習得對計算概念的理解。

在20世紀80年代之前，這些挑戰皮亞杰理論的實驗并沒有真正觸及他的核心假設：嬰兒沒有真正的數量概念。畢竟，參加梅勒和貝弗彈珠實驗的兒童中，最小的也已經2歲了。在這種背景下，對嬰兒的科學研究突然具有十分重要的理論意義。是否有研究能夠證明，在通過與環境的互動獲取抽象概念之前，1歲以下的嬰兒就已經掌握了數量概念的某些方面呢？答案是肯定的。20世紀80年代，研究者發現，6個月大的嬰兒，甚至新生兒，都具有數量能力。

顯然，為了揭示在如此早期的年齡階段所具有的數量能力，運用語言提問是行不通的。因此，科學家們依靠新異事物對嬰兒的吸引力來完成這類實驗。家長們都知道，當嬰兒一次又一次地看到同一件玩具時，最終會對這件玩具失去興趣。這時，引入一個新玩具可以重新喚起嬰兒的興趣。這說明嬰兒可以注意到第一件玩具和第二件玩具之間的區別，研究人員在實驗室嚴格控制的環境下重復上述觀察時，也得到了同樣的結論。這項技術可以拓展到關于嬰兒的所有類型的問題。也正是運用這種方法，研究者已經可以證明，在生命的早期，嬰兒甚至新生兒，能夠感知顏色、形狀、大小之間的不同，更重要的是，他們也能感知數量之間的差異。

1980年在美國賓夕法尼亞大學普倫蒂斯·斯塔基（Prentice Starkey）的實驗室進行的一項實驗，首次證明了嬰兒能夠識別小數量⁷。72個16至30周大的嬰兒參加了測試。每一個嬰兒都坐在母親的腿上，面對一個可以投影幻燈片的屏幕（見圖2-2）。一個攝像機對準嬰兒的眼睛，來記錄他們的注視軌跡，這樣，一個不了解實驗具體條件的助手就能夠準確地計算出嬰兒注視每張幻燈片的時間。當嬰兒注視其他地方時，新的幻燈片就會出現在屏幕上。起初，幻燈片的內容基本上是一致的：2個橫向排列的黑點，隨著實驗輪次的不同，兩點之間的距離會有所變化。在實驗過程中，嬰兒對這些重復出現的刺激的關注會越來越少。這時，幻燈片就會毫無征兆地換成由3個黑點組成的圖像。嬰兒會立即給予這個意料之外的圖像更多的關注，注視時間從圖像改變前的1.9秒變成2.5秒。由此可見，嬰兒能夠覺察2個點和3個點之間的不同。以相同方式進行測試的其他嬰兒能夠覺察從3個點到2個點的變化。起初，這些實驗由6到7個月大的嬰兒參與，但是幾年之后，美國馬里蘭大學巴爾的摩縣分校的休·埃倫·安特爾（Sue Ellen Antell）和丹尼爾·基廷（Daniel Keating）運用相似的技術證明，即使是出生只有幾天的新生兒，也能夠區分數量2和3⁸。

如何才能確定嬰兒注意到的是數量的改變，而不是其他物理性質的改變呢？在最初的實驗中，斯塔基和庫珀（Cooper）將點排成一列，這樣，由點組成的整體圖形對數量不會有任何提示（在其他排列形式中，數量經常會與形狀相混淆，因為兩點組成一線，而三點組成一個三角形）。他們也改變了點與點之間的距離，這樣點的密度和線的總長度就都不會對分辨2個點和3個點產生影響了。之后，美國匹茲堡大學的馬克·斯特勞斯（Mark Strauss）和琳內·柯蒂斯（Lynne Curtis）引入了一種更好的控制方式⁹，他們使用印有各種常見物品的彩色圖片。這些物品有大有小；有的排成一列，有的則沒有；有從近處拍攝的，也有從遠處拍攝的。只是它們的數量始終是固定的：一半實驗中是2件物品，另一半實驗中是3件物品。所有可能的物理參數的改變都沒有對嬰兒產生影響，嬰兒注意的始終是數量的變化。近期，荷蘭心理學家埃里克·馮·洛斯布羅克（Erik van Loosbroek）和斯米茨曼（Smitsman）重復了這項實驗。他們使用了動態的呈現方式：在物品隨機移動過程中，偶爾會有幾何形狀相互重疊¹⁰。即使是幾個月大的嬰兒，似乎也能注意到動態環境中物品的恒常性，并提取其數量。

