2.6 MIMO系統(tǒng)框圖與傳遞函數(shù)矩陣

前文討論了單輸入單輸出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)及其簡(jiǎn)化方法。可以將這種定義與簡(jiǎn)化方法推廣到多輸入多輸出線性系統(tǒng)的每一對(duì)輸入與輸出關(guān)系上。當(dāng)用矩陣表示這些關(guān)系時(shí)，就得到了MIMO（Multi－Input and Multi－Output）系統(tǒng)的框圖及其對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)矩陣。

2.6.1 傳遞函數(shù)矩陣定義及其輸入輸出關(guān)系

如圖2-47所示的雙輸入雙輸出的MIMO系統(tǒng)。圖中各傳遞函數(shù)G_ij（s）均是按照單輸入單輸出系統(tǒng)定義的輸入j對(duì)輸出量i間的傳遞函數(shù)。

由圖2-47，由于是線性系統(tǒng)，由疊加性，系統(tǒng)輸入輸出的拉氏變換關(guān)系是

寫成矩陣就是

式中

分別稱為輸出向量和輸入向量，而G（s）∈C^2×2稱為傳遞函數(shù)矩陣。

更一般地，當(dāng)MIMO線性系統(tǒng)有m個(gè)輸入、n個(gè)輸出時(shí)，對(duì)每個(gè)輸出量有

式中，i＝1，2，…，n。式（2-39）用矩陣表示依然是式（2-38），其中

這里，G（s）就是傳遞函數(shù)矩陣，但它不能理解為輸出拉氏變換與輸出拉氏變換的比。

為簡(jiǎn)便計(jì)算，形如圖2-47的多輸入多輸出線性系統(tǒng)的框圖可簡(jiǎn)化為廣義框圖，如圖2-48所示。應(yīng)注意的是，廣義框圖的粗箭頭代表向量信號(hào)。不失一般性，廣義框圖也采用和標(biāo)量框圖一樣的圖例方式。

例2-10 試導(dǎo)出圖2-49所示雙輸入單輸出線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣，圖中信號(hào)和環(huán)節(jié)均為標(biāo)量關(guān)系。

解：這是雙輸入單輸出的MIMO系統(tǒng)，參考輸入R（s）對(duì)輸出間的傳遞函數(shù)為

干擾輸入D（s）與輸出之間的傳遞函數(shù)是

于是，傳遞函數(shù)矩陣是

2.6.2 MIMO系統(tǒng)的基本聯(lián)接形式

（1）串聯(lián)

如圖2-50所示的串聯(lián)MIMO系統(tǒng)。其中，U（s）∈C^m，Y（s）∈Cⁿ，Y₁（s）∈C^k，由式（2-38）有

Y（s）＝G₂（s）·Y₁（s）＝G₂（s）G₁（s）·U（s）

于是，U（s）與Y（s）之間的傳遞函數(shù)矩陣

即串聯(lián)的MIMO系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣等于各MIMO系統(tǒng)的傳遞矩陣自后向前左乘。注意，式（2-40）的矩陣乘積順序不可顛倒。

（2）并聯(lián)

如圖2-51所示系統(tǒng)，其中U（s）∈C^m，Y（s）∈Cⁿ

顯然有

Y（s）＝Y₁（s）+Y₂（s）＝G₁（s）U（s）+G₂（s）U（s）＝［G₁（s）+G₂（s）］U（s）

即并聯(lián)MIMO系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣有

G（s）＝G₁（s）+G₂（s）

即并聯(lián)MIMO系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣等于各子MIMO系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣的和，這里的框圖并聯(lián)是在各子系統(tǒng)的輸入輸出向量維數(shù)相同的意義下建立的。

（3）反饋回環(huán)

如圖2-52所示系統(tǒng)。其中，U（s）∈C^m和Y（s）∈Cⁿ。顯然，有

Y（s）＝G（s）·E（s）＝G（s）［U（s）－B（s）］

＝G（s）［U（s）－H（s）Y（s）］

整理后，就有

［I+G（s）H（s）］Y（s）＝G（s）·U（s）

其中，I為適當(dāng)維數(shù)的單位矩陣。

若矩陣［I+G（s）H（s）］非異（對(duì)所有s∈C，det［I+G（s）H（s）］不恒等于零意義），對(duì)上式兩邊左乘［I+G（s）H（s）］^－1后，閉環(huán)傳遞函數(shù)矩陣為

2.6.3 廣義信號(hào)流圖與MIMO系統(tǒng)簡(jiǎn)化

MIMO系統(tǒng)由于包含多個(gè)輸入輸出關(guān)系，其結(jié)構(gòu)更為復(fù)雜，對(duì)其進(jìn)行簡(jiǎn)化非常困難，但是將MIMO系統(tǒng)框圖用廣義框圖表示合并分析時(shí)，分析過程與SISO系統(tǒng)的分析過程及結(jié)論是類似的，同樣可以借助信號(hào)流圖來分析。

（1）廣義信號(hào)流圖定義

將信號(hào)流圖的節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)于向量，支路增益記為節(jié)點(diǎn)間的傳遞函數(shù)矩陣，則所得到的信號(hào)流圖就是廣義框圖的廣義信號(hào)流圖。各種術(shù)語與前述信號(hào)流圖相同，不再重復(fù)。