一種數字知覺的抽象模塊

我們還不知道這種較早出現的對數量的敏感性到底是反映了嬰兒視覺系統的能力，還是體現了他們對數字更抽象的表征。對于非常年幼的兒童，我們面臨著與研究老鼠和黑猩猩一樣的問題。比如，他們能否在聲音序列中提取出聲音的數量？更重要的是，他們是否知道抽象概念“3”代表了3個聲音或3件物品？還有，他們是否能夠在心理層面整合數量表征，進行諸如“1+1=2”的初級計算？

為了回答第一個問題，科學家們簡單地將最初的數字視覺認知實驗轉換為聽覺模式。他們一遍又一遍地向嬰兒重復由3個音組成的聲音序列，使嬰兒感到厭倦，接著觀察由2個音組成的新序列的出現是否會重新喚起嬰兒的興趣。其中一個實驗具有十分重要的指導意義，因為它證明，出生4天的嬰兒能夠將語音分解成更小的單位——音節，然后列舉出來。但是在這樣幼小的年紀，使用吮吸節奏作為實驗工具比使用凝視方向要好得多，因此在巴黎認知科學和心理語言實驗室工作的蘭卡·比耶利亞茨-巴比克（Ranka Bijeljac-Babic）及其同事在嬰兒的奶嘴上安置了一個壓力傳感器，并將其與計算機相連¹¹。每當嬰兒有吮吸動作，計算機就會將其記錄下來，并立即通過揚聲器給出一個無意義單詞，比如“bakifoo”或“pilofa”。所有的單詞都有相同數量的音節，比如3個音節。當嬰兒第一次處在這個一吮吸就會產生聲音的特殊環境時，他的興趣會越來越高漲，表現為吮吸頻率的增加。然而幾分鐘過后，吮吸頻率就會下降。計算機一旦檢測到頻率下降，就會轉而給出由2個音節所組成的單詞。嬰兒的反應如何呢？為了聽到新的單詞結構，他立即恢復有力吮吸的狀態。為了確保這種反應與音節數有關而與新單詞的出現無關，一些嬰兒會聽到音節數不變的新單詞。對于這個控制組，計算機沒有檢測到任何反應。因為單詞的持續時間和語速變化很大，音節數確實是唯一能夠使嬰兒區分第一組和第二組單詞的參數。

由此可見，非常年幼的兒童對環境中的聲音數和物品數給予了同樣的關注。通過卡倫·溫（Karen Wynn）進行的一項實驗，我們知道6個月大的嬰兒能夠區分動作的數量，比如，一個木偶是跳了2下還是3下¹²。但是，他們是否意識到聽覺和視覺之間的“對應性”（correspondence），從而理解法國作家波德萊爾的作品呢？他們能否通過3次閃電來推測接下來會有3次雷聲呢？簡單來說，他們能否不依賴視覺或聽覺媒介而實現對數字的抽象表征呢？幸虧美國心理學家普倫蒂斯·斯塔基、伊麗莎白·斯佩爾克（Elizabeth Spelke）和羅切爾·戈爾曼（Rochel Gelman）設計了一個極其精妙的實驗，使我們能夠對這個問題給出一個肯定的答案¹³。我個人把他們的工作奉為實驗心理學的典范，因為在20世紀80年代的認知革命以前，學術界似乎不可能提出如此復雜的有關嬰兒思維的問題。

在這個多媒體實驗中，一個6至8個月大的嬰兒坐在兩臺幻燈片投影儀前。右側幻燈片展示2件隨機排列的常見物品，左側幻燈片上展示3件物品。同時，嬰兒會聽到兩個屏幕之間的揚聲器播放的一串鼓點。像之前的實驗一樣，有一臺隱形攝像機記錄嬰兒的注視軌跡，這樣實驗者就能計算出嬰兒看每張幻燈片的時間。

起初，嬰兒十分專注，他們認真地觀察圖片。顯然，3件物品的圖片比2件物品的圖片更為復雜，所以嬰兒對其投入了較多的時間和注意力。然而在幾個實驗輪次過后，這種偏差逐漸消失，同時出現了一個有趣的現象：若幻燈片上物品的數量與聽到的鼓點數相同，嬰兒注視該幻燈片的時間會更長。他們會在聽到3聲鼓點時投入更多的時間看有3件物品的幻燈片，而在聽到2聲鼓點時傾向于看有2件物品的幻燈片。

看起來，嬰兒似乎能夠識別不斷變化的聲音數量，并且能夠將其與眼前出現的物品數量相比較。當兩者數量不匹配時，嬰兒不再探究這張幻燈片而會看向另一張。幾個月大的嬰兒就能夠應用這種復雜策略，這一事實表明，他們的數量表征沒有局限于低層次的視知覺或聽知覺。對此最簡單的解釋是，兒童確實感知的是數量，而不是聽覺模式或物品的幾何排列。看到3件物品和聽到3個聲音，都會激活他們大腦中數字“3”的表征。這種內在的、抽象的、跨通道的表征使嬰兒能夠意識到幻燈片上物品的數量與同時聽到的鼓點數量之間的對應性。記得嗎？動物也表現出類似的行為：它們也擁有對3個聲音和3次閃光做出相同反應的神經元。在進化過程中，有一種數字知覺的抽象模塊深深植入人類和其他動物腦中。嬰兒的行為也許很好地反映了這一點。

1加1等于幾

我們現在要將嬰兒和其他物種的行為進行對比。我們在上一章看到，黑猩猩能夠進行簡單的加法運算，比如，它們會將2個橙子和3個橙子相加，并得出近似的答案。幼小的嬰兒是否也能做到這一點呢？乍一看，這似乎是一個相當大膽的假設。我們更傾向于認為，對數學知識的習得發生在幼兒園階段。20世紀90年代，一個突破舊觀念的觀點終于得到實證研究的證實：計算能力在嬰兒一歲前就已存在。迄今為止，科學界進行了許多有關嬰兒和動物數學知覺研究的實驗，因此完全有能力進行這種實驗，并能夠獲得引人矚目的研究結果。

1992年，卡倫·溫有關4至5個月大的嬰兒做加減法的著名論文刊登在《自然》雜志上¹⁴。這位年輕的美國科學家運用了一種簡單而富有創造性的設計，這一設計的依據是嬰兒對不可能事件的探測能力。幾個更早的實驗顯示，在出生的第一年中，當嬰兒看到違反基礎物理法則的、“魔術般”的事件時，他們會表現出強烈的疑惑¹⁵。比如，如果嬰兒看到某物品在失去支撐的情況下于半空中保持懸浮狀態時，他們會觀察這個場景，并感到難以置信。同樣，當嬰兒看到暗示2件物品占據同一個空間位置的場景時，他們也會表現得很驚訝。如果人們將一件物品藏在遮屏后面，當遮屏降下后，若嬰兒沒能再看到這件物品，他們會感到震驚。順便提一下，這種發現證明：與皮亞杰的理論相反，對于5個月大的嬰兒來說，“看不見”（out of sight）不等于“消失了”（out of mind）。我們現在知道，1歲以下的兒童無法通過皮亞杰的客體永久性測試與他們不成熟的前額葉皮層有關，前額葉皮層的不成熟限制了他們伸手夠物的動作。他們不去伸手夠藏起來的物品，并不代表他們認為該物品已經不存在了¹⁶。

在所有此類情境中，與不涉及違背物理規則的控制組相比，嬰兒的驚訝體現在對場景注視時間的顯著增加上。卡倫·溫的設計的訣竅在于，她將這種方式用于探測嬰兒的數感。她給嬰兒展示一些表現數字轉變過程的事件，比如，一個對象加另一個對象，并探測嬰兒能否精確地預期到結果。

到達實驗室之后，4個半月大的被試們會發現一個木偶劇臺，劇臺正面有可以活動的遮屏（見圖2-3）。實驗者拿著一個米老鼠玩具在劇臺的一邊出現，并將它放置在臺上。之后，遮屏就會升起，擋住玩具。接著，實驗者伸出手將另一個米老鼠玩具放置在臺上，然后把空著的手縮回去。事件的整個過程是對“1+1”的具體描述：起初，遮屏后只有1個玩具，之后加上了1個。嬰兒并沒有同時看到2個玩具，而是先看到1個，再看到1個。那么，他們能否推測出遮屏后應該有2個米老鼠玩具呢？