（2）MIMO系統(tǒng)的梅森公式

利用梅森公式對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行簡(jiǎn)化，MIMO系統(tǒng)首先應(yīng)該以信號(hào)流圖方式表示。將MIMO系統(tǒng)轉(zhuǎn)化成廣義信號(hào)流圖可直接套用前述的方法，其代數(shù)方程組的求解本質(zhì)也沒有變化。所以，剩下的只是對(duì)梅森公式在MIMO系統(tǒng)應(yīng)以什么形式表達(dá)的問題。

考慮如圖2-53所示的廣義信號(hào)流圖。

圖中，U（s）∈C^m和Y（s）∈Cⁿ。由信號(hào)流圖疊加性，輸入節(jié)點(diǎn)向量與輸出節(jié)點(diǎn)向量的某元素j間有（省去變量“s”）

其中，j＝1，2，…，n；寫成Y（s）的向量形式，則有

這說明，由廣義信號(hào)流圖得出的Y（s）和U（s）間的傳遞矩陣是

以下是關(guān)于式（2-42）的幾點(diǎn)說明。

● Δ同式（2-31）的區(qū)別僅在于計(jì)算時(shí)要考慮各對(duì)標(biāo)量輸入U_i（s）與輸出Y_j（s）之間的全部前向通道與回環(huán)的情況。

● 式（2-42）的要素（·）_ij表示從第j個(gè)標(biāo)量輸入到第i個(gè)標(biāo)量輸出間，各種前向通道增益與對(duì)應(yīng)去掉該通道的信號(hào)流圖的Δ值。

● 可按式（2-31）直接由廣義信號(hào)流圖求出，因?yàn)樾盘?hào)流圖中線性疊加性依然成立。

2.6.4 系統(tǒng)耦合的定義與意義

如圖2-54所示的具有單位負(fù)反饋的雙輸入雙輸出系統(tǒng)。

若記

則系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)矩陣是

這里，對(duì)角線元素G_Bii（s）為第i個(gè)（i＝1，2）輸入信號(hào)對(duì)第i個(gè)輸出信號(hào)的傳遞函數(shù)；而非對(duì)角線的G_Bij（s）為第j個(gè)輸入對(duì)第i個(gè)輸出（i，j＝1，2，i≠j）信號(hào)間的交叉關(guān)系。系統(tǒng)解耦就是設(shè)法消除交叉信號(hào)關(guān)系。從矩陣來說，就是使閉環(huán)傳遞函數(shù)矩陣變?yōu)閷?duì)角線矩陣，即

顯然，MIMO系統(tǒng)對(duì)角化解耦只有在輸入輸出變量個(gè)數(shù)相同時(shí)才有意義。

2.6.5 系統(tǒng)解耦方法一——對(duì)角化解耦

對(duì)角化解耦是嚴(yán)格數(shù)學(xué)意義上的解耦，該法包含多種類型。這里只介紹串聯(lián)調(diào)節(jié)器解耦方法，其他諸如反饋解耦等，讀者可舉一反三。

考慮如圖2-55所示MIMO系統(tǒng)，G_c（s）是串聯(lián)調(diào)節(jié)器的傳遞函數(shù)矩陣。

在加入串聯(lián)調(diào)節(jié)器G_c（s）之前，系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)矩陣為

G_B（s）＝［I+G（s）H（s）］^－1G（s）

加入串聯(lián)調(diào)節(jié)器G_c（s）后的閉環(huán)傳遞函數(shù)矩陣應(yīng)達(dá)到解耦的形式，即

式中，r為輸入信號(hào)的個(gè)數(shù)，從而所加串聯(lián)調(diào)節(jié)器滿足

例2-11 雙輸入雙輸出系統(tǒng)如圖2-56所示，試設(shè)計(jì)串聯(lián)調(diào)節(jié)器使得系統(tǒng)閉環(huán)解耦成為

解：由圖2-56可知

于是，由式（2-43），串聯(lián)調(diào)節(jié)器應(yīng)滿足

其中，G_c11（s）和G_c22（s）為PI調(diào)節(jié)器，而G_c21（s）為PID調(diào)節(jié)器。

注意到，這種解耦方式是沒有考慮系統(tǒng)受到干擾情況下的結(jié)果。如果系統(tǒng)有干擾，則系統(tǒng)的某些特性將變成不可控的。另外值得注意的是，利用這種方法設(shè)計(jì)的解耦調(diào)節(jié)器有時(shí)可能是物理不可實(shí)現(xiàn)的，甚至?xí)斐砷]環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。

2.6.6 系統(tǒng)解耦方法二——對(duì)角優(yōu)勢(shì)化解耦

對(duì)角化解耦雖有嚴(yán)格數(shù)學(xué)意義，但這種解耦控制器往往是不可實(shí)現(xiàn)的或是沒有必要的。為此人們提出對(duì)角優(yōu)勢(shì)化解耦方法，即對(duì)傳遞矩陣G（s），設(shè)計(jì)控制器G_c（s），使解耦后傳遞函數(shù)矩陣的對(duì)角線元素作用比非對(duì)角線元素強(qiáng)得多，形成對(duì)角線傳遞特性優(yōu)勢(shì)效果。