為了找到答案，實驗者設計了一個意想不到的場景：當遮屏降下時只有1個米老鼠玩具！在被試不知情的情況下，2個玩具中的1個已經通過暗門被移走了。為了評估嬰兒的驚訝程度，實驗者記錄了他們關注“1+1=1”這一不可能情況的時間，并與他們關注可預料情況“1+1=2”的時間做比較。相較于可能事件“1+1=2”，嬰兒對錯誤加法“1+1=1”的關注時間更長，平均為1秒。人們可能還會對此提出反對意見，認為嬰兒并不是真正進行了加法運算，而僅僅是因為看1個對象的時間多于看2個對象的時間。然而，這種解釋是站不住腳的，因為第二組嬰兒的實驗反駁了這種解釋。這一組的嬰兒看到的是“2-1”的操作而不是“1+1”的操作。在呈現結果時，嬰兒對遮屏后仍有2個物品感到驚訝，相比可能事件“2-1=1”，他們對“2-1=2”的觀察時間平均長了3秒。

正如卡倫·溫自己所說，對于一個故意唱反調的人，這個結果仍然不能表明嬰兒能夠進行準確的計算。他們可能僅僅知道在客體被添加或被移走時，客體的數量被改變了。因此，他們知道“1+1”不可能等于1、“2-1”不可能等于2，而并不知道這些操作的確切結果。不過，這種牽強的解釋沒有通過實證的檢驗。實驗者可以重復“1+1”的加法操作，并給出2個或3個對象的結果。卡倫·溫重復了這個過程，同樣觀察到，4個半月大的嬰兒注視不可能結果（3個對象）的時間比注視可能結果（2個對象）的時間更長。嬰兒知道“1+1”不等于1，也不等于3，而是確切地等于2，這個結果是無可辯駁的。

嬰兒的這種知識使他們與老鼠以及有計算能力的天才黑猩猩舍巴處在了同一個水平（關于天才舍巴的計算能力在前面的章節已有講述）。哈佛大學的心理學家馬克·豪澤（Mark Hauser）以野生恒河猴為對象精確地重復了卡倫·溫的實驗¹⁷。當一只恒河猴對豪澤的出現產生興趣并主動看向他時，豪澤會連續地將2個茄子放在盒子中。然后，在有些實驗輪次中，他會在打開盒子前偷偷拿走一個茄子，與此同時，他的同事會對動物進行拍攝，以測量它們的驚奇程度。野外情境實驗的研究結果十分重要且引人矚目。恒河猴的反應比嬰兒的更為強烈：當其中的一個茄子魔術般地不見了時，它們會花大量的時間仔細檢查盒子。顯然，人類嬰兒和他們的動物近親一樣具有算術的天賦，這證實了生物能夠在沒有語言的條件下進行數學基礎運算。

不過，卡倫·溫的實驗仍沒有給出嬰兒數學知識的實際抽象程度的線索。嬰兒可能是對藏在遮屏后的物品形成了一個生動而真實的影像——一種足夠精確的、能使他們立即發現任何缺失或新增物品的心理圖像。也有可能他們只記住了遮屏后被加減的物品的數量，而沒有關注物品的位置及特性。為了找到答案，我們需要阻止嬰兒建立對物品位置和特性的精確心理模型，然后觀察他們是否仍然能夠預測物品的數量。艾蒂安·克什蘭（Etienne Koechlin）在我們的巴黎實驗室所進行的實驗正是建基于這個觀點¹⁸。該實驗設計與卡倫·溫的實驗相似，但是在此實驗中，物品被放置在一個緩慢旋轉的轉盤上，這樣即便物品藏在遮屏后面時仍能保持不斷運動的狀態，因此，要預測它們在遮屏降下后的位置是不可能的，嬰兒無法形成對預期場景的精確心理表征，被試唯一能夠構建的就是對兩個位置不明的旋轉物品的抽象表征。

令人驚奇的是，實驗結果表明，4個半月大的嬰兒完全不會被物品移動所迷惑。他們仍會驚訝于不可能事件“1+1=1”和“2-1=2”。因此，他們的行為并不依賴于對物品確切位置的預期。他們并不期望看到遮屏后物品的某種精確排列，而只期望看到遮屏后只有不多不少2件物品。來自美國佐治亞理工學院的心理學家托尼·西蒙（Tony Simon）和他的同事們也發現，嬰兒在進行數字計算時并不會注意遮屏后物品的精確特性¹⁹。與年齡更大的兒童不同，4至5個月大的嬰兒在算術運算的過程中并不會因為遮屏后物品外觀發生變化而感到驚奇。如果遮屏后放置了2個米老鼠玩具，當遮屏降下后出現2個紅球而不是米老鼠時，他們不會感到震驚。但是，如果只能看到1個球，他們的注意就會被高度喚起。對于嬰兒的數字處理系統來說，米老鼠變球，或者青蛙變王子，都是可以接受的轉換。只要沒有物品消失或被重新創造，他們就會認為此操作在數量上是正確的，也就不會表現得很驚訝。相反，一件物品的消失或者無法解釋的復制，就顯得不可思議了，因為它違背了我們內心深處的數量預期。嬰兒不僅能夠注意到少量物品的數量，而且他們的數感已足夠復雜，不會因物品的移動或物品特性的突然改變而感到受騙。

嬰兒算術的局限

我希望這些實驗能夠讓讀者相信幼兒擁有對數字的自然天賦。但是，這并不意味著應該讓蹣跚學步的兒童報名參加業余數學課程。如果你的孩子在基礎加法運算中出現了很大的錯誤，我也不會建議你去咨詢兒童神經科醫生。如果那些冒充內行者將我對皮亞杰理論的反駁用作托詞，宣稱他們能夠在孩子出生后的第一年提升其智力，方法是向嬰兒展示其根本無法理解的阿拉伯數字甚至日語假名寫成的加法算式，那么，我將非常遺憾。雖然幼兒確實擁有數學能力，但是這種能力僅局限于最基礎的算術。

第一個局限，嬰兒的精確運算范圍似乎不會超過數字3，或許還有4。實驗者向嬰兒呈現2個或3個對象時，嬰兒每次都能夠區分二者。可是，他們只能偶爾區分3個對象和4個對象，而且沒有任何1歲以下組的兒童能夠將4個點和5個點或者6個點區分開來²⁰。顯然，嬰兒只對最開始的幾個數字有精確的認識。他們在這一領域所表現出的能力很可能低于成年黑猩猩，因為在6塊巧克力和7塊巧克力之間進行選擇時，成年黑猩猩的正確率高于隨機水平。

我們也不能太快得出“數字4就是嬰兒算術能力的極限”的結論。目前已有許多實驗關注了嬰兒對較小整數的精確表征，但是，就像老鼠、鴿子和猴子一樣，嬰兒很可能僅對數字擁有粗略的連續的心理表征。這種表征方式同樣符合在老鼠和黑猩猩身上發現的距離效應和大小效應。因此，我們應該認為，在超出一定范圍之后，嬰兒不能夠區分數字n和它的相鄰數n+1。這一現象確實已在比4大的數字中發現。但是，假如他們能夠區分距離足夠大的數字，我們也應該期待他們能區分在這個范圍之外的數字。因此，嬰兒可能不知道“2+2”的結果是3、4，還是5，但是當他們發現一個場景顯示“2+2=8”時，他們仍會感到驚訝。據我所知，這個預測還沒有被實驗證實²¹。一旦它被證實，將會大幅度拓展我們在幼兒數字方面的認知。

嬰兒的數學能力還有第二個局限。在一些成人可以自發推測物品數量的場景中，嬰兒不一定會得出相同的結論。我來解釋一下。假如你看到1輛紅色玩具卡車和1個綠色的球交替從遮屏后出現，你會立即得出遮屏后藏著2件物品的結論，當遮屏被打開，你發現只有1件物品，假設那是1個綠球，此時，你會非常困惑。嬰兒的表現卻不同。無論遮屏打開后出現1件還是2件物品，10個月大的嬰兒都不會有任何驚訝的表現²²。顯然，對嬰兒來說，不同形狀和顏色的物品交替地從遮屏后出現不是一個能夠提示存在多件物品的充分線索。即便實驗材料換成了他們相當熟悉的物品，比如被試自己的水壺或他們最喜歡的洋娃娃，他們仍然不能通過測試。直到12個月大時，嬰兒才開始預期遮屏后有2件物品。即便是在這個時候，也只有當物品的形狀不同時，他們才能通過測試。如果只是顏色或大小發生改變，比如1個大球從遮屏一側出現之后又有1個小球從遮屏另一側出現，就算是12個月大的兒童也不能推測出遮屏后有2件物品。

唯一決定性的線索是客體的軌跡（見圖2-4）²³。在使用中間有間隔的兩個遮屏重復同樣的實驗時，如果同一個客體交替地從右側遮屏和左側遮屏后出現，嬰兒會推測存在2個客體，每個遮屏后各有1個。他們知道，一個客體從右側遮屏后移到左側遮屏后時，它不可能不在遮屏間的空隙中出現，哪怕只出現很短的時間。如果該客體在適當的時間內確實出現在了這段空隙中，嬰兒的選擇會轉變，他們會認為只有1個客體。相反，如果只有一塊遮屏，實驗開始時同時向嬰兒呈現2個客體，即使只呈現很短的時間，他們也會期望最終可以找到2件物品。

物體的空間軌跡信息確實為數字知覺提供了關鍵線索。需要注意的是，這個結論并沒有駁倒我之前所提到的轉盤實驗。轉盤實驗證明，嬰兒并不在意遮屏后的物體是運動的還是靜止的。事實上，我們有理由相信，在這項實驗中，軌跡信息同樣是十分關鍵的。比如在“1+1=2”的情境下，第一個米老鼠玩具被放置在遮屏后的轉盤上之后，一個同樣的玩具出現在遮屏右側實驗者的手中。這個玩具不可能是前一個玩具，因為前一個玩具不可能在不被看到的情況下從遮屏后被移走。因此，嬰兒們得出結論，這是表面上與前一個玩具一模一樣的第二個玩具，所以他們會預期存在2件物品。即使物品隨后被移動，且它們的位置無法預測，這些并不重要，一旦“2”這一抽象表征被激活，它就能夠抵制這類變動。離散物體位置的空間信息對于兒童在大腦中建立數字表征十分關鍵，但是一旦數字表征被激活，他們就不再需要此類信息了。

總的來說，嬰兒對數量的推測似乎完全由客體的空間軌跡決定。如果他們看到的動作在不違背物理法則的條件下不可能由單個客體完成，那么他們就會得出至少存在2個客體的推論。否則他們就會堅持存在1個客體的默認假設，即便這種假設意味著這個客體在形狀、大小和顏色方面會不斷地產生變化。由此可見，嬰兒的數量加工模塊對客體的軌跡、位置和被遮擋情況高度敏感，同時他們會完全忽視形狀和顏色的改變。嬰兒從不在意客體本身的特性，對于他們來說，只有位置和軌跡才是真正重要的。

只有一個非常愚蠢的偵探才會忽視半數的可用線索。既然我們已經習慣于嬰兒的高水準表現，那就不得不思考，這種策略是否并不像看起來那么缺乏智慧。嬰兒的推理線是有缺陷的嗎，或者與此相反，他們像福爾摩斯一樣有智慧？畢竟每個人都知道，一個罪犯可以將他自己裝扮成其他人，客體外表的變化也屬于這種情況。比如，人臉的不同側面是不同的視覺客體，但是嬰兒會將它們視作同一個人的不同形象。既然一小片紅色的橡膠可以在充氣后變成一個粉色的大氣球，兒童又怎么可能事先肯定一輛卡車不能將自己變成一個球呢？這種信息是不能夠提前知道的，它必須通過不斷遇到新的客體而一步步習得，而且在認識某物之前，最好不要有先入為主的偏見。這也許能夠解釋為什么嬰兒會做出只有1件物品的假設。像優秀的邏輯學家一樣，即便看到了物品形狀和顏色的奇怪改變，他們也會堅持這種假設，直到有明確的證據能夠證偽。

從進化的觀點來看，自然將算術建立在了最基本的物理法則之上。人類的“數感”至少利用了3條法則。第一，1個客體不可能同時占據多個分散的位置。第二，2個客體不能占據相同的位置。第三，1個客體不可能突然消失，也不可能在原本空空如也的位置上突然出現，它的軌跡應當是連續的。非常感謝兒童心理學家伊麗莎白·斯佩爾克和勒妮·巴亞爾容（Renée Baillargeon），她們發現，即便是年齡非常小的兒童，也能夠理解這些法則²⁴。但是，在我們的物質世界中的確也存在著極少的例外，這其中最為人們熟知的例外是由影子、反射和透明度所引發的。這或許能夠解釋當這些“物品”出現在幼兒面前時他們所表現出的著迷和困惑。正是這些基本法則為動物和人類大腦中天生就具有的少量數字理論提供了堅定的基礎。嬰兒的大腦只能依靠這些法則來預測會出現幾個物品，他們固執地拒絕利用其他附屬線索，比如物品的視覺外觀。這就證明了嬰兒“數感”的古老，因為只有經過幾百萬年試誤的進化才能夠區分物品的基本性質和特殊性質。

事實上，離散物品和數字信息的緊密聯系會一直持續到較晚的年齡階段，這會對數學能力發展的某些方面產生負面的影響。如果你認識一個三四歲大的兒童，你可以嘗試進行下面這個實驗²⁵。當你向他展示圖2-5時詢問他能夠看見幾把叉子。你會驚奇地發現他會得出錯誤的總數，因為他把叉子的每一部分都計算為1件。他將那把斷掉的叉子算了2次，所以得出6把這個結果。很難向他解釋分開的兩部分應當被看作1件。與此類似，你可以向他展示2個紅色的蘋果和3根黃色的香蕉，問他看見了幾種不同的顏色，或者有幾種不同的水果。顯然，正確的答案是2。但是，在這個年齡階段，兒童會不由自主地將每個離散的客體計作1件，從而得出錯誤的總數“5”。“數字是離散物品集合的屬性”這句話已經深深印刻在他們的大腦中。

遺傳、環境和數字

在本章中，我似乎總是把嬰兒當作表現死板的遲鈍機體。在談論嬰兒實驗時，我們很容易忽視年齡組之間的差異可以小至幾天，大至10到12個月。事實上，出生的第一年是嬰兒大腦可塑性最強的階段。在這一時期，嬰兒日復一日地吸收大量新知識，因此我們不能把他們看作表現穩定的靜止系統。剛一出生，他們就開始學習辨識母親的聲音和面孔、處理周圍環境所使用的語言、探索如何控制身體移動等。我們有理由認為，數字能力的發展不會在這個學習與探索的大爆發期缺席。

為了公平地對待嬰兒智力的易變性，我在本章中提到的數字能力應被放入一個動態框架中。鑒于我們對出生后第一年中數字表征的發展邏輯還所知甚少，這是一個極其冒險的嘗試，但是我們至少可以對此類能力在短短幾個月中發展的順序和方式進行嘗試性的描述。

我們從出生說起。在這個階段，嬰兒已經表現出辨別數字的能力。新生兒可以區分2個和3個客體，甚至也可能區分3個和4個客體，同時，他們的耳朵能夠注意到2個聲音和3個聲音之間的區別。因此，新生兒的大腦顯然在出生前就配備了數字探測器，這很可能是由人類的先天基因決定的。事實上，嬰兒很難在如此早的年齡階段就從環境中獲得足夠的信息來學習數字1、2和3。即便我們假設出生前或者出生后幾小時內的嬰兒就能夠進行學習（在這段時間，視覺刺激常常接近于零），問題仍然存在，因為對于一個忽視了所有數字信息的機體來說，學會去辨識它們是不可能的，這就像要求黑白電視機顯示出色彩一樣！更有可能的解釋是：在基因的直接控制和環境的微弱引導下，專門用于識別數字的腦模塊是在皮層神經網絡的自然成熟過程中逐漸形成的。由于人類的基因編碼是通過幾百萬年的進化過程傳承下來的，人類有可能和其他物種共享同一種先天的原數系統——這個結論的合理性已在上一章被證實。

雖然新生兒配備了視覺和聽覺方面的數量探測器，但是至今為止沒有一項實驗證明，這兩種輸入模式從嬰兒一出生就開始進行交流并分享數字線索。目前，只有6至8個月大的嬰兒能夠將2個聲音和2個圖像，或者3個聲音和3個圖像聯系起來。“兒童在不同感覺模式間的數量對應能力是通過學習獲得的，與腦的成熟無關。”在決定性的幼兒實驗出現之前，這種觀點也仍然是可能成立的。聽到單個物品發出1個聲音，2個對象發出2個聲音，或面對更多符合這一規律的情況時，嬰兒會發現對象數和聲音數之間存在著穩定的聯系。但是這樣一種回歸到建構主義的觀點是否有道理呢？一些對象發出的聲音數會大于1，而另一些則根本不發出聲音，環境線索不可避免是含糊的，而且我們也不清楚這些線索是否會對某種學習形式有所幫助。因此，我懷疑，嬰兒傾向于認為聲音和對象之間存在對應關系，這可能源于其在數字方面固有的抽象能力。

在兒童的加法和減法能力方面也存在類似的不確定性。在卡倫·溫的“1+1”和“2-1”實驗中，最小的實驗對象也有4個半月大了。出生后的這段時間可能足以讓一個嬰兒通過實證發現，當一個客體隨著另一個客體消失在遮屏后面時，只要有意尋找，就一定能夠找到2個客體。在這種情況下，皮亞杰的理論是部分正確的：嬰兒必須從環境中提取基本的算術法則——雖然他們開始這一行為的年齡階段比皮亞杰預想的更早。但是也有可能這種知識天生就存在于嬰兒大腦的特定結構中，直到他們在4個月左右發展出能夠記憶遮屏后客體的能力時，這種知識的存在才變得明顯。

一個初級的數字累加器能使6個月大的嬰兒識別少量的物品和聲音，并且能對它們進行簡單的加減法運算。奇怪的是，他們可能缺乏一種簡單的算術概念，那就是數字的順序。我們幾歲的時候才知道3大于2呢？有關這方面的幼兒實驗研究非常少，并且難以令人信服。不過他們的研究結果表明，小于15個月的兒童沒有表現出顯著的排序能力。在這個年齡階段，兒童開始表現得如同恒河猴阿貝爾、貝克以及黑猩猩舍巴：他們自發地選擇兩組玩具中數量較多的一組。年幼的兒童似乎沒有意識到數字的自然順序，就好像大腦中對1個、2個或3個對象做出反應的數字探測器之間沒有任何特殊的關聯。我們可以將兒童對數字1、2、3的表征與成人對藍色、黃色、綠色的表征相類比。我們可以識別這些顏色，甚至知道藍加黃為綠，但是我們對它們的順序完全沒有概念。與此類似，在不需要意識到3大于2，或者2大于1的情況下，嬰兒也可以辨識1個、2個和3個對象，甚至也知道1加1等于2。

如果這些初步的數據是可信的，那么“更小”或“更大”的概念是最晚進入嬰兒思維的概念之一。這些概念是從哪里產生的呢？或許是通過觀察加法和減法的特性得來的²⁶。“更大”的數字是通過加法得到的，而“更小”的數字是通過減法得到的。嬰兒會發現，由于從1到2以及從2到3的變化都經歷了同樣的“+1”操作，因此2和1以及3和2之間存在著相同的“大于”關系。通過進行連續的加法運算，數字1、2、3的探測器會在嬰兒的思維中以一種穩定的順序逐個激活，嬰兒由此認識到它們在數字序列中的位置。

不過這仍然是一個假設，我們需要進行一系列的實驗來證實或者駁斥這一假設。現階段我們所能確定的是，嬰兒在數學方面的表現遠比我們在15年前所想的更加優秀。當他們吹滅第1支生日蠟燭時，父母完全有理由為他們感到驕傲，因為無論是通過學習還是因為腦的成熟，他們都已經獲得了算術的基本原理以及清晰到令人驚訝的數感。

我建議你質疑你所有的信仰，只相信2加2等于4。

——伏爾泰，《年收入四十埃居⁽⁷⁾的人》（L’homme Aux Quarante écus